Емкостное и индуктивное сопротивление переменного тока: что такое, в чем измеряется

Емкостное и индуктивное сопротивление в цепи переменного тока — Студопедия

Поделись  

Емкостное сопротивление в цепи переменного тока
При включении конденсатора в цепь постоянного напряже­ния сила тока I=0, а при включении конденсатора в цепь пере­менного напряжения сила тока I ? 0. Следовательно, конденса­тор в цепи переменного напряжения создает сопротивление меньше, чем в цепи постоянного тока.
Мгновенное значение напряжения равно . Мгновенное значение силы тока равно: Таким образом, колебания напряжения отстают от колебаний тока по фазе на π/2.
Т.к. согласно закону Ома сила тока прямо пропорциональна напряжению, то для максимальных значений тока и напряжения получим: , где — емкостное сопротивление.
Емкостное сопротивление не является характеристикой проводника, т. к. зависит от параметров цепи (частоты).
Чем больше частота переменного тока, тем лучше пропускает конденсатор ток (тем меньше сопротивление конденсатора переменному току).
Т.к. разность фаз между колебаниями тока и напряжения равна π/2, то мощность в цепи равна 0: энергия не расходуется, а происходит обмен энергией между источником напряжения и емкостной нагрузкой. Такая нагрузка наз. реактивной.
Индуктивное сопротивление в цепи переменного тока
В катушке, включенной в цепь переменного напряжения, си­ла тока меньше силы тока в цепи постоянного напряжения для этой же катушки. Следовательно, катушка в цепи переменного напряжения создает большее сопротивление, чем в цепи посто­янного напряжения.
Мгновенное значение силы тока:
Мгновенное значение напряжения можно установить, учиты­вая, что u = — ε i, где u – мгновенное значение напряжения, а εi – мгновенное значение эдс самоиндукции, т. е. при изменении тока в цепи возникает ЭДС самоиндукции, которая в соответствии с законом электромагнитной индукции и правилом Ленца равна по величине и противоположна по фазе приложенному напряжению.
. Следовательно , где амплитуда напряжения. Напряжение опережает ток по фазе на π/2.
Т.к. согласно закону Ома сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональная сопротивлению, то приняв величину ωL за сопротивление катушки переменному току, получим: — закон Ома для цепи с чисто индуктивной нагрузкой.
Величина — индуктивное сопротивление.
Т.о. в любое мгновение времени изменению силы тока противодействует ЭДС самоиндукции. ЭДС самоиндукции — причина индуктивного сопротивления.
В отличие от активного сопротивления, индуктивное не является характеристикой проводника, т. к. зависит от параметров цепи (частоты): чем больше частота переменного тока, тем больше сопротивление, которое ему оказывает катушка.
Т.к. разность фаз между колебаниями тока и напряжения равна π/2, то мощность в цепи равна 0: энергия не расходуется, а происходит обмен энергией между источником напряжения и индуктивной нагрузкой. Такая нагрузка наз. реактивной.

Колебания > Переменный ток > Полное сопротивление в цепи переменного тока (Z).

Содержание	Величина	Наименование
Обычно цепь переменного тока включает в себя и активное сопротивление, и емкость, и индуктивность. Полное сопротивление (Z) — это векторная сумма всех сопротивлений: активного, емкостного и индуктивного. — полное сопротивление цепи. Здесь: — активное сопротивление. — емкостное сопротивление. — индуктивное сопротивление. — полное сопротивление определяет силу тока в цепи по закону Ома.	I — действующее значение силы тока	А
U — действующее значение напряжения	В
XL — индуктивное сопротивление	Ом
ω — циклическая частота переменного тока	рад/с
L — индуктивность	Гн
C — емкость	Ф
XC — индуктивное сопротивление	Ом
Z — полное сопротивление	Ом
R — активное сопротивление	Ом
ρ — удельное сопротивление проводника	Ом м
l — длина проводника	м
S — площадь сечения проводника	м2



конспект урока на тему «Емкостное и индуктивное сопротивление в цепи переменного тока»

Тема урока: Емкостное и индуктивное сопротивление в цепи переменного тока.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель образовательная: сформировать понятие о реактивном сопротивлении в цепи переменного тока, выяснить причины его появления.

