Дать понятие о двоично десятичной записи чисел. Двоично-десятичная система счисления: особенности и применение

Что такое двоично-десятичная система счисления. Как записываются числа в этой системе. Где применяется двоично-десятичная запись чисел. Каковы преимущества и недостатки двоично-десятичной системы счисления.

Что такое двоично-десятичная система счисления

Двоично-десятичная система счисления — это способ представления десятичных чисел, при котором каждая десятичная цифра кодируется отдельно с помощью четырех двоичных разрядов (тетрады). Это промежуточная форма между привычной десятичной и используемой в компьютерах двоичной системами счисления.

Основные особенности двоично-десятичной системы:

• Каждая десятичная цифра от 0 до 9 представляется четырьмя двоичными цифрами (тетрадой)
• Используются только двоичные цифры 0 и 1
• Разряды группируются по 4 бита
• Основание системы — 10, но внутри каждой тетрады используется двоичный код

Как записываются числа в двоично-десятичной системе

Рассмотрим на конкретном примере, как выглядит запись числа в двоично-десятичной системе:

Десятичное число: 925

Двоично-десятичная запись: 1001 0010 0101

Здесь:

• 1001 — код цифры 9
• 0010 — код цифры 2
• 0101 — код цифры 5

Каждая десятичная цифра кодируется отдельной тетрадой, даже если для ее представления достаточно меньшего количества разрядов. Например, цифра 2 кодируется как 0010, а не просто 10.

Где применяется двоично-десятичная система счисления

Двоично-десятичная система нашла применение в следующих областях:

• Электронные калькуляторы
• Системы автоматизированного учета
• Цифровые измерительные приборы
• Микроконтроллеры
• Как промежуточное представление при вводе-выводе данных в ЭВМ

В каких случаях использование двоично-десятичной записи может быть предпочтительнее чисто двоичной. Рассмотрим основные преимущества и недостатки этой системы.

Преимущества двоично-десятичной системы счисления

Основные достоинства двоично-десятичной записи чисел:

• Простота преобразования из десятичной системы и обратно
• Отсутствие погрешностей округления при переводе десятичных дробей
• Возможность представления чисел произвольной длины
• Удобство ввода-вывода десятичных данных

Недостатки двоично-десятичной системы счисления

К основным недостаткам двоично-десятичной системы можно отнести:

• Избыточность кодирования — на каждую десятичную цифру требуется 4 бита
• Более сложные алгоритмы выполнения арифметических операций
• Менее эффективное использование памяти по сравнению с двоичным представлением

Особенности арифметических операций в двоично-десятичной системе

Выполнение арифметических действий над двоично-десятичными числами имеет свои особенности:

• Сложение и вычитание выполняются поразрядно с коррекцией результата
• При получении суммы больше 9 в разряде выполняется коррекция +6
• Умножение и деление реализуются через многократное сложение/вычитание
• Требуются дополнительные операции для обработки переносов между тетрадами

Пример сложения в двоично-десятичной системе:

  29
+ 18
-----
  47

0010 1001  (29)
0001 1000  (18)
-----------
0100 0111  (47)

Перевод чисел между двоично-десятичной и другими системами счисления

Рассмотрим основные правила перевода чисел между двоично-десятичной и другими распространенными системами счисления:

Из десятичной в двоично-десятичную:

1. Каждую десятичную цифру заменяем на соответствующую ей тетраду
2. Если необходимо, добавляем ведущие нули в тетрады

Из двоично-десятичной в десятичную:

1. Группируем биты по 4 (справа налево)
2. Каждую тетраду заменяем соответствующей десятичной цифрой

Из двоичной в двоично-десятичную:

1. Переводим двоичное число в десятичное
2. Полученное десятичное число представляем в двоично-десятичном виде

Из двоично-десятичной в двоичную:

1. Переводим двоично-десятичное число в десятичное
2. Полученное десятичное число переводим в двоичную систему

Применение двоично-десятичной системы в вычислительной технике

В современных компьютерах двоично-десятичная система применяется в следующих случаях:

• При вводе-выводе числовых данных для упрощения преобразования между внутренним двоичным и внешним десятичным представлением
• В специализированных вычислительных устройствах, где важна точность представления десятичных дробей
• В микроконтроллерах и встраиваемых системах для удобства работы с десятичными величинами
• В финансовых вычислениях для исключения ошибок округления

Многие современные процессоры включают специальные команды для работы с двоично-десятичными числами.

Заключение

Двоично-десятичная система счисления представляет собой удобный компромисс между привычной для человека десятичной системой и используемой в компьютерах двоичной. Несмотря на некоторые недостатки, она находит широкое применение в различных областях вычислительной техники и электроники, особенно там, где важна точность представления десятичных чисел или требуется удобный ввод-вывод десятичных данных.

Двоично-десятичная система счисления

Понятие смешанной системы счисления

Среди систем счисления выделяют класс так называемых смешанных систем счисления.

Определение 1

Смешанной называется такая система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием $P$ изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием $Q$, где $Q

При этом в такой системе счисления во избежание разночтения для изображения каждой цифры системы с основанием $P$ отводится одинаковое количество разрядов системы с основанием $Q$, достаточное для представления любой цифры системы с основанием $P$.

Примером смешанной системы счисления является двоично-десятичная система.

Практическое обоснование использования двоично-десятичной системы счисления

Поскольку человек в своей практике широко использует десятичную систему счисления, а для компьютера свойственно оперирование двоичными числами и двоичной арифметикой, был введен в практику компромиссный вариант — система двоично-десятичной записи чисел, которая, как правило, используется там, где присутствует необходимость частого использования процедуры десятичного ввода-вывода (например, электронные часы, калькуляторы и т.д.). В подобных устройствах не всегда целесообразно применять универсальный микрокод перевода двоичных чисел в десятичные и обратно по причине малого объема программной памяти.

Замечание 1

В некоторых типах ЭВМ в арифметико-логических устройствах (АЛУ) имеются специальные блоки десятичной арифметики, которые выполняют операции над числами, представленными в двоично-десятичном коде. Это позволяет в некоторых случаях существенно повысить производительность ЭВМ.

К примеру, в автоматизированной системе обработки данных используется большое количество чисел, а вычислений при этом немного. В подобном случае операции перевода чисел из одной системы в другую существенно превысили бы время выполнения операций по обработке информации. Микропроцессоры же используют чистые двоичные числа, однако при этом понимают и команды преобразования в двоично-десятичную запись. АЛУ AVR-микроконтроллера (как и других микропроцессоров) выполняет элементарные арифметические и логические операции над числами, представленными в двоичном коде, а именно:

• считывает результаты преобразования АЦП;

• в формате целых чисел или чисел с плавающей точкой выполняет обработку результатов измерения.

Готовые работы на аналогичную тему

Однако окончательный результат при этом выводится на индикатор в десятичном формате, удобном для восприятия человеком.

Принципы построения двоично-десятичной системы счисления

При построении двоично-десятичной системы счисления для изображения каждой десятичной цифры в ней отводится $4$ двоичных разряда, поскольку максимальная десятичная цифра $9$ кодируется как $10012$.

Например: $925_{10} = 1001 0010 0101_{2-10}$.

Рисунок 1.

В данной записи последовательные четверки двоичных разрядов изображают цифры $9$, $2$ и $5$ десятичной записи соответственно.

Для записи числа в двоично-десятичной системе счисления его необходимо сначала представить в десятичной системе, а затем каждую, входящую в состав числа, десятичную цифру представить в двоичной системе. При этом для написания различных десятичных цифр в двоичной системе счисления требуется разное количество двоичных разрядов. Чтобы обойтись без применения каких-либо разделительных знаков, при двоичном изображении десятичной цифры всегда записывается 4 двоичных разряда. Группа из этих четырех разрядов называется тетрадой.

Хотя в двоично-десятичной записи используются только цифры $0$ и $1$, она отличается от двоичного изображения данного числа, так как десятичный эквивалент двоичного числа в несколько раз больше десятичного эквивалента двоично-десятичного числа.

Например:

$1001 0010 0101_{(2)} = 2341_{(10)}$,

$1001 0010 0101_{(2)} = 925_{(2-10)}$.

Такая запись довольно часто используется как промежуточный этап при переводе числа из десятичной системы в двоичную и обратно. Так как число $10$ не является точной степенью числа $2$, то используются не все $16$ тетрад (тетрады, изображающие числа от $A$ до $F$ отбрасываются, так как эти числа считаются запрещенными), алгоритмы же арифметических операций над многозначными числами в этом случае более сложные, чем в основных системах счисления. И, тем не менее, двоично-десятичная система счисления используется даже на этом уровне во многих микрокалькуляторах и некоторых компьютерах.

Чтобы откорректировать результаты арифметических операций над числами, представленными в двоично-десятичном коде, в микропроцессорной технике используются команды, которые преобразуют результаты операций в двоично-десятичную систему счисления. При этом используется следующее правило: при получении в результате операции (сложения или вычитания) в тетраде числа, большего, чем $9$, к этой тетраде прибавляют число $6$.

Например: $75+18=93$.

$+00011000$

$10001101 \ (8D)$

В младшей тетраде появилась запрещенная цифра $D$. Прибавим к младшей тетраде $6$ и получим:

$+00000110$

$10010011 \ (93)$

Как видим, несмотря на то, что сложение осуществлялось в двоичной системе счисления результат операции получился в двоично-десятичной.

Замечание 2

Поразрядное уравновешивание часто осуществляют на основе двоично-десятичной системы счисления. Применение двоичной и двоично-десятичной системы счисления наиболее целесообразно, поскольку в этом случае число тактов уравновешивания оказывается наименьшим среди прочих систем счисления. Заметим, что применение двоичного кода позволяет примерно на $20\%$ уменьшить время обработки компенсирующего напряжения по сравнению с двоично-десятичным.

Преимущества использования двоично-десятичной системы счисления

Преобразование чисел из десятичной системы в двоично-десятичную систему счисления не связано с вычислениями и его легко реализовать, используя при этом простейшие электронные схемы, так как преобразовывается небольшое количество (4) двоичных цифр. Обратное же преобразование происходит в ЭВМ автоматически с помощью особой программы перевода.

Применение двоично-десятичной системы счисления совместно с одной из основных систем счисления (двоичной) позволяет разрабатывать и создавать высокопроизводительные ЭВМ, так как использование блока десятичной арифметики в АЛУ исключает при решении задач необходимость программированного перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Поскольку две двоично-десятичные цифры составляют $1$ байт, с помощью которого можно представить значения чисел от $0$ до $99$, а не от $0$ до $255$, как при использовании $8$-разрядного двоичного числа, то используя $1$ байт для преставления каждых двух десятичных цифр, можно формировать двоично-десятичные числа с любым требуемым числом десятичных разрядов.

Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления

☰

Систему счисления можно определить как способ записи чисел как количественной характеристики (отвечает на вопрос «сколько») чего-либо. Синонимом понятию «система счисления» является слово «нумерация».

В любой системе счисления числа записываются с помощью специальных, используемых в данной системе знаков-символов, которые все вместе формируют алфавит этой системы счисления. Пользуясь десятичной системой счисления мы привыкли называть символы ее алфавита цифрами.

Одно и тоже число (значение, количество) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Широко известны две системы счисления – арабская и римская.

Алфавит арабской системы счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Арабская система счисления – это позиционная система счисления.

Алфавит римской системы счисления:

I, V, X, L, C, D, M

Римская система счисления относится к непозиционным.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, в непозиционных такой однозначной зависимости нет. Например:

• 11 – здесь первая единица обозначает десять количественных единиц, вторая – только одну единицу.

• II – здесь обе единицы обозначают одну единицу.

• 345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5 единиц, во втором – 50, в третьем – 500.

• XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, так как они легко описываются с помощью универсальных алгоритмов. Например, умножение в столбик или поразрядное сравнение двух чисел.

В связи с этим позиционные системы счисления нашли более широкое распространение. Помимо всем известной десятичной, в которой используются десять цифр от 0 до 9, в вычислительных технике и технологиях нашли применение такие системы как двоичная (алфавит состоит из цифр 0 и 1), восьмеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и шестнадцатеричная (алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Следует отметить, важную роль нуля. Открытие этой цифры в истории человечества сыграло большое значение в формировании позиционных систем счисления.

Ключевые понятия позиционных систем счисления

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр. Так основанием десятичной системы счисления является число десять, так как ее алфавит состоит из десяти знаков. Основание двоичной системы счисления является число два.

Основание системы счисления равно размерности алфавита системы счисления. Размерность алфавита – это количество цифр, составляющих алфавит.

Разряд – это позиция цифры в числе. От того, в каком месте числа находится цифра, зависит обозначаемое ею количество, то есть то, что она значит.