Цель развивающая: учить рассчитывать параметры простейших цепей переменного тока.

Используемые образовательные технологии :информационная (работа с обучающей программой, исследовательская деятельность), коммуникативно-ориентированная (дифференцированный подход, создание проблемной ситуации, рефлексия), здоровьесберегающая ( своевременное чередование различных видов деятельности учащихся, решение задач направленных на сохранение жизни и здоровья в чрезвычайных ситуациях, создание благоприятного эмоционально-психологического климата во время урока, проветривание кабинета перед уроком)

Оборудование: компьютер, экран, проектор, программа «Начала электроники», карточки с задачами,

План урока:

1. Орг. момент. – 1 мин.

2. Актуализация ранее полученных знаний — 5 мин.

3. Изучение нового материала — 25 мин.

4. Закрепление изученного материала – 5 мин.

5. Проверка усвоения изученного материала – 7мин

6. Подведение итогов. Инструктаж по выполнению домашней работы — 2мин.

Ход урока:

Актуализация ранее полученных знаний. – 5 мин.

1. Что называют переменным электрическим током? (незатухающие электромагнитные колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся ЭДС)

2. Как создать переменный электрический ток? (переменное напряжение создается генераторами на электростанциях)

3. Как вы представляете себе простейшую модель генератора? (проволочная рамка, вращающаяся в постоянном однородном магнитном поле)

4. Напряжение меняется с частотой  по закону косинуса. Как найти мгновенное значение силы тока в любой момент времени? (i=I_msin(t+))

5. Какое сопротивление называют активным? (электрическое сопротивление, вычисляемое по формуле R=l/S)

6. Почему его называют активным? (при наличии нагрузки, обладающей этим сопротивлением, цепь поглощает энергию: электрическая энергия преобразуется во внутреннюю)

7. Как связаны сила переменного тока и напряжение в цепи с резистором? (мгновенное значение силы тока пропорционально мгновенному значению напряжения и совпадает по фазе)

8. Что называется действующим значением силы тока? (действующее значение силы тока равно силе постоянного тока, выделяющего в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток за это же время?)

9. Как вычислить действующее значение силы тока и напряжения? (I=I_m/ 2 U=U_m/ 2 )

Изучение нового материала:

Создание проблемной ситуации – 3 мин

Вопрос классу: Может ли в цепи существовать постоянный ток, если в неё включен конденсатор?

Примерный ответ: Нет, так как конденсатор размыкает электрическую цепь.

Может ли в цепи существовать переменный ток, если в неё включен конденсатор?

Может, так как переменный ток — это электромагнитные колебания, возникающие при разрядке и зарядке конденсатора.

Как вы считаете, будет ли конденсатор оказывать сопротивление электрическому току? Давайте попробуем предположить, от каких величин оно должно зависеть. Предполагают: от ёмкости конденсатора и от частоты переменного тока.

Исследуем, как именно зависит ёмкостное сопротивление от ёмкости конденсатора и от частоты переменного тока.

Учащиеся работают в группах (парами или по 3 человека) за компьютерами. – (7 мин исследовательская деятельность по группам)

1. Запустите программу

2. Соберите электрическую цепь: последовательно источник переменного тока, конденсатор, лампочка, ключ.

3. Задайте первоначальные значения для источника: напряжение 220 В, частота 50 Гц; для лампочки: напряжение 220 В, мощность 100 Вт; для конденсатора напряжение 400 В, ёмкость 10 мкФ.

4. Замкните цепь. Пронаблюдайте яркость лампочки.

5. Не меняя значения частоты переменного тока, увеличьте ёмкость конденсатора в 2 раза Как изменилась яркость лампочки? Сделайте вывод, как изменилось сопротивление конденсатора.

6. Повторите эксперимент, уменьшив ёмкость конденсатора в 2 раза от первоначального

7. Не меняя значения ёмкости конденсатора аналогично исследуйте зависимость сопротивления от частоты переменного тока.

8. Объясните полученный результат.

9. Выведите формулу, по которой вычисляют емкостное сопротивление.

Далее следует обсуждение результатов. Выступают представители нескольких групп и результаты обобщаются. – 5 мин

Чем больше емкость конденсатора, тем больший заряд на обкладках накапливается и больший ток перезарядки возникает, следовательно (согласно закону Ома), сопротивление меньше.