Разрядность числа – количество цифр, из которых состоит число. Например, 264 – трехразрядное число в десятичной системе счисления, 00010101 – восьмиразрядное число в двоичной системе счисления. Разряды нумеруются справа налево. Например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка – третий.

В позиционных системах счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий при движении справа налево разряд больше другого на одну степень основания системы счисления.

Другими словами, у каждого разряда есть свой вес, представляющий собой основание системы счисления, возведенное в степень, соответствующую данному разряду. Показатель степени соотносится с разрядом как разряд-1. Например, в примере десятичного числа ниже цифра 8 находится в четвертом разряде числа. Значит, обозначаемое ею количество вычисляется вычисляется как произведение числа 8 на основание системы счисления (здесь 10) в степени 3.

8325 = 8 * 1000 + 3 * 100 + 2 * 10 + 5

8325 = 8 * 10³ + 3 * 10² + 2 * 10¹ + 5 * 10⁰

informatika_2008:timofeeva_svetlana_sergeevna [ЛИКТ 590]

Тема Системы счисления имеет прямое отношение к математической теории чисел. Но в школьном курсе математики эта тема, как правило, не изучается. Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатиричную или восьмеричную системы счисления. Данная тема является смежной темой с математикой и вносит вклад и в фундаментальное математическое образование школьников.

Тема «Системы счисления» изучается в рамках раздела «Табличные вычисления на компьютере», в котором речь идет об организации числовых расчетов на компьютере с помощью электронных таблиц, т.е. о работе с числовой информацией. Поэтому естественно именно здесь раскрыть правила представления чисел в компьютерной памяти. Таким образом, данная тема продолжает линию представления информации.

Основные цели темы:

• раскрыть понятие систем счисления

• познакомить учащихся со способами представления чисел в позиционных системах счисления

• дать представление об использовании двоичной системы в компьютере

Процесс ознакомления учащихся с понятием систем счисления можно разделить на следующие этапы:

1. История систем счисления.

2. Позиционные и непозиционные системы счисления.

3. Десятичная и двоичная системы счисления.

4. Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления.

5. Перевод десятичных чисел в двоичную систему.

6. Преобразование чисел между системами с основаниями 2, 8 и 16

7. Двоичная арифметика.

История систем счисления.

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. В разные исторические эпохи применялись разные системы счисления — унарная, древнеегипетская, римская, алфавитные, древневавилонская, арабская десятичная.

Демонстрация История систем счисления позволяет познакомить учащихся с алфавитами, принципами записи чисел в разных системах счисления, а также содержит интересные факты о системах счисления.

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую этот знак обозначает.

В позиционных системах счисления значение, которое обозначает цифра в записи числа, зависит от позиции этой цифры в числе. Позиционных систем существует множество, друг от друга они отличаются алфавитом системы счисления — множеством используемых цифр. Основание позиционной системы счисления — количество цифр, используемых в этой системе счисления.

Анимация Выдача денег оптимальным способом позволяет учащемуся получить общее представление о сущности непозиционных систем счисления. Первая часть анимации демонстрирует это понятие на «бытовом» уровне – на примере задачи о выдаче заданной суммы минимальным количеством купюр. Вторая и третья части анимации демонстрируют, по аналогии с ранее рассмотренной выдачей денежной суммы, процесс преобразования десятичного числа в римскую систему счисления и обратное преобразование. Во всех трех случаях учащемуся предоставляется возможность повторить демонстрацию, введя желаемое произвольное число.

Упражнения: Сдайте указанную сумму минимальным количеством купюр и монет

Десятичная и двоичная системы счисления.

Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используется алфавит, состоящий из 10 символов — {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Число цифр определяет основание системы счисления, которое для десятичной системы счисления равно десяти. В двоичной системе счисления алфавит состоит всего из двух символов {0, 1}, а основание системы счисления равно двум. В двоичной, десятичной и других позиционных системах счисления значение цифры в записи числа зависит от самой цифры и от места расположения этой цифры в числе.

Сущность позиционных систем счисления отражается в развернутой форме записи чисел, которая представляет собой выражение, слагаемые которого являются произведениями значащих цифр числа на степени основания системы счисления.

Анимация Развернутая форма записи числа знакомит учащихся с развернутой формой записи чисел в общем виде, а также для целых и дробных чисел в двоичной и десятичной системах счисления.

Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления.

Перевод десятичных чисел в двоичную систему.

Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную нужно разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени числа 2.

«Виртуальная лаборатория» Цифровые весы позволяет учащемуся на практике, на бытовом уровне самостоятельно вывести правило преобразования десятичного числа в произвольную систему счисления путем последовательного деления с остатком на степени основания системы счисления начиная с наибольшей степени и далее по уменьшению.

Основная методическая ценность данного ресурса заключается в свободном манипулировании со стороны учащегося объектами эксперимента: он может переносить (перетаскивать мышью) с полки на правую чашку весов гири в принципиально любом порядке. При этом программа выдает соответствующее сообщение, если установлен слишком большой вес, а по завершении самого первого «взвешивания» – подсказку о том, что наиболее рациональным является добавление на правую чашку весов каждый раз гири максимально возможного веса, не превышающего еще не уравновешенный остаток. Таблица же в нижней части окна анимации увязывает выбранные веса гирь со степенями двойки (основания системы счисления), номерами разрядов и единичными битами.

Далее (после успешного выполнения первого задания) учащемуся предлагается повторить его, введя любое произвольное число, а затем – вводя произвольное число и выбирая произвольную систему счисления.

Более универсальным методом перевода десятичных чисел в другие системы счисления является метод деления. Для изучения этого метода можно использовать следующие анимации:

• Преобразование десятичного числа в другую систему счисления (в частности, в двоичную). Данная анимация осуществляет пошаговую демонстрацию процесса преобразования десятичного числа в двоичную систему счисления путем последовательного деления на 2. Данный алгоритм (в отличие от обратного преобразования из двоичной системы счисления в десятичную путем умножений на степени двойки) может вызывать трудности у учащихся из-за того, что запись полученных остатков от деления производится в обратном направлении. Кроме того, пошаговая демонстрация более наглядна, чем статическая иллюстрация в традиционном учебнике.

Далее можно рассмотреть перевод чисел из любой произвольной системы счисления в любую другую произвольную систему счисления, используя десятичную систему счисления в качестве промежуточной.

Упражнения:

Преобразуйте число из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную

Преобразуйте число из троичной системы счисления в пятиричную (вы можете использовать десятичную систему в качестве промежуточной)

Преобразование чисел между системами с основаниями 2, 8 и 16

Двоичная арифметика.

Упражнения и тестовые задания по теме

Интерактивный задачник содержит примеры заданий на отработку темы «Системы счисления». Существуют два режима работы с задачником — Тренировка (с возможностью подсказок-пояснений)и Зачет

Тренировочный тест по теме: «Двоичная система и представление чисел в памяти компьютера»

После изучения темы «Системы счисления» в качестве вспомогательного инструмента для ученика можно использовать интерактивную модель Калькулятор систем счисления , который позволяет автоматизировать процесс перевода из одной системы счисления в другую, может использоваться учащимися 9-11-х классов как на уроках или факультативных занятиях по информатике, так и в процессе самоподготовки дома.

Полезные ресурсы

Двоично-десятичная запись — число — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Двоично-десятичная запись — число

Cтраница 1

Двоично-десятичная запись чисел состоит в следующем. Каждая цифра десятичного числа записывается в виде четырехразрядного двоичного числа. Четверка двоичных цифр, изображающая десятичную цифру, называется тетрадой. Таким образом, двоично-десятичная запись числа отличается от его десятичной записи тем, что для изображения каждой цифры применяется не один знак, а четыре знака.  [1]

Двоично-десятичную запись числа используют непосредственно или как промежуточную форму записи между обычной десятичной его записью и машинной двоичной. Вычислительная машина сама по специальной программе переводит двоично-десятичные числа в двоичные и обратно.  [2]

Следует обратить внимание на то, что хотя в двоично-десятичной записи числа используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от записи данного числа в двоичной системе счисления. Как видно, эта запись отличается от записи этого же числа в смешанной двоично-десятичной системе.  [3]

При переводе на цифровой вычислительной машине десятичных чисел в двоичные промежуточной является двоично-десятичная запись чисел.  [4]

Здесь последовательные четверки ( тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2 и Г записи числа в десятичной системе счисления. Следует обратить внимание, что хотя л двоично-десятичной записи числа и используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения данного числа.  [5]

При записи двоичного числа каждый разряд ячейки соответствует разряду числа, а при записи двоично-десятичного числа десятичный разряд представляется двоичной тетрадой. Следовательно, всего в ячейке может разместиться 9 разрядов двоично-десятичной записи числа.  [6]

В некоторых электронных цифровых машинах принято представление чисел в двоично-десятичной системе счисления. В машинах, в которых принята двоичная система счисления, двоично-десятичная запись чисел применяется как промежуточная для ввода чисел в машину.  [7]

При записи десятичных чисел с фиксированной запятой в ячейках памяти применяется двоично-десятичная запись числа. В двоично-десятичной записи числа каждая десятичная цифра представляется соответствующей ей двоичной тетрадой.  [9]

При записи десятичных чисел с фиксированной запятой в ячейках памяти применяется двоично-десятичная запись числа. В двоично-десятичной записи числа каждая десятичная цифра представляется соответствующей ей двоичной тетрадой.  [11]

В противном случае число х не может быть записано с хорошей точностью в виде правильной 9-разрядной десятичной дроби. Число х имеет двоичную запись, совпадающую с округленной двоично-десятичной записью числа х, иначе говоря, его можно считать результатом перевода.  [12]

В противном случае число х не может быть записано с хорошей точностью в виде правильной 9-разрядной десятичной дроби. Число х9 имеет двоичную запись, совпадающую с округленной двоично-десятичной записью числа х, иначе говоря, его можно считать результатом перевода.  [13]

В некоторых электронных цифровых машинах принято представление чисел в двоично-десятичной системе счисления. При этом арифметические действия над двоично-десятичными числами выполняются по специальным правилам. В машинах, в которых принята двоичная система счисления, двоично-десятичная запись чисел применяется как промежуточная для ввода чисел в машину.  [14]

Двоично-десятичная запись чисел состоит в следующем. Каждая цифра десятичного числа записывается в виде четырехразрядного двоичного числа. Четверка двоичных цифр, изображающая десятичную цифру, называется тетрадой. Таким образом, двоично-десятичная запись числа отличается от его десятичной записи тем, что для изображения каждой цифры применяется не один знак, а четыре знака.  [15]

Страницы:      1    2

Перевод чисел в позиционных системах счисления

Урок

«Перевод чисел в позиционных системах счисления»

Предмет: «Информатика и ИКТ».

Межпредметные связи: математика, история, география.

Раздел программы: «Информация. Двоичное кодирование информации».

Тема урока: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

Продолжительность занятия: 45 минут.

Тип урока: урок изучения нового материала, формирования умений и навыков.

Вид: комбинированный, с использованием информационно-коммуникационных технологий.

Технология: личностно-ориентированная.

Цели урока:

Обучающие:

обобщить и систематизировать понятие кодирования информации;

сформулировать понятие систем счисления и дать представление о позиционных и непозиционных системах счисления;

Развивающие: развить интерес к изучению основ информатики и вычислительной техники на основе межпредметных связей с математикой; развить навыки использования информационных технологий; расширить кругозор учащихся;

Воспитательные: формирование активной жизненной позиции, воспитание самостоятельности, трудолюбия, настойчивости в достижении целей; воспитание информационной культуры, поддержание интереса к предмету.

Задачи урока: 1. ознакомить учащихся с алфавитом двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления, способами записи чисел в различных системах, правилами перевода из одной системы счисления в другую;

2. использовать вычислительные навыки полученные на уроках математики для перевода чисел в различные системы счисления.

Основополагающий вопрос: Почему язык цифр понятен всем?

Методы:

Словесные, наглядные с использованием интерактивной доски, практические.

Организационные формы работы:

Фронтальные, индивидуальные.

Наглядные пособия и технические средства обучения

Персональный компьютер для учителя.

Мультимедийный проектор и интерактивная доска.

Индивидуальные карточки с заданиями (Приложение 2), алгоритм работы (Приложение1), тест (Приложение 3)

Программные средства

ОСWindows XP.

Комплект прикладного ПО MSOffice, программное обеспечение InterWriteBord.

Ход урока.

Организационный момент

Здравствуйте, ребята, садитесь. Кто сегодня отсутствует?

Актуализация знаний

Прежде чем перейдем к изучении новой темы, давайте повторим понятия, которые необходимы для ее изучения.

Для этого разгадаем кроссворд.

Кроссворд

По горизонтали:

Сведения, знания об окружающем мире

По вертикали:

Минимальная единица измерения информации

Конечный набор знаков (символов) любой природы, из которых формируется сообщение

Процесс представления информации в виде кода

Символ, участвующий в записи числа

3. Объяснение нового материала.

А теперь послушайте стихотворение:

Ей было 1100 лет.

Она в 101 класс ходила.

В портфеле по 100 книг носила.

Всё это правда, а не бред.

Когда пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок,

С одним хвостом, зато стоногий,

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И 10 загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И 10 темно-синих глаз

Оглядывали мир привычно.

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете мой рассказ.

Как Вы думаете, что все это значит?

Оставлю этот вопрос пока открытым, но несколько позже мы вернемся к этому стихотворению.

Запишите тему урока в тетради: «Представление числовой информации с помощью систем счисления»

Определение. Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Пример непозиционнойсистемы счисления – римская: несколько чисел приняты за основные (например, I, V, X), а остальные получаются из основных путем сложения (как VI, VII) или вычитания (как IV, IX).

Внепозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

Пример 2.

VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 — 1 = 4.

Недостатки непозиционной системы счисления

1)Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.

2)Сложно выполнять арифметические операции.

3)Для записи больших чисел приходится вводить новые числа.

Определение.Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет.

Рассмотрим другую систему счисления.

Система счисления, которой мы пользуемся в настоящее время, носит название десятичной, так как она основана на счете десятками. Исключительная роль десятка восходит к древнейшим временам и, несомненно, связана со счетом по пальцам на двух руках. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Поэтому ее и называют десятичной.

Современная десятичная система нумерации возникла на основе индийской. Такая с/с дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись компактна и удобна для арифметических операций.

В 10 веке десятичная система доходит до Испании, в начале 12в. она появляется и в других странах Европы. Она получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского.

Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число углов в ней.

Например: 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д.

Определение. Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Значение каждой цифры в позиционной системе счисления зависит от ее места (позиции) при написании числа. Положение (позиция) цифры в записи числа определяет ее разряд; если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его место ставят цифру 0. Известно, что 10 единиц любого разряда образуют новую единицу старшего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. С его помощью определяется «вес» единицы каждого разряда.

Давайте рассмотрим число 55. Из двух написанных рядом цифр левая выражает число, в десять раз большее, чем правая. Таким образом, для написания цифр в десятичной системе имеет значение не только сама цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют позиционной.

Определение. Основанием системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (например, десятичной называется система счисления так потому, что ее основание равно 10, т.е. используется десять цифр).

Двоичная система счисления. В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Данная система счисления была придумана математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках.

Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Используются и другие системы счисления — восьмеричная и шестнадцатеричная.

Восьмеричная система счисления. Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.

Шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать уже шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F.

Таблица соответствия систем счисления.

Достоинство позиционной системы счисления

Простота выполнения арифметических операций.

Ограниченное количество символов, необходимых для записи числа.

Необходимо запомнить, что количество цифр для записи числа в любой системе счисления не может превышать основания этой системы. Например в пятеричной системе счисления будет только пять цифр: 0,1,2,3 и 4.

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно записывается как нижний индекс этого числа.

Развернутой формой записи числа называется запись в виде А_р=±(а_n-1p^n-1+а_n-2p^n-2+…+а₀p⁰+а_-1p^-1+а_-2p^-2+…+а_-mp^-m), где А_р — само число, р — основание системы счисления, а_i — цифра данной системы счисления, n — число разрядов целой части числа,  m — число разрядов дробной части числа.

Разложим число 345 на сумму разрядных слагаемых (получим многочлен).

Любое число в нулевой степени равно 1.Мы записали число в развернутой форме.

345₁₀ = 3*10²+4*10¹+5*10⁰

Правилоперевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

П ример1. Перевести 26₁₀ в двоичную систему счисления. А₁₀→А₂

Решение:

Ответ: 26₁₀=110102

ПравилоДля того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

Пример1. Перевести число 110110₂ из двоичной системы счисления в десятичную.

Решение:

5 4 3 2 1 0

1 1 0 1 1 0 ₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰ =32+16+4+2=54₁₀

Ответ: 110110₂ = 54₁₀

А теперь вернемся к стихотворению и раскодируем его.

В какой системе счисления закодированы числа в стихотворении?

Переведите его в десятичную систему счисления!

(учащиеся зачитывают раскодированное стихотворение)

5.Закрепление изученного материала (тестовая проверочная работа).

А для того, чтобы проверить и закрепить изученный материал, вы выполните тестовую работу. Ученики выполняют работу (раздаточный материал). А теперь поменяйтесь работами и проверьте их (ответы на доске). Выставите оценки. Разбор ошибок.

ОТВЕТЫ.

6. Подведение итогов урока.

Вспомним:

Что такое системы счисления?

Какие бывают СС?

Назовите недостатки непозиционных систем счисления?

Приведите примеры использования римской системы цифр в наше время.

Как перевести число из десятичной системы счисления в другие?

Как перевести любое число в десятичную систему счисления?

7. Домашнее задание.

1. Параграф 2.3. и записи в тетради.

3. Индивидуальное задание на карточке:

Домашняя работа по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

КАРТОЧКА № 1

Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1101₂ 0100₂ 1010₂ 1011₂

Ответ: _____________

Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

КАРТОЧКА № 2

Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1011₂ 1100₂ 0100₂ 1000₂ 1110₂

Ответ: ___________

Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ___________

КАРТОЧКА № 1

Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1101₂ 0100₂ 1010₂ 1011₂

Ответ: _____________

Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

КАРТОЧКА № 2

Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 210, расшифруйте приведенное слово: 1011₂ 1100₂ 0100₂ 1000₂ 1110₂

Ответ: ___________

Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ___________

Тест по теме: «Кодирование информации. Системы счисления»

Вариант 1

1.В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на:

A) арабские и римские;

Б) представление в виде ряда и в виде разрядной сетки;

B) позиционные и непозиционные;

Г) древние и современные.

2.Двоичная система счисления имеет основание:

А) 10; Б) 2; В) 1; Г) 8.

3. Для представления чисел в шестнадцатеричной системе счисления ис­пользуются:

А) цифры А — Q; Б) числа 1-16; В) числа 0-15; Г) цифры 0 — 9 и буквы A-F.

4.В какой системе счисления может быть записано число 402?

А) в двоичной; Б) в троичной; В) в пятеричной.

5.Недостатком непозиционной системы счисления является:

A) ограниченное число символов, необходимых для записи числа;

Б) сложно выполнять арифметические операции;

B) сложность запомнить числа;

Г) различное написание цифр у разных народов.

6.Даны системы счисления: 2-ая, 8-ая, 10-ая и 16-ая. Запись вида 352:

A) отсутствует в десятеричной;

Б) существует во всех названных системах счисления;

Б) отсутствует в восьмеричной;

B) отсутствует в двоичной системе счисления.

7.Какие цифры используются в шестеричной системе счисления?

А) 0,1,5,6; Б) 8,2,1,0; В) 0,1,2,5;Г) 4,1,2,7;Д) 1,6,3,4.

8. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа: 301,123, 222,111.

А) 5; Б) 3; В) 4.

9.К непозиционным системам счисления относятся…

A) двоичная система счисления;

Б) римская система счисления;

B) пятеричная система счисления;

Г) восьмеричная система счисления.

10. Равны ли два числа: 11 в десятичной системе счисления и 11 в двоичной системе счисления?

А) да;Б) нет.

Тест по теме: «Кодирование информации. Системы счисления»

Вариант 2

1.Система счисления — это:

A) представление чисел в экспоненциальной форме;

Б) представление чисел с постоянным положением запятой;

B) способ представления чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение;

Г) возможность написать числа.

2.Пятеричная система счисления имеет основание:

А) 1; Б) 2; В) 6. г)5

3.Для представления чисел в восьмеричной системе счисления использу­ются цифры:

А) 0-8; Б) 1-8; В) 0-7; Г)1-9.

4.В какой системе счисления может быть записано число 750?

А) в семеричной; Б) в восьмеричной; В) в шестеричной;

5.Преимуществом позиционной системы счисления является:

A) ограниченное число символов, необходимых для записи числа;

Б) сложно выполнять арифметические операции;

B) различное написание цифр у разных народов;

Г) легкость счета.

6.Даны системы счисления: 2-ая, 8-ая, 10-ая и 16-ая. Запись вида 692:

A) существует во всех названных системах счисления.

Б) отсутствует в десятичной системе счисления;

B) отсутствует в восьмеричной;

Г) существует во всех названных системах счисления.

7.Какие цифры используются в семеричной системе счисления?

А) 0,6,7; Б) 0, А,В,С В)1,6,7; Г)0,8,9; В) 0,1,6.

8. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа: 432, 768, 568, 243?

А) 10; Б) 7; В) 9.

9. К позиционным системам счисления относятся…

А) древнегреческая система счисления;

Б) алфавитная система счисления;

В) римская система счисления;

Г) двоичная система счисления.

10. Может ли одно и то же число быть записано одинаково в разных системах счисления?

1) да;2) нет.

1

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/290374-perevod-chisel-v-pozicionnyh-sistemah-schisle

Презентация «Перевод из десятичной системы счисления в произвольную» (10 класс) по информатике – проект, доклад

Презентацию на тему «Перевод из десятичной системы счисления в произвольную» (10 класс) можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Информатика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад — нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 8 слайд(ов).

Слайды презентации

Перевод из десятичной системы счисления в произвольную

1. Перевод из 10-ной сс в произвольную

Правило: Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Перевод из десятичной сс в двоичную сс

65=1000001

Перевод из десятичной сс восьмеричную систему счисления

672 = 12408

Перевод из десятичной сс в шестнадцатеричную систему счисления

934 = 3А616

Перевести 934 из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления

Самостоятельно

1. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 245?

2. Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 501?

3. Вычислите сумму чисел x и у при х = 7710, у = 778. Результат представьте в двоичной системе счисления.

4. Вычислите сумму чисел х и у, при X = D616, Y = 368.Результат представьте в восьмеричной системе счисления.

1. 245=11110101 (6) 2. 501=111110101(2) 3. 10001100 4. 364

Сделать таблицу в тетради

Конспект урока двоичная система счисления 6 класс

Конспект урока

Аттестуемый педагог: Рыбакова Наталья Геннадьевна

Предмет: информатика и ИКТ

Класс 6 «б»

Тема урока: Двоичная система счисления

•Тип урока – изучение нового материала

•Формы организации работы учащихся – индивидуальная, групповая, фронтальная.

•Технологии: ИКТ, проблемно-поисковая,  приемы здоровьесберегающих технологий,  дифференцированный подход, коммуникативная (беседа, диалог).

•Оборудование: компьютер, экран, проектор, карточки с заданиями.

Цель: Ознакомление обучающихся с двоичной системой счисления и её значимостью для кодирования информации. Воспитание интереса к учебным дисциплинам математика, информатика

Задачи:

1. Дать понятие позиционной и непозиционной систем счисления.

2. Научить обучающихся переводу чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно.

3. Способствовать формированию информационной культуры и коллективного сотрудничества.

4. Расширить кругозор знаний обучающихся.

Тип урока: Усвоение новых знаний

Оборудование: компьютер, проектор.

Оснащение: плакаты, карточки с заданиями, презентация Power Point.

Характеристика класса: в классе обучаются 30 человек, из них с высоким и средним уровнем мотивации — 25 человек. Успеваемость в классе 100%. Класс дружный, работоспособный, творческий. Кругозор учащихся развит. Задания выполняют всегда. Учащиеся класса имеют навыки коллективной деятельности, работы в группах.

Средства, обеспечивающий учебный процесс на уроке: Слайды презентации, дидактический материал.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Цель: эмоциональный настрой на учебную деятельность.

Приветствие присутствующих.

Цель: создать условия для эмоционального настроя на учебную деятельность

Приветствует детей.

Добрый день, ребята! «Всё наше достоинство заключено в мысли… Будем же учиться хорошо мыслить». Предлагаю, всё, что вы видите на экранах мониторов осмыслить и принять к действию.

(Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир.

Иоганн Гете

Всё, что мы знаем, — ограничено, чего мы не знаем – бесконечно.

Лаплас)

Проверка подготовки учащихся к уроку, актуализация внимания учащихся. Создание положительного эмоционального настроя на работу. Использован словесный метод обучения. Слайды

2. Этап подготовки обучающихся к активному сознательному усвоению знаний. — 4 мин.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Цель: Познакомиться с историей счета и систем счисления

Формулируют цель урока

Один ученик выступает у доски с сообщением на тему «История счета и систем счисления».