Вывод: зависимость между емкостью конденсатора и ёмкостным сопротивлением обратно пропорциональная.

Чем больше частота переменного тока (меньше период), тем за более короткое время заряд будет проходить по проводам, следовательно сила тока больше, сопротивление меньше.

Вывод: зависимость между частотой переменного тока и ёмкостным сопротивлением обратно пропорциональная.

Формула: X_c=1/C

Выведем эту формулу теоретически (слайд №1) — 3 мин

u=U_mcost u= q/C

q/C=U_mcost

q=CU_mcost

i= q= -CU_msint= CU_mcos(t+/2)

I_m= U_mC I_m=U_m/X_c X_c=1/C

Вывод: колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на /2. Это означает, когда конденсатор разряжен (u=0) и начинает заряжаться, сила тока в цепи максимальна.

Причины появления ёмкостного сопротивления: изменению переменного тока в любое мгновение противодействует электрическое поле между обкладками конденсатора.

Мы выяснили, что конденсатор, включенный в электрическую цепь оказывает сопротивление переменному току. Как вы считаете, если включить в электрическую цепь катушку индуктивности, то она будет оказывать сопротивление переменному току?

Предполагаемый ответ: Да, будет. Объясняется явлением самоиндукции. При нарастании электрического поля вихревое поле тормозит движение электронов.

Задание: Предположить, от каких величин зависит индуктивное сопротивление. Собрать схему. Провести эксперимент (по аналогии с ёмкостным сопротивлением). Вывести формулу, по которой вычисляют индуктивное сопротивление. (5 минут исследовательская деятельность по группам)

Далее следует обсуждение результатов. Выступают представители нескольких групп и результаты обобщаются. – 3 мин

Вывод: Индуктивное сопротивление зависит от индуктивности катушки и от частоты переменного тока. Обе зависимости прямо пропорциональны. Формула: X_L=L.

Закрепление изученного материала.

Решение задачи №976.(задачник Рымкевич А.П)

Конденсатор включен в цепь переменного тока стандартной частоты. Напряжение в сети 220 В. Сила тока в цепи 2,5 А. Какова емкость конденсатора?

Как можно найти емкость конденсатора? Из формулы для расчета емкостного сопротивления: X_c=1/C  С=1/X_c (слайд №2).

Как можно найти емкостное сопротивление? Из закона Ома: I=U/X_c ;

X_c= U/ I=220В/2,5А=88 Ом. (слайд №3).

Как найти циклическую частоту?

= 2  С=1/(2 X_c)=1/( 2·50 Гц·88 Ом)=3,6·10^-5 Ф=36 мкФ (слайд №4).

Проверка усвоения изученного материала

Закройте тетради. Возьмите листочки. Работа по вариантам. (слайд №5).

I вариант

1. Катушка с ничтожно малым активным сопротивлением включена в цепь переменного тока стандартной частоты. Сила тока в цепи 2 А. Определить напряжение на катушке, если её индуктивность 0,2Гн.

2. Как изменится емкостное сопротивление воздушного конденсатора, если пространство между пластинами заполнить диэлектриком ε=2?

II вариант

1. Катушка с ничтожно малым активным сопротивлением включена в цепь переменного тока стандартной частоты. Напряжение на катушке 120В. Определить силу тока в катушке, если её индуктивность 0,3Гн.

2. Как изменится емкостное сопротивление воздушного конденсатора, если расстояние между пластинами увеличить в 2 раза?

Подведение итогов.

Сегодня на уроке мы узнали, что в цепи переменного тока( в отличие от цепи постоянного тока), кроме активного существует индуктивное и емкостное сопротивления. Выяснили причины их появления. Получили формулы для их вычисления.

Особенно активно и с высоким качеством сегодня работали (объявляются фамилии). Оценки получают (фамилии).

Инструктаж по выполнению домашней работы

Вывести теоретически формулу для расчета индуктивного сопротивления. (разобрать вывод в §34), №979. Дополнительно для желающих — №977,981 (качественные задачи).

Всем спасибо! Урок закончен. До свидания.