Отвечают на вопросы, дискутируют

Цель: подготовить учащихся к эффективному восприятию нового материала, познакомить с основными понятиями.

Задача: Дать понятие позиционной и непозиционной систем счисления.

Учитель:У меня для Вас приготовлена такая задача:

Ей было 1100 лет. 

Она в 101 класс ходила.

В портфеле по 100 книг носила.

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно- синих глаз

Оглядывали мир привычно

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

Возможно ли такое на самом деле?

Для того, чтобы понять и решить эту задачу, нам необходимо познакомимся с некоторыми понятиями нашего урока – Двоичная система счисления. Тема для вас новая. Какая цель стоит перед нами?Попробуйте её сформулировать.

О возникновении и истории счета нам раскажет.

Система счисления – совокупность приёмов и правил для обозначения и именования чисел.

Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Позиционная система счисления – система счисления, в которой одна и та же цифра получает различные количественные значения в зависимости от места, или позиции, которое она занимает в записи данного числа.

К позиционной системе счисления относятся десятичная система счисления и двоичная система счисления.

Рассмотрим десятичные числа 43 и 34.

Можно ли предположить, что они одинаковые, так как в них участвуют одни и те же цифры – 3 и 4? Но вы возражаете мне и правильно! Объясните почему. Действительно в числе 43 – четыре десятка и три единицы, а в числе 34 – три десятка и четыре единицы. Вес цифры зависит от позиции цифры в этом числе.

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI — число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII = 10+10+5+1+1+1

Десятичное число 99 имеет такое представление:

XCIX = -10+100-1+10

Система счисления называется непозиционной, если в ней количественные значения символов, используемых для записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

Актуализация и коррекция знаний, подготовка к открытию новых знаний.

Слайды

3. Изучение нового учебного материала. 20 мин

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Цель: Познакомиться с особенностями двоичной системы счисления и её значимостью для кодирования информации.

Задача: Научиться переводу чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно.

1 ученик из творческой группы выступает с докладам на тему:

• Историческая справка. Чарльз Бэббидж.

• Историческая справка.Леди-программист Августа Ада Лавлейс

• Историческая справка. Вильгельм Готфрид Лейбниц.

Ученики внимательно следят за действиями учителя.

Ученики отвечают на вопросы учителя.

Задают вопросы по теме.

Совместно в группах пытаются разработать алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную.

Задают вопросы по теме.

Индивидуально делают расчеты в тетрадях

Совместно пытаются разработать алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную.

Решают задачу

Цель: Познакомить учащихся с особенностями двоичной системы счисления и её значимостью для кодирования информации.

Задача: Научить обучающихся переводу чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно.

Учитель: Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в ЭВМ двоичная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток, нет тока; включено, выключено и т.д.; одному из состояний ставится в соответствие 1, другому – 0), а не десять, как в десятичной системе;

• представление информации посредством только двух состояний надежно;

• упрощается выполнение арифметических действий;

Творческая группа ваших одноклассников изучила информацию и подготовила исторические справки о знаменитых людях и двоичной системе счисления, для этого они использовали различные источники – учебник, справочники, интернет-ресурсы. Учитель: Рассмотрим таблицу:

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Двоичная система счисления

2

0 1

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Показ приёма выполнения.

19₁₀ = ?

19 2 19₁₀ = 10011₂

18 9 2

1 8 4 2

1 4 2 2

0 2 1

0

Рассмотрим ещё один пример:

12 10 = ?

Совместно разбирают пример.

— Помогите мне на этом примере разработать алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную.

— Давайте послушаем мнение каждой группы и выберем самый правильный алгоритм.

-А теперь я предлагаю Вам сосчитать , обувь какого размера вы носите в двоичной системе счисления.

Какое число у вас получилось?

37-100101

38-100100)

Рассмотрим самые часто встречающиеся и разберем ошибки, ведь на ошибках учатся.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления.

Показ приёма выполнения, затем совместная разработка алгоротма перевода чисел

4 3 2 1 0

10011₂ = 10011 = 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 16 + 2 + 1 = 19₁₀

1010 2 =

правило:

число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

— Как хороша двоичная система

И как проста в ней вычислительная схема!

Забавна записи канва:

Один с нулём не 10 здесь, а 2.

Попробуем еще раз рассмотреть портрет необычной девочки, только теперь с точки зрения двоичной системы счисления.

Вернемся к первой задаче

Во время работы у доски, учитель следит за уровнем внимания учащихся, за дисциплиной на уроке. Работает фронтально с классом. Во время выполнения расчетов, комментирует свои действия.Слайды

Физкультминутка — 2 мин.

4. Закрепление знаний. — 10 мин.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Цель: Освоить приемы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Задача: Выполнить выполнить перевод чисел

Выполняют работу в группах на карточках.

Проверяют свои работы, сверяясь с доской.

Оценивают свою работу.

Выполняют индивидуальную работу работу по карточкам.

Обменявшись друг с другом работами, проверяют, сверяясь с доской.

Оценивают работу товарища.

Цель: Проверить, как усвоили материал учащиеся.

Задача: Научить анализировать работы в соответствии с критериями.

1. Самостоятельная работа в группах по карточкам (перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления).

Самопроверка

2. Индивидуальная работа с взаимопроверкой.

Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок. 

Возможно ли это?  Обоснуйте ответ.

После выполнения работы в группах, учащеся проверяют свои работы, сверяясь с доской, выставляют себе оценки.

5. Задание на дом, рефлексия — 3 мин.

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

Примечание

Записывают задание в дневниках.

Выбирают для себя нужный вариант ответа

Цель: Мотивировать учеников на дальнейшее изучение систем счисления.

Объявляет домашнее задание ученикам.

Ребята, подумайте и попробуйте ответить на данные вопросы, справились ли вы с заданиями, довольны ли вы собой.

Не останавливайтесь на достигнутом! Верьте в себя! Стремитесь к новым знаниям увлекательного информационного мира! Урок окончен, можете убирать свои рабочие места.Спасибо за урок! До свидания.

из двоичного числа в десятичное и как преобразовать двоичное в десятичное

Преобразование двоичных чисел в десятичные (с основанием 2 на основание 10) и обратно является важной концепцией для понимания, поскольку двоичная система счисления формирует основу для всех компьютерных и цифровых систем.

Десятичная или «денарная» система счета использует систему нумерации Base-of-10, где каждая цифра в числе принимает одно из десяти возможных значений, называемых «цифрами», от 0 до 9, например. 213 ₁₀ (двести тринадцать).

Но помимо 10 цифр (от 0 до 9), десятичная система счисления также имеет операции сложения (+), вычитания (-), умножения (×) и деления (÷).

В десятичной системе каждая цифра имеет значение, в десять раз превышающее ее предыдущее число, и эта десятичная система счисления использует набор символов b вместе с основанием q для определения веса каждой цифры в числе. Например, шесть из шестидесяти имеет меньший вес, чем шесть из шести сотен.Затем в двоичной системе счисления нам нужен способ преобразования десятичного в двоичное , а также обратно из двоичного в десятичное .

Любую систему нумерации можно резюмировать следующим соотношением:

N = b _n q ⁿ … b ₃ q ³ + b ₂ q ² + b ₁ q ¹ + b ₀ q ⁰ + b _-1 q ^-1 + b _-2 q ^-2 … и т. Д.

Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления, системе счисления по основанию 10 (den) или десятичной системе счисления каждый столбец целых чисел имеет значения единиц, десятков, сотен, тысяч и т. Д., Когда мы перемещаемся по числу справа налево. Математически эти значения записываются как 10 ⁰ , 10 ¹ , 10 ² , 10 ³ и т. Д. Тогда каждая позиция слева от десятичной точки указывает на увеличенную положительную степень 10. Аналогично для дробных чисел. вес числа становится более отрицательным при движении слева направо, 10 ^-1 , 10 ^-2 , 10 ^-3 и т. д.

Итак, мы можем видеть, что «десятичная система счисления» имеет основание 10 или по модулю 10 (иногда называемое MOD-10) с положением каждой цифры в десятичной системе, указывающей величину или вес этой цифры как q равно «10» (от 0 до 9). Например, 20 (двадцать) — это то же самое, что сказать 2 x 10 ¹ , и, следовательно, 400 (четыреста) — то же самое, что сказать 4 x 10 ² .

Значение любого десятичного числа будет равно сумме его цифр, умноженной на их соответствующие веса.Например: N = 6163 ₁₀ (шесть тысяч сто шестьдесят три) в десятичном формате равно:

6000 + 100 + 60 + 3 = 6163

или можно записать, отражая вес каждой цифры, как:

(6 × 1000) + (1 × 100) + (6 × 10) + (3 × 1) = 6163

или в полиномиальной форме:

(6 × 10 ³ ) + (1 × 10 ² ) + (6 × 10 ¹ ) + (3 × 10 ⁰ ) = 6163

Где в этом примере десятичной системы счисления самая левая цифра является самой старшей цифрой или MSD, а самая правая цифра — младшей значащей цифрой или LSD.Другими словами, цифра 6 — это МСД, так как ее крайняя левая позиция имеет наибольший вес, а цифра 3 — это LSD, поскольку ее крайняя правая позиция имеет наименьший вес.

Двоичная система нумерации

Двоичная система счисления — самая фундаментальная система счисления во всех цифровых и компьютерных системах, и двоичные числа подчиняются тому же набору правил, что и десятичная система счисления. Но в отличие от десятичной системы, в которой используется степень десяти, двоичная система счисления работает со степенью двойки, обеспечивая преобразование двоичного числа в десятичное из основания-2 в основание-10.

Цифровые логические и компьютерные системы используют только два значения или состояния для представления условия: логический уровень «1» или логический уровень «0», и каждый «0» и «1» считается одной цифрой в Базе. -of-2 (bi) или «двоичная система счисления».

В двоичной системе счисления двоичное число, такое как 101100101, выражается строкой «1» и «0», причем каждая цифра в строке справа налево имеет значение, вдвое превышающее значение предыдущей цифры. Но поскольку это двоичная цифра, она может иметь значение только «1» или «0», поэтому q равно «2» (0 или 1), а его позиция указывает его вес в строке.

Поскольку десятичное число является взвешенным числом, преобразование десятичного числа в двоичное (с основанием 10 в основание 2) также приведет к взвешенному двоичному числу с самым правым битом, являющимся младшим значащим битом или LSB , а крайний левый бит — это самый старший бит или MSB , и мы можем представить это как:

Представление двоичного числа

Выше мы видели, что в десятичной системе счисления вес каждой цифры справа налево увеличивается в 10 раз.В двоичной системе счисления вес каждой цифры увеличивается в 2 раза, как показано. Тогда первая цифра имеет вес 1 (2 ⁰ ), вторая цифра имеет вес 2 (2 ¹ ), третья — вес 4 (2 ² ), четвертая — вес 8. (2 ³ ) и так далее.

Так, например, преобразование двоичного числа в десятичное число будет:

Сложив вместе ВСЕ значения десятичных чисел справа налево в позициях, которые представлены цифрой «1», мы получим: (256) + (64) + (32) + (4) + (1) = 357 ₁₀ или триста пятьдесят семь в виде десятичного числа.

Затем мы можем преобразовать двоичное число в десятичное, найдя десятичный эквивалент двоичного массива цифр 101100101 ₂ и расширив двоичные цифры в ряд с основанием 2, получив эквивалент 357 ₁₀ в десятичном или десятичном виде.

Обратите внимание, что в системах преобразования чисел «индексы» используются для обозначения соответствующей базовой системы нумерации, 1001 ₂ = 9 ₁₀ . Если после числа не используется нижний индекс, то обычно предполагается, что оно десятичное.

Повторный метод деления на 2

Выше мы видели, как преобразовать двоичное число в десятичное, но как преобразовать десятичное число в двоичное число. Простой метод преобразования десятичных эквивалентов в двоичные числа состоит в том, чтобы записать десятичное число и непрерывно делить его на 2 (два), чтобы получить результат, а остаток — либо «1», либо «0» до окончательного результата. равно нулю.

Так например. Преобразуйте десятичное число 294 ₁₀ в его двоичный эквивалент.

Этот метод преобразования десятичного числа в двоичное с делением на 2 дает десятичное число 294 ₁₀ , эквивалентное 100100110 ₂ в двоичном формате, при чтении справа налево.Этот метод деления на 2 также будет работать для преобразования в другие системы счисления.

Затем мы видим, что основными характеристиками системы двоичной нумерации является то, что каждая «двоичная цифра» или «бит» имеет значение либо «1», либо «0», причем каждый бит имеет вес или значение, вдвое превышающее значение его предыдущий бит начинается с младшего или младшего значащего бита (LSB), и это называется методом «суммы весов».

Таким образом, мы можем преобразовать десятичное число в двоичное число либо с помощью метода суммы весов, либо с помощью метода повторного деления на 2, и преобразовать двоичное число в десятичное, найдя его сумму весов.

Имена и префиксы двоичных чисел

Двоичные числа можно складывать и вычитать так же, как десятичные числа, при этом результат объединяется в один из нескольких диапазонов размера в зависимости от количества используемых битов. Двоичные числа бывают трех основных форм — бит, байт и слово, где бит — это одна двоичная цифра, байт — восемь двоичных цифр, а слово — 16 двоичных цифр.

Классификация отдельных битов на более крупные группы обычно обозначается следующими более распространенными названиями:

Кроме того, при преобразовании из двоичного в десятичное или даже из десятичного в двоичное , мы должны быть осторожны, чтобы не перепутать два набора чисел.Например, если мы напишем на странице цифры 10, это может означать число «десять», если мы предполагаем, что это десятичное число, или в равной степени это может быть «1» и «0» вместе в двоичном формате, что является равно числу два в взвешенном десятичном формате сверху.

Один из способов решить эту проблему при преобразовании двоичных чисел в десятичные и определить, являются ли используемые цифры или числа десятичными или двоичными, — это написать небольшое число, называемое «нижним индексом», после последней цифры, чтобы показать основу системы счисления. использовался.

Так, например, если бы мы использовали строку двоичных чисел, мы бы добавили нижний индекс «2» для обозначения числа с основанием 2, чтобы число было записано как 10 ₂ . Точно так же, если бы это было стандартное десятичное число, мы бы добавили нижний индекс «10» для обозначения числа с основанием 10, чтобы число было записано как 10 ₁₀ .

Сегодня, когда микроконтроллеры или микропроцессорные системы становятся все более крупными, отдельные двоичные цифры (биты) теперь сгруппированы вместе в 8, чтобы сформировать один БАЙТ, причем большая часть компьютерного оборудования, такого как жесткие диски и модули памяти, обычно указывает свой размер в мегабайтах или даже гигабайты.

Сводка из двоичного в десятичный

• «BIT» — это сокращенный термин, полученный от BINary digiT
• Двоичная система имеет только два состояния, логический «0» и логический «1», что дает основание 2
• Десятичная система использует 10 различных цифр, от 0 до 9, что дает основание из 10
• Двоичное число — это взвешенное число, взвешенное значение которого увеличивается справа налево.
• Вес двоичной цифры удваивается справа налево
• Десятичное число можно преобразовать в двоичное с помощью метода суммы весов или метода повторного деления на 2
• При преобразовании чисел из двоичного в десятичное или из десятичного в двоичное используются индексы, чтобы избежать ошибок

Преобразование двоичного числа в десятичное (основание 2 в основание 10) или десятичного числа в двоичное (основание 10 на основание 2) может быть выполнено различными способами, как показано выше.При преобразовании десятичных чисел в двоичные числа важно помнить, какой бит является младшим (LSB), а какой — самым старшим (MSB).

В следующем уроке о двоичной логике> мы рассмотрим преобразование двоичных чисел в шестнадцатеричных чисел и наоборот и покажем, что двоичные числа могут быть представлены как буквами, так и числами.

двоичных и десятичных чисел — AndyBargh.ком

Компьютеры и электроника повсеместно распространены в современной культуре (вы бы не читали этот пост, если бы они не были), и, как новичок в разработке приложений для iOS, вам в конечном итоге понадобятся некоторые знания базовых концепций информатики, которые лежат в основе не только Разработка приложений для iOS, но разработка программного обеспечения и компьютеров в целом.

Сегодня это первый из ряда постов, которые призваны дать вам эти знания, и в этом посте мы рассмотрим одну из самых основных концепций информатики — двоичных чисел .

Введение

Как вы, я уверен, вы знаете, компьютеры работают на электричестве.

Будь то сеть, аккумулятор или солнечная энергия, все эти устройства основаны на идее использования электричества для индивидуальной настройки миллиардов крошечных электронных компонентов в одно из двух состояний:

• На (который мы интерпретируем как 1 )
• Off (который мы интерпретируем как 0 )

По сути, каждый из этих отдельных компонентов используется для хранения одного « бит, » информации.

Теперь возможность хранить два значения, 0 и 1, — это хорошо, но далеко не уедет. А что, если бы мы хотели хранить большие значения?

Десятичное представление

Вы помните, когда впервые научились считать и писать числа в школе? Вы можете этого не делать, но для того, чтобы объяснить, как эти крошечные ячейки памяти используются для хранения больших чисел, нам нужно совершить быстрое путешествие по переулку памяти (извинения за глупые шутки!). Давайте посмотрим на пример.

Можете ли вы вспомнить различные числовые столбцы, которым вас учили в школе? Возможно, они ушли в смутное и далекое прошлое, но вас, вероятно, учили, что числа, такие как число 1234, можно записать, выразив их в терминах того, сколько раз нам нужны были столбцы 1, 10, 100, 1000 и т. Д.

Итак, если бы мы выписали 1234 в более длинной форме, мы могли бы написать:

1234 = ( 1 x 1000) + ( 2 x 100) + ( 3 x 10) + ( 4 x 1)

Видите, как разные числовые столбцы являются частями выражения?

Теперь вы можете не знать, что мы можем разделить то же выражение еще дальше:

1234 = ( 1 * 10 ³ ) + ( 2 * 10 ² ) + ( 3 * 10 ¹ ) + ( 4 * 10 ⁰ )

Примечание. Надстрочные числа называются показателем степени .Если вы никогда не сталкивались с показателями до этого, посетите https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation для получения более подробной информации.

Вы видите, что жирные символы по-прежнему являются нашим исходным числом, но можете ли вы также увидеть, как я разбил числовые столбцы, чтобы выразить их в виде степеней десяти? Это то же самое выражение, только в более длинной форме.

Когда мы пишем числа, такие как 1234 выше, мы записываем их в так называемой десятичной системе счисления (также для краткости называемой десятичной ).

Десятичное число , термин, происходящий от латинского decem , означающего 10, использует 10 символов (символы от 0 до 9) для обозначения чисел, и это нотация чисел, к которой привыкло большинство из нас.

Как вы, вероятно, можете видеть из приведенного выше примера, число 10 чрезвычайно важно в десятичной системе счисления и называется основанием системы счисления или основанием числа (http://en.wikipedia.org/wiki/Number_base). Все числа в десятичной системе счисления выражаются через систему счисления .

Теперь вам может быть интересно, куда я иду с этим, и вот оно….

Что, если бы вместо 10 символов для выражения чисел мы использовали только два, символы 0 и 1, которые мы обсуждали в самом начале этого поста? Можем ли мы по-прежнему выразить все числа, которые мы хотели, используя только эти два символа?

Ну, как я уверен, вы уже догадались, ответ — да. Скажите «Привет» Двоичная нотация .

Двоичное представление

Двоичная запись (часто сокращается до двоичная ), происходит от слова bi , означающего два.

В двоичном формате вместо 10 знаков или символов для выражения чисел используются только два, символы 0 и 1 .

Как и в десятичной системе счисления , все числа в двоичной системе счисления выражаются с помощью системы счисления с основанием или с основанием числа . В случае двоичного кода это основание равно 2.

Когда мы записываем двоичных чисел , мы иногда записываем их с основанием числа в качестве нижнего индекса.Это сделано для того, чтобы отличить их от чисел в других основаниях (чаще всего, чтобы отличить их от чисел, записанных в десятичном формате ). Вот пример двоичного числа , которое показывает следующее: 101 ₂ .

Теперь предположим, что мы хотим представить десятичное число , число 27, в двоичном формате . Как бы мы это сделали?

Что ж, мы знаем, что в десятичном формате у нас есть разные числовые столбцы (1, 10, 100, 1000 и т. Д.), И каждый из этих столбцов представляет собой значение возведения системы счисления с основанием в разной степени.Давайте посмотрим, как будут выглядеть эти столбцы для двоичного кода :

Теперь, аналогично десятичному , мы можем выразить числа в двоичном формате , складывая вместе различные комбинации числовых столбцов.Однако двоичный отличается от десятичного тем, что вместо возможности использовать конкретный столбец до 9 раз, вы можете использовать каждый столбец только один раз.

Учитывая это, слушайте тизер для вас. Как мы могли объединить столбцы с разными числами выше, чтобы в сумме получилось 27?

Ну, мы могли бы написать:

27 ₁₀ = ( 1 * 16) + ( 1 * 8) + ( 0 * 4) + ( 1 * 2) + ( 1 * 1)

Или альтернативно:

27 ₁₀ = ( 1 * 2 ⁴ ) + ( 1 * 2 ³ ) + ( 0 * 2 ² ) + ( 1 * 2 ¹ ) + ( 1 * 2 ⁰ )

Как и в случае с десятичным числом , если мы удалим часть числового столбца в каждом приведенном выше умножении, мы получим:

27 ₁₀ = 11011 ₂

И вот оно, 27 (которое также можно записать как 27 ₁₀ ), выраженное в двоичном формате !

А как насчет еще одного быстрого примера? Посмотрите, сможете ли вы справиться со следующей задачей самостоятельно.

Вы можете придумать, как десятичное число 63 ₁₀ представить в двоичном формате?

Преобразование из десятичного в двоичное

Существует также второй и, по мнению некоторых, более быстрый способ преобразования десятичного в двоичный , называемый методом деления . Давайте снова возьмем наш пример 27 ₁₀ .

Первый шаг в методе деления состоит в том, чтобы взять наше число и выполнить целочисленное деление , используя число 2, следя за остатком.

Примечание. Вы можете знать, а можете и не знать, но целочисленное деление , если вы посмотрите на максимальное количество раз, когда одно число вписывается в другое вместе с любым остатком.

В нашем случае, если бы мы выполняли целочисленное деление, у нас было бы:

27/2 = 13 r 1.

В методе деления нас интересуют остатки, и в конечном итоге мы будем использовать каждый остаток как цифру в нашем двоичном числе . В этом случае цифра будет 1 .

Затем мы берем наше новое число 13 и снова делим его на 2, отслеживая новый результат и остаток. Это дает нам:

13/2 = 6 r 1.

Мы продолжаем повторять этот процесс, беря новое число, делим его на два и записываем остаток до тех пор, пока у нас не будет напоминания 0 или 1. Как только мы достигаем этой точки, мы также записываем эту последнюю цифру.

Если мы теперь прочитаем все остатки, которые мы отметили, в обратном порядке, мы получим наше двоичное число i.е. 11011 ₂ . Я написал полную таблицу работы ниже:

Давайте попробуем другой пример.

На этот раз я пропущу описание, но посмотрим, сможете ли вы самостоятельно проработать приведенную ниже таблицу.

В этом примере мы попытаемся преобразовать десятичное число число 126 (126 ₁₀ ) в двоичное .

Если считать остатки в обратном порядке, получим 1111110 ₂ .

Итак, теперь мы знаем, как преобразовать из десятичного в двоичный , но как насчет другого направления?

В следующем разделе мы рассмотрим аналог метода деления , который позволяет быстро преобразовать двоичный в десятичный .

Преобразование из двоичного в десятичное

Для преобразования из двоичного в десятичное есть также простой метод, но на этот раз вместо деления на 2 мы собираемся умножить на 2, отсюда и название: метод умножения .

Чтобы убедиться, что мы все поняли, мы воспользуемся нашим результатом из примера в предыдущем разделе и посмотрим, сможем ли мы вернуться к нашему начальному числу.

Давайте начнем с нашего двоичного числа 1111110 ₂ . Также начните с промежуточной суммы 0.

Первый шаг в методе умножения — умножить нашу текущую сумму на 2, а затем добавить первую цифру из двоичного числа, чтобы получить новую промежуточную сумму.

Затем мы повторяем этот процесс для всех оставшихся цифр двоичного числа, умножая промежуточную сумму на два и затем добавляя следующую цифру.

После того, как мы добавили цифру из последнего столбца, мы закончили и должны получить наш десятичный эквивалент . Посмотрим, как получится:

И вот оно.Вернемся к нашему исходному результату 126 ₁₀

Давайте попробуем еще один пример. А как насчет двоичного числа 101101 ₂ ? Опять же, посмотрите, сможете ли вы проработать это самостоятельно, прежде чем смотреть на мои работы.

В данном случае наш результат 45 ₁₀

Как видите, процесс перехода от двоичного эквивалента к его десятичному эквиваленту относительно прост, если вы изучите эту технику, и немного мысленной арифметики у вас все будет готово!

Сводка

Мы оставим все здесь на сегодня, но, завершив сегодняшнюю публикацию, что мы узнали?