6.11 Реактивное сопротивление: индуктивное и емкостное

Цели обучения Индуктивность и индуктивное сопротивление Конденсаторы и емкостные сопротивления Резисторы в цепи переменного тока

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

• Схема зависимости напряжения и тока от времени в простых индуктивных, емкостных и резистивных цепях
• Расчет индуктивного и емкостного реактивного сопротивления
• Расчет тока и/или напряжения в простых индуктивных, емкостных и резистивных цепях

Многие схемы также содержат конденсаторы и катушки индуктивности в дополнение к резисторам и источнику переменного напряжения. Мы видели, как конденсаторы и катушки индуктивности реагируют на постоянное напряжение при его включении и выключении. Теперь мы рассмотрим, как катушки индуктивности и конденсаторы реагируют на синусоидальное переменное напряжение.

Катушки индуктивности и индуктивное сопротивление

Предположим, что катушка индуктивности подключена непосредственно к источнику переменного напряжения, как показано на рис. 6.45. Разумно предположить пренебрежимо малое сопротивление, так как на практике мы можем сделать сопротивление катушки индуктивности настолько малым, что оно окажет незначительное влияние на цепь. Также показан график зависимости напряжения и тока от времени.

Рисунок 6.45 (a) Источник переменного напряжения, включенный последовательно с катушкой индуктивности, имеющей незначительное сопротивление. (б) График тока и напряжения на катушке индуктивности в зависимости от времени.

График на рис. 6.45(b) начинается с максимального напряжения. Обратите внимание, что ток начинается с нуля и достигает своего пика после управляющего им напряжения, как это было в случае, когда в предыдущем разделе было включено постоянное напряжение. Когда напряжение в точке а становится отрицательным, ток начинает уменьшаться; он становится равным нулю в точке b, где напряжение является самым отрицательным. Затем ток становится отрицательным; снова после напряжения. Напряжение становится положительным в точке с и начинает делать ток менее отрицательным. В точке d ток проходит через нуль как раз в тот момент, когда напряжение достигает своего положительного пика, чтобы начать новый цикл. Это поведение резюмируется следующим образом:

Напряжение переменного тока в индукторе

Когда на индуктор подается синусоидальное напряжение, напряжение опережает ток на одну четвертую периода или на фазовый угол 90º90º.

Ток отстает от напряжения, так как катушки индуктивности препятствуют изменению тока. Изменение тока индуцирует противоЭДС V=-L(ΔI/Δt).V=-L(ΔI/Δt). Это считается эффективным сопротивлением катушки индуктивности переменному току. Среднеквадратичное значение тока II типоразмера 12{I} {} через дроссель LL типоразмера 12{L} {} определяется по следующему варианту закона Ома:

6,51 I=VXL,I=VXL, размер 12{I= {{V} свыше {X rSub {размер 8{L} } } } } {}

, где VV — среднеквадратичное напряжение на катушке индуктивности, а размер XLXL 12{X rSub {размер 8{L} } } {} определяется как

6,52 XL=2πfL,XL=2πfL, размер 12{X rSub { размер 8{L} } =2π ital «fL»} {}

с ff размером 12{f} {} частота источника переменного напряжения в герцах. (Анализ цепи с использованием петлевого правила Кирхгофа и исчисления фактически дает это выражение.) Размер XLXL 12{X rSub { размер 8{L} } } {} называется индуктивным реактивным сопротивлением, поскольку индуктор реагирует на сопротивление току. Размер XLXL 12{X rSub { размер 8{L} } } {} измеряется в омах (1 Гн=1 Ом⋅с, (1 Гн=1 Ом⋅с, так что частота, умноженная на индуктивность, выражается в единицах (циклов/с) )(Ω⋅s)=Ω),(циклов/с)(Ω⋅s)=Ω),size 12{ \( «циклов/с» \) \( ` %OMEGA cdot s \) = %OMEGA } { } в соответствии с его ролью эффективного сопротивления.

Имеет смысл, что XLXL размер 12{X rSub { размер 8{L} } } {} пропорционален L,L, размер 12{L} {}, поскольку чем больше индукция, тем больше его сопротивление изменению. Также разумно, что размер XLXL 12{X rSub { размер 8{L} } } {} пропорционален частоте f,f, размер 12{f} {}, поскольку большая частота означает большее изменение тока. То есть ΔI/ΔtΔI/Δt размер 12{ΔI} {