Мы рассмотрели двоичную систему счисления и десятичную систему счисления.Мы видели, как числа, записанные в определенной нотации, все выражаются в терминах этой нотации с основанием системы счисления или с основанием числа , и мы видели, как для десятичного числа с основанием равно 10 и для двоичного с основание системы счисления равно 2.

Мы также узнали о двух методах преобразования: метод умножения для преобразования двоичных чисел в их десятичные эквиваленты и метод деления , который используется для преобразования десятичных чисел в двоичные .В ходе публикации мы рассмотрели несколько примеров.

На этом я оставлю вас сегодня с двумя вещами.

Во-первых, если вы застряли в чем-то, что я объяснил в посте, свяжитесь с нами, и я сделаю все возможное, чтобы помочь вам с этим справиться.

Во-вторых, я оставлю вам одну из лучших (или худших) бинарных шуток, которые я знаю. После того, что вы узнали сегодня, это должно хотя бы вызвать у вас улыбку (или, может быть, это передергивает?)…

В мире есть 10 типов людей: те, кто понимает двоичное, и те, кто нет.

Источник изображения: http://flic.kr/p/4zw5Zx

Двоичное преобразование в десятичное — преобразование, формулы, диаграмма преобразования, примеры

Преобразование двоичного числа в десятичное выполняется для преобразования числа, заданного в двоичной системе, в его эквивалент в десятичной системе счисления. Система счисления — это формат для представления чисел определенным образом. Двоичная система счисления используется в компьютерах и электронных системах для представления данных и состоит всего из двух цифр: 0 и 1. Десятичная система счисления является наиболее часто используемой системой счисления во всем мире, которая легко понятна людям.Он состоит из цифр от 0 до 9. Преобразование двоичного числа в десятичное можно выполнить самым простым способом, сложив произведение каждой двоичной цифры на ее вес (, который имеет форму — двоичная цифра × 2, возведенная в степень позиции. цифры ), начиная с крайней правой цифры, имеющей вес 2 ⁰ .

Преобразование двоичного числа в десятичное можно выполнить двумя способами — методом позиционной записи и методом удвоения. Давайте разберемся с различными методами преобразования двоичного кода в десятичный.

Что такое преобразование двоичного числа в десятичное?

Преобразование двоичного числа в десятичное выполняется для представления числа, заданного в двоичной системе счисления, в его эквивалент в десятичной системе счисления. Система счисления очень важна для представления чисел. Каждая система счисления имеет основание, а основание системы счисления определяется общим количеством цифр, используемых в системе счисления. Например, двоичная система счисления имеет основание 2, потому что в ней всего две цифры для представления любого числа.Точно так же десятичная система счисления имеет основание 10, так как в ней 10 цифр для представления числа.

Преобразование чисел из двоичного в десятичное важно, поскольку оно помогает читать числа, представленные в виде набора нулей и единиц.

Методы преобразования двоичных чисел в десятичные

Преобразование двоичного числа в десятичное сделано, чтобы облегчить чтение больших двоичных чисел в форме, понятной людям. Существует два метода преобразования числа из двоичной в десятичную систему счисления.

• Метод позиционной записи
• Метод удвоения

Давайте подробно разберемся с этими методами преобразования двоичного кода в десятичный.

Преобразование двоичного числа в десятичное с использованием метода позиционной записи

Метод позиционной записи — это метод, при котором значение цифры в числе определяется весом на основе ее положения. Это достигается путем умножения каждой цифры на основание (2), возведенное в соответствующую степень в зависимости от положения этой цифры в числе.Суммирование всех этих значений, полученных для каждой цифры, дает эквивалентное значение данного двоичного числа в десятичной системе.

Чтобы понять преобразование двоичного числа в десятичное, выполните следующие действия. Рассмотрим двоичное число \ ((101101) _ {2} \). В любом двоичном числе крайняя правая цифра называется «младшим значащим битом» (LSB), а крайняя левая цифра — «старшим значащим битом» (MSB). Для двоичного числа с n цифрами младший бит имеет вес 2 ⁰ , а самый старший бит имеет вес 2 ^n-1 .

• Шаг 1: Составьте список степеней двойки для всех цифр, начиная с крайней правой позиции. Первая степень будет 2 ⁰ и по мере продвижения будет 2 ¹ , 2 ² , 2 ³ , 2 ⁴ , 2 ⁵ , … В данном примере, здесь 6 цифр, поэтому, начиная с крайней правой цифры, вес каждой позиции справа равен 2 ⁰ , 2 ¹ , 2 ² , 2 ³ , 2 ⁴ , 2 ⁵ .

• Шаг 2: Теперь умножьте каждую цифру двоичного числа, начиная справа, на соответствующий вес в зависимости от позиции и оцените произведение. Обратите внимание на рисунок ниже, относящийся к шагу. Наконец, просуммируйте все произведения, полученные для всех цифр двоичного числа.

• Шаг 3: Теперь выразите двоичное число как десятичное: \ ((101101) _ {2} \) = \ ((45) _ {10} \)

Преобразование двоичного числа в десятичное с использованием метода удвоения

Как следует из названия, процесс удвоения или умножения на 2 выполняется для преобразования двоичного числа в десятичное.Давайте воспользуемся тем же примером для преобразования двоичного числа \ ((101101) _ {2} \) в десятичное. Выполните следующие шаги, приведенные ниже, чтобы понять преобразование двоичного числа в десятичное с использованием метода удвоения.

• Шаг 1: Запишите двоичное число и начните с самой левой цифры. Удвойте предыдущее число и добавьте текущую цифру. Поскольку мы начинаем с самой левой цифры и нет предыдущей цифры до самой левой цифры, мы рассматриваем удвоение предыдущей цифры как 0.Например, в \ ((101101) _ {2} \) самая левая цифра — «1». Удвоение предыдущего числа равно 0. Следовательно, мы получаем ((0 × 2) + 1), что равно 1.
• Шаг 2: Продолжите тот же процесс и для следующей цифры. Вторая цифра слева — 0. Теперь удвойте предыдущую цифру и сложите ее с текущей цифрой. Следовательно, мы получаем [(1 × 2) + 0], что равно 2.
• Шаг 3: Повторите тот же шаг последовательно для всех цифр. Сумма, полученная на последнем шаге, является фактическим десятичным значением.Следовательно, результатом преобразования двоичного числа \ ((101101) _ {2} \) в десятичное с помощью метода удвоения будет \ (45_ {10} \).

Посмотрите на изображение, приведенное ниже, чтобы относиться к шагам и понять, как работает метод удвоения.

Двоичная формула в десятичную

В предыдущем разделе мы узнали о методах и их пошаговом процессе преобразования двоичного кода в десятичный. Давайте теперь узнаем общую формулу преобразования двоичного числа в десятичное.Считая \ (d_ {n} \) цифрами двоичного числа, состоящего из ‘n’ цифр, формула для преобразования двоичного числа в десятичное задается как,

Формула преобразования двоичного числа в десятичное:

(десятичное число) ₁₀ = \ ((d_ {0} \) × 2 ⁰ ) + \ ((d_ {1} \) × 2 ¹ ) + \ ((d_ {2} \) × 2 ² ) + ….. + \ ((d_ {n-1} \) × 2 ^n-1 )

, где \ (d_ {0} \), \ (d_ {1} \), \ (d_ {2} \) — отдельные цифры двоичного числа, начиная с крайней правой позиции.

Давайте посмотрим, как применяется приведенная выше двоичная формула к десятичной и узнаем, как преобразовать двоичное в десятичное, используя следующий пример.

Например, позволяет преобразовать \ ((1110) _ {2} \) из двоичного в десятичное с помощью формулы. Мы начинаем преобразование с самой правой цифры, которая здесь «0».
(Десятичное число) ₁₀ = \ ((d_ {0} \) × 2 ⁰ ) + \ ((d_ {1} \) × 2 ¹ ) + \ ((d_ {2} \) × 2 ² ) + ….. \ ((d_ {n-1} \) × 2 ^n-1 ),
= (0 × 2 ⁰ ) + (1 × 2 ¹ ) + (1 × 2 ² ) + (1 × 2 ³ )
= 0 + 2 + 4 + 8
= 14
Следовательно, \ ((1110) _ {2} \) = \ ((14) _ {10} \).

Таблица преобразования двоичного числа в десятичное

Преобразование первых 20 десятичных чисел из двоичного в десятичное показано в таблице, приведенной ниже.

Преобразователь двоично-десятичного числа

В приведенных выше разделах мы узнали о различных методах преобразования двоичного кода в десятичный.Оцените этот преобразователь двоичного числа в десятичный, чтобы проверить результаты ручных вычислений, выполненных для преобразования числа, заданного в двоичной системе счисления, в его эквивалент в десятичной системе счисления — Преобразователь двоичного в десятичный

Темы, связанные с преобразованием двоичного числа в десятичное:

Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с преобразованием двоичных чисел в десятичные.

Часто задаваемые вопросы о двоичном и десятичном виде

Что такое преобразование двоичного числа в десятичное?

Процесс преобразования двоичного числа в десятичное называется преобразованием двоичного числа в десятичное.Например, \ ((100) _ {2} \) в двоичном формате при преобразовании в десятичное число будет (4) ₁₀ . Двоичные числа состоят только из 0 и 1, тогда как десятичные числа состоят из цифр от 0 до 9. Двоичная система счисления также называется системой счисления с основанием 2, а десятичная система счисления известна как система счисления с основанием 10. .

Как преобразовать двоичное в десятичное?

Число, указанное в двоичной системе счисления, может быть преобразовано в его эквивалент в десятичной системе счисления либо методом позиционного обозначения, либо методом удвоения.

Какое значение \ ((1010) _ {2} \) от двоичного к десятичному?

Десятичное значение \ ((1010) _ {2} \) — число 10. Чтобы получить это, мы умножаем каждую цифру двоичного числа на 2 в степени, зависящей от положения цифры в числе, начиная с крайняя правая цифра и движется влево. Самая правая цифра умножается на 2 ⁰ , а следующая цифра — на 2 ¹ и так далее. Наконец, мы складываем все значения и получаем десятичное значение, равное 10.

Как преобразовать число из двоичного в десятичное с помощью метода позиционной записи?

Чтобы преобразовать число из двоичного в десятичное с использованием метода позиционной записи, мы умножаем каждую цифру двоичного числа на его основание (равное 2), возведенное в степень в зависимости от его позиции в двоичном числе. Самая правая цифра двоичной цифры имеет позицию 0, и по мере продвижения влево она увеличивается на 1. Наконец, мы суммируем все значения, чтобы получить десятичный эквивалент.Например, чтобы преобразовать \ ((101) _ {2} \) из двоичного в десятичное с помощью метода позиционной записи, этап преобразования выглядит следующим образом. \ ((100) _ {2} \) = (0 × 2 ⁰ ) + (0 × 2 ¹ ) + (1 × 2 ² ), что равно 0 + 0 + 4. Следовательно , \ ((100) _ {2} \) = (4) ₁₀ .

Как преобразовать число из двоичного в десятичное с помощью метода удвоения?

В методе удвоения мы удваиваем каждую предыдущую цифру и добавляем ее к текущей цифре двоичного числа, начиная с самой левой цифры и двигаясь вправо.Например, чтобы преобразовать \ ((110) _ {2} \) из двоичного в десятичное, мы используем шаги, указанные ниже. Здесь, поскольку мы начинаем с самой левой цифры, для нее нет предыдущего числа. Поэтому мы считаем, что удвоенное значение предыдущего числа для крайней левой цифры равно 0. Сумма, полученная на последнем шаге, является десятичным эквивалентом двоичного числа.

• (0 × 2) + 1 = 1
• (1 × 2) + 1 = 3
• (3 × 2) + 0 = 6
• Следовательно, \ ((110) _ {2} \) = \ ((6) _ {10} \)

Какова формула преобразования двоичного числа в десятичное?

Формула для преобразования двоичного числа в десятичное выглядит следующим образом.Считая \ (d_ {n} \) цифрами двоичного числа, состоящего из ‘n’ цифр, \ ((\ text {Decimal Number}) _ {10} \) = \ ((d_ {0} \) × 2 ⁰ ) + \ ((d_ {1} \) × 2 ¹ ) + \ ((d_ {2} \) × 2 ² ) + ….. \ ((d_ {n } \) × 2 ⁿ ), где \ (d_ {0} \), \ (d_ {1} \), \ (d_ {2} \) — отдельные цифры двоичного числа, начиная с крайней правой позиции .

Можем ли мы преобразовать \ ((1111.1) _ {2} \) из двоичного в десятичный?

Да, можно преобразовать \ ((1111.1) _ {2} \) из двоичного в десятичный. Для этого мы сначала преобразуем целую часть в десятичную или десятичную. Следовательно, десятичный эквивалент \ ((1111) _ {2} \) = (1 × 2 ⁰ ) + (1 × 2 ¹ ) + (1 × 2 ² ) + (1 × 2 ³ ), что равно 1 + 2 + 4 + 8, то есть 15. Теперь мы преобразуем дробную часть, равную 0,1, в десятичное число или число с основанием 10. Поскольку это дробная часть, десятичный эквивалент 0,1 = 1 × 2 ^-1 , что равно 0,5.Теперь мы суммируем оба значения вместе, что составляет 15 + 0,5 или 15,5. Следовательно, преобразование двоичного числа в десятичное \ ((1111.1) _ {2} \) равно \ ((15.5) _ {10} \).

Перечислите двоичные и десятичные значения первых десяти десятичных чисел.

В приведенном ниже списке показаны двоичные и соответствующие десятичные эквиваленты первых десяти десятичных чисел.

(0) \ (_ 2 \) = (0) \ (_ {10} \)
(1) \ (_ 2 \) = (1) \ (_ {10} \)
(10) \ (_ 2 \) = (2) \ (_ {10} \)
(11) \ (_ 2 \) = (3) \ (_ {10} \)
(100) \ (_ 2 \) = (4) \ (_ {10} \)
(101) \ (_ 2 \) = (5) \ (_ {10} \)
(110) \ (_ 2 \) = (6) \ (_ {10} \)
(111) \ (_ 2 \) = (7) \ (_ {10} \)
(1000) \ (_ 2 \) = (8) \ (_ {10} \)
(1001) \ (_ 2 \) = (9) \ (_ {10} \)

Приводятся ли преобразования двоичного числа в десятичное и двоичного в шестнадцатеричное к одному и тому же ответу?

Нет, преобразование двоичного числа в десятичное и двоичного в шестнадцатеричное приводит к разным ответам, потому что десятичное и шестнадцатеричное — разные системы счисления.5 = 57_ {10} \)

Простая математика, лежащая в основе алгоритмов десятично-двоичного преобразования

Если вы поищете в Интернете «Как преобразовать десятичное в двоичное», вы найдете четыре простых алгоритма: два для целых чисел и два для дробей. Они представлены с примерами ниже, в первой части статьи. Но, хотя почти всегда достаточно простого знания алгоритмов, я решил попытаться понять, почему они работают. Во второй части этой статьи объясняется самая простая математика, лежащая в основе каждого из них.Знание этого может помочь вам запомнить любой из алгоритмов, если вы внезапно их забудете. Я настоятельно рекомендую вам взять блокнот и ручку и выполнять операции вместе со мной, чтобы лучше запомнить математику. Вот четыре алгоритма с примерами, которые вы можете найти в Интернете.

Преобразование десятичного целого числа в двоичное

Чтобы преобразовать целое число в двоичное, начните с рассматриваемого целого числа и разделите его на 2, обращая внимание на частное и остаток. Продолжайте делить частное на 2, пока частное не будет равно нулю.Затем просто выпишите остатки в обратном порядке.

Вот пример такого преобразования с использованием целого числа 12.
Сначала разделим число на два, указав частное и остаток:

Теперь нам просто нужно выписать остаток в обратном порядке — 1100 . Итак, 12 в десятичной системе представлены как 1100 в двоичной системе.

Преобразование десятичной дроби в двоичную

Чтобы преобразовать дробь в двоичную, начните с рассматриваемой дроби и умножьте ее на 2 , обращая внимание на результирующую целую и дробную часть.Продолжайте умножать на 2, пока не получите дробную часть, равную нулю. Затем просто выпишите целые части из результатов каждого умножения.

Вот пример такого преобразования с использованием дроби 0,375 .

А теперь давайте просто выпишем полученную целую часть на каждом шаге — 0,011 . Итак, 0,375 в десятичной системе представлены как 0,011 в двоичной системе.

Преобразование двоичного целого числа в десятичное

Чтобы преобразовать двоичное целое число в десятичное, начните слева. Возьмите текущую сумму, умножьте ее на два и сложите текущую цифру. Продолжайте до тех пор, пока не закончатся цифры. Вот пример такого преобразования с использованием дроби 1011 .

Преобразование целой дроби в десятичную

Чтобы преобразовать двоичную дробь в десятичную, начните справа с суммы 0. Возьмите текущую сумму, сложите текущую цифру и разделите результат на 2.Продолжайте, пока не закончатся цифры. Вот пример такого преобразования с использованием дроби 0,1011 . Я просто заменил деление на 2 умножением на 1/2 .

Здесь у вас есть 4 простых алгоритма, которые позволят вам преобразовать двоичные числа в десятичные и обратно.

Расширение числа по Base-q

Ключом к пониманию того, почему работают эти алгоритмы, является расширение числа по базовому q .Целое число в любой системе счисления может быть представлено в следующей форме:

, где

• N — целое число
• x — это цифра (от 0 до 9 для системы с основанием 10). , 0 и 1 для системы base-2)
• q является базовым значением (10 для системы base-10, 2 для системы base-2 )

В этой статье эта форма обозначается как основание q расширение числа N , или просто основание q расширение . Давайте посмотрим, как это выглядит для числа 12 в десятичной и двоичной системе:

Точно так же дробное число в любой числовой системе может быть представлено в следующем виде:

где,

• N — дробная часть
• x — цифра (от 0 до 9 для системы с основанием 10, 0 и 1 для системы с основанием 2)
• q — базовое значение (10 для системы base-10, 2 для системы base-2)

Для номера 0.375 в десятичной и двоичной системах представление выглядит следующим образом:

Преобразование десятичного целого числа в двоичное

Как оказалось, мы можем использовать эту форму расширения base-q для преобразования числа из десятичной системы в двоичную. . Сделаем это для того же номера 12 . Во-первых, представим, что мы не знаем, как это представлено в двоичном коде, и запишем его, заменив неизвестные цифры на x :

Наша задача — найти все x .Давайте посмотрим, что мы можем здесь сделать. Первое, на что мы должны обратить внимание, это то, что все слагаемые, кроме последнего, будут четными числами, потому что все они кратны двум. Теперь, используя эту информацию, мы можем вывести цифру для x0 — , если преобразуемое целое четное число, тогда x0 равно 0 , если нечетное — то x0 должно быть 1 .Здесь число 12 четное, поэтому x0 равно нулю. Давайте запишем эту информацию:

Затем нам нужно найти значение для x1 . Поскольку все слагаемые от x1 до xN кратны двум, мы можем вынести 2 , чтобы выделить x1 .Давайте сделаем это:

Также легко увидеть, что сумма значений в скобках равна 6 . Итак, мы можем записать наш первый шаг как:

Давайте продолжим выяснять оставшиеся x . Мы можем записать полином внутри скобок как отдельный оператор:

Здесь, применив ту же логику, что и выше, мы видим, что x1 равно 0 .Давайте перепишем его и снова вычленим 2:

Итак, наш второй шаг:

Теперь мы можем увидеть закономерность. Мы можем продолжать разложить на множители 2 до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Давайте проследим эту схему и посмотрим, что у нас получится.

Поскольку частное равно 1, осталось только одно слагаемое, поэтому давайте перепишем предыдущее выражение:

Итак, наш третий шаг:

Итак, мы получаем следующее:

Понятно, что x3 равно 1 .Но, поскольку для нашего алгоритма нам нужно частное, давайте перепишем предыдущее выражение так, чтобы оно имело частное:

Поскольку в итоге мы получаем частное 0 , работать больше не с чем, и это был наш последний шаг. Запишем:

Итак, мы закончили преобразование. Вот как выглядит наше преобразование по шагам:

Теперь ясно, что остаток на каждом шаге соответствует значению x в соответствующих позициях: первый остаток соответствует первому x, второй остаток второму х и так далее.Таким образом, число 12 в двоичном формате с использованием описанного выше алгоритма представляется как 1100 .

Помните, что мы начали с идеи показать, почему работает алгоритм, который включает погружение на 2 . Давайте предпримем шаги, описанные выше, и переместим 2 в левую часть выражений:

Таким образом, вы можете увидеть, как мы пришли к алгоритму, описанному в начале.Мы также можем поместить вычисления для этих четырех шагов в одно представление, например, это

Убедитесь, что вы понимаете, как мы достигаем этого представления, поскольку оно нам понадобится при изучении того, как работает алгоритм преобразования из двоичного в десятичное.

Преобразование десятичной дроби в двоичную

Чтобы показать, почему мы умножаем на 2 и берем целую часть при преобразовании дробей в двоичные, я также буду использовать форму расширения base-q для дробей. Я собираюсь использовать дробное число 0.375 из первой части статьи. Как и в случае с целой частью, представим, что мы не знаем, как это число представлено в двоичном формате, и запишем его, заменив неизвестные цифры на x :

Как и в случае с целыми числами, наша задача — найти все x , выделив x . Посмотрим, как это сделать. Первое, на что следует обратить внимание, это то, что отрицательные степени двойки дают нам дроби со знаминателем 2 с положительными степенями.Давайте перепишем приведенное выше выражение:

Сразу очевидно, что мы можем просто вынести 1/2 в правой части выражения. Давайте сделаем это:

, и тогда мы можем переместить 1/2 в левую часть

Хорошо, здесь мы выделили x1 , и мы знаем, что это может быть либо 1 или 0 . Чтобы определить, какая у него цифра, давайте взглянем на оставшиеся слагаемые:

Давайте подумаем, насколько большой может быть сумма этих чисел.Если максимальное количество цифр x равно 1, то мы можем просто заменить цифры x на 1 и записать сумму как:

Ну, это геометрический ряд дробей, и сумма такой ряд лежит в границах [0

Теперь должно быть ясно, что если правая часть меньше чем 1, то x1 не может быть равно 1 , поэтому оно равно 0 , а оставшаяся часть равна 0.75 .

Это выглядит именно так, как первый шаг в алгоритме, представленном в начале:

Давайте вычленим дробную часть 0,75 и вынесем за множитель еще 1/2 , чтобы выделить x2 :

и переместите 1/2 влево:

Теперь, если x2 равно 0 , то сумма левой части выражения не может быть больше чем 1 , но левая сторона — 1.5 , поэтому x1 должно быть 1 , а оставшаяся часть 0,5 . Запишем это:

Опять же, это следует схеме в алгоритме, представленном в начале:

Давайте повторим те же действия для оставшейся дробной части 0,5 .

Используя ту же логику, что и выше, мы видим, что x3 равно 1 и нет оставшейся дробной части:

Поскольку оставшаяся дробная часть равна 0, это Вот как выглядит наш последний шаг:

Итак, давайте снова запишем все шаги:

Это именно тот алгоритм, который я представил в начале.Так же, как мы сделали с целыми числами, мы также можем объединить вычисления для этих трех шагов в одно представление следующим образом:

Опять же, важно, чтобы вы полностью усвоили это представление, поскольку оно нам понадобится при изучении преобразования двоичного в десятичное.

Почему не все дроби могут быть конечным образом представлены в двоичной системе

Тот факт, что некоторые дроби, представленные конечным числом в десятичной системе, не могут быть представлены конечным числом в двоичной системе, является неожиданностью для многих разработчиков.Но именно эта путаница лежит в основе, казалось бы, странного результата добавления 0,1 к 0,2. Так что же определяет, может ли дробь быть конечным образом представлена ​​в числовой системе? Итак, для того, чтобы число было представлено конечным числом, знаменатель дроби должен быть степенью основания системы. Например, для системы с основанием 10 знаменатель должен быть степенью 10, поэтому мы можем конечным образом представить 0,625 в десятичной системе:

и не можем конечным образом представить 1/3:

То же самое и с основанием. 2 система:

Но если мы проверим 0.1 знаменатель равен 10, а это не степень двойки, поэтому 0,1 будет бесконечной дробью в двоичной системе. Давайте посмотрим на это, используя алгоритм, который мы узнали выше:

Мы можем продолжать делать это бесконечно, но давайте запишем это как периодическую непрерывную дробь:

Преобразование двоичного целого числа в десятичное

Я собираюсь использовать то же двоичное целое число 1011 из первого раздела, чтобы показать вам, почему работает алгоритм умножения на 2. Здесь мы также будем использовать форму расширения base-q числа.Запишем это в такой форме:

Поскольку все слагаемые кратны 2 , мы можем продолжать вычитать 2 до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Давайте сделаем это:

Теперь, если вы просто следуете порядку математических операций, вы получите точно такие же шаги, которые я показал в начале, а именно:

Таким образом 1011 в двоичном формате — это 11 в десятичной системе.

Преобразование двоичной дроби в десятичную

Теперь мы подошли к последнему алгоритму.Наверное, вы уже разобрались в механике этого. Если нет, то давайте посмотрим, почему это работает. Расширение base-q числа также является ключевым. Возьмем номер 0,1011 из первого раздела. Запишем это в развернутом виде:

Опять же, поскольку все слагаемые кратны 1/2 , мы можем продолжать вычитать 1/2 до тех пор, пока не останется дробная часть.Давайте сделаем это:

Следуя порядку математических операций, вы получите алгоритм, описанный в начале:

Таким образом, 0,1011 в двоичном формате будет 0,6875 в десятичном.

Двоичные числа для начинающих

По моему опыту преподавания сетевых технологий, многие студенты борются с IP-адресами, потому что им не хватает базового понимания двоичных чисел.

Понимание двоичных чисел, двоичной системы и того, как преобразовывать двоичные числа в десятичные, важно для всех, кто занимается компьютерами, кодированием и сетями.

Binary 101 — Что вы узнаете

• Основы основ счисления — основание 10, основание 2 и основание 16
• Как преобразовать двоичное в десятичное и наоборот
• Как преобразовать двоичные числа в шестнадцатеричные и наоборот,
• Как преобразовать шестнадцатеричное в десятичное и наоборот,

Обзор десятичных и десятичных чисел с основанием 10

Прежде чем мы узнаем о двоичной системе счисления, мы более подробно рассмотрим нашу обычную десятичную систему счисления.

Принципы одинаковы для всех систем нумерации, и их легче освоить с помощью более знакомой вам системы.

Во-первых, наша десятичная система использует 10 в качестве основания , а числа находятся в диапазоне от 0 до 9

Давайте посмотрим на несколько примеров чисел

Начнем с трехзначного числа 129 (сто двадцать девять).

Это состоит из 100 +20 +9 = 129

Если мы посмотрим на диаграмму ниже, то увидим, что при движении справа налево столбцы увеличиваются в 10 раз.

2 во втором столбце не 2, а 2 * 10 = 20, а 1 в третьем столбце не 1, а 1 * 10 * 10 = 100.

означает 10 в степени 0. Это равно 1 и представляет наш столбец единиц.

В короткой таблице ниже показано еще несколько записей, использующих обозначение степени.

При записи десятичных чисел мы редко пишем значения столбцов над числами, так как мы уже знаем, что они собой представляют, поэтому просто пишем:

129 а не

Я ввел обозначение степеней, потому что оно имеет фундаментальное значение для понимания двоичных чисел.

Минимальное возможное число из трех цифр — 000 , а максимальное — 999. Для чисел больше 999 нам нужен 4-й столбец, который будет столбцом 1000.

Двоичная система счисления

Двоичные числа являются числами с основанием 2 и имеют только два значения — 0 и 1.

Если мы посмотрим на двоичное число, такое как 101, то мы снова можем присвоить значения столбцов, как мы это делали с нашим десятичным числом, но на этот раз мы используем 2, а не 10 в качестве основы.

Таким образом, двоичный код 101 имеет 1 в столбце единиц, 0 в столбце 2 и 1 в столбце 4.

Опять же, если работать справа налево, то:

1 — это 1, как в столбце единиц, но следующая 1 — это не 1, а 1 * 4 = 4

В двоичных числах используется основание 2, поэтому столбцы равны

Преобразование двоичного числа в десятичное

Давайте посмотрим на несколько двоичных чисел и преобразуем их в десятичные

Начнем с трехзначного двоичного числа 101 (см. Изображение выше

Число можно преобразовать в десятичное путем умножения следующим образом:

1 * 1 + 0 * 2 + 1 * 4 = 5

Максимальное значение, которое мы можем иметь с тремя двоичными цифрами, составляет 111 = десятичное 7, рассчитанное следующим образом:

1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4

Другие примеры:

1011 двоичный = 1 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4 + 1 * 8 = 11

1111 двоичный = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15

Попробуйте сами

1001 двоичный =?

1100 двоичный =?

Преобразование из десятичного в двоичное

Как преобразовать десятичное число в двоичное.

Пример того, что такое десятичное 10 двоичное.

Я использую следующий список из двух кратных.

128,64,32,16,8,4,2,1

Вот удобная диаграмма

Примечание: ошибка на диаграмме выше должна быть 2 ⁷ = 128

Процедура заключается в вычитании числа с наибольшей степенью двойки из десятичного числа

наибольшая степень двойки числа r, которую мы можем вычесть, составляет 8 , что составляет 2 ³ .

Итак, 10-8 = 2

, теперь мы делаем то же самое с остатком, поэтому наибольшее число, которое мы можем вычесть, равно 2, что равно 2 ¹

2-2 = 0

, поэтому у нас есть 1 восемь, без четверок, 1 два, без единиц = 1010 = 2 ³ + 2 ¹ .

Пример 2 : десятичный 13 в двоичный код

1 восемь, 1 четыре, 0 два, 1 единица = 1101.

Пример 3 : от десятичной 7 к двоичному коду

0 восемь, 1 четыре, 1 два, 1 единица = 0111.

Попробуйте сами вопросы

1001 двоичный = 9

1100 двоичный = 12

Байты, октеты и шестнадцатеричные числа

В компьютерах общепринятыми являются кодирование и организация работы в сети с 8-битными числами.

8-битное число известно как октет , а также чаще его называют байтом . Подробности см. В Wiki.

Преобразование двоичного числа в десятичное и преобразование десятичного числа в двоичное 8-битные числа

8-битное двоичное число может представлять максимум десятичного числа 255 = двоичное 11111111 .

Рассчитывается следующим образом:

1 * 128 + 1 * 64 + 1 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 + 1 = в десятичном виде 255

Вот еще одно 8-битное двоичное число — 01101011.

Чтобы преобразовать его в десятичное, мы записываем число с номерами столбцов, указанными выше, следующим образом:

, если мы преобразуем наши столбцы в десятичные эквиваленты, используя следующую диаграмму.

, затем двоичное число 01101011 = 1 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4 = 1 * 8 + 0 * 16 = 1 * 32 + 1 * 64 + 0 * 128

= 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 107

Уведомление состоит исключительно из единиц и нулей.

Чтобы преобразовать это число в десятичное, нам нужно понять, что представляет собой каждая единица.

Если мы напишем значение столбца с над числами, то станет легко преобразовать двоичное число в десятичное.

Пример десятичного преобразования в двоичное

Последний, более крупный пример преобразования десятичного числа 200 в двоичный код

200 = 128 + 64 + 8 = 2 ⁷ + 2 ⁶ + 2 ³ = 11001000

Когда процесс вас устраивает, вы можете использовать двоично-десятичный калькулятор , как в Windows.

Преобразует двоичные числа в десятичные

, и это преобразует десятичные числа в двоичные

Что такое шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричное число (основание 16) требует 4 бита и имеет максимальное значение 15 . Он использует символы 0-9, A, B, C, D, E, F .

Они представлены в двоичной форме следующим образом:

0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
..
1010 = A
1011 = B
1100 = C
1101 = D
1110 = E
1111 = F

Байт (8 бит) может быть представлен как два шестнадцатеричных числа.

т.

FF = двоичное 11111111 и десятичное 255

F0 = 11110000 двоичное и десятичное 240

Быстрый тест

Тест по основам работы с двоичными числами

Информация

Базовый тест на понимание студентами двоичных чисел.

Вы уже проходили викторину раньше. Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Видео

Если вы предпочитаете видео, я подготовил видео, в котором описывается вышесказанное — Видео о двоичных числах

Ресурсы и статьи по теме:

Оцените? И используйте Комментарии, чтобы сообщить мне больше

Преобразование двоичного числа в десятичное — обзор

3.5 Карта Карно

Для двух переменных существует четыре термина, и их можно удобно разместить на «карте», как показано на рисунке 3.4. Карта состоит из квадрата, разделенного на четыре ячейки, по одной для каждого из минтермов. Возможные значения переменной A записаны в левой части карты, помечая соответствующие строки карты, в то время как возможные значения переменной B написаны в верхней части карты, помечая соответствующие столбцы карты.Следовательно, верхняя левая ячейка представляет минтерм, где A = 0 и B = 0, то есть минтерм A¯B¯. Нижняя правая ячейка представляет минтерм AB , где A = 1 и B = 1. Такая карта называется картой Карно или K-картой.

Рисунок 3.4. Карта для двух логических переменных

Карты Карно можно пометить и пометить различными способами. Например, каждая ячейка может быть пронумерована десятичным нижним индексом термина, который занимает ячейку.В этом случае нижняя правая ячейка будет пронумерована цифрой 3, как показано на рисунке 3.5 (a). Нумерация ячеек, показанная на рисунке 3.5 (a), предполагает, что A является самым старшим битом в двоичном преобразовании в десятичное, а B — младшим значащим битом. Поскольку A имеет вес 2, а B имеет вес 1, это иногда сокращенно обозначается как A, B ≡ 2,1 (что означает , а не как обычное уравнение, а просто указывает соответствующие веса A и B ).В качестве альтернативы ячейки могут быть помечены двоичным представлением их соответствующего индекса, как показано на Рисунке 3.5 (b). Еще одна возможность для меток осей — использовать A, A¯, B, B¯ вместо 0 и 1, как показано на рисунке 3.5 (c).

Рисунок 3.5. Альтернативные методы маркировки карты Карно

Для трех переменных карта содержит восемь ячеек, по одной для каждого из возможных терминов, как показано на Рисунке 3.6 (a), для взвешивания A, B, C ≡ 4,2 , 1. Переменная A назначается двум строкам карты, а переменные B и C — четырем столбцам.Есть четыре комбинации этих двух переменных, и каждая комбинация назначается столбцу карты.

Рисунок 3.6. Карты Карно для трех переменных

Столбцы и строки распределяются так, как показано, так что два соседних столбца всегда связаны с истинным значением переменной или, альтернативно, ее дополнением. Изучение рисунка 3.6 (a) показывает, что первые два столбца связаны с B ¯, второй и третий столбцы связаны с C , а третий и четвертый столбцы связаны с B. Причина распределения переменных по столбцам таким образом станет яснее, когда процедура минимизации булевой функции будет рассмотрена позже в этой главе. Обратите внимание, однако, что подписи столбцов в верхней части K-карты такие же, как порядок кода Грея для двух двоичных переменных (см. Раздел 1.21). Причина этого в том, что основной принцип K-карты заключается в том, что при перемещении от одной ячейки к соседней ячейке по вертикали или горизонтали значение одной (и только одной ) логической переменной может измениться, и Конечно, точно так же коды Грея должны изменяться только на одну цифру на каждом шаге.Альтернативный метод маркировки осей K-карты с 3 переменными показан на рис. 3.6 (b), из которого ясно, что два соседних столбца всегда связаны либо с истинным значением, либо с дополнением переменной.

K-карта с 4 переменными показана в двух формах, различающихся только методом маркировки осей, на рис. 3.7. Поскольку существует 16 минтермов для четырех переменных, карта содержит 16 ячеек, и каждая ячейка помечена десятичным нижним индексом соответствующего минтерма с использованием веса A, B, C, D 8, 4, 2, 1.Обратите внимание, что на рис. 3.7 (a) обе оси помечены в порядке кода Грея.

Рисунок 3.7. Карты Карно для четырех переменных

В случае пяти переменных удобно использовать две карты с 16 ячейками, а не одну карту с 32 ячейками, как показано на рисунке 3.8 (a). Правая карта соответствует истинному значению E , а левая карта связана с дополнением переменной E.

Рис. 3.8. Карты Карно для пяти переменных с использованием взвешивания A, B, C, D, E ≡ 16, 8, 4, 2, 1

Альтернативой является начало одной K-карты с 4 переменными и подразделение каждого оригинала. квадратную ячейку по диагонали, как показано на рисунке 3.8 (b) для создания единой карты из 32 ячеек, чтобы ячейки теперь стали треугольниками; E ассоциируется с верхними левыми треугольниками, а E¯ — с нижними правыми треугольниками.

Для шести переменных существует 64 термина, поэтому требуется 64 ячейки; Возможности состоят в том, чтобы использовать четыре карты с 16 ячейками, или две карты с 32 ячейками, или одну карту с 64 ячейками, полученную путем взятия карты с 32 ячейками и повторного деления каждой исходной квадратной ячейки по диагонали для получения четырех треугольных ячеек в пространстве каждая исходная квадратная ячейка, как показано на рисунке 3.9. В каждом случае все возможные комбинации E и F размещаются однозначно.

Рисунок 3.9. Карты Карно для шести переменных с использованием весов A, B, C, D, E, F 32, 16, 8, 4, 2, 1

Что такое двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная система записи?

 101010 

 52 

 2а 

 0x2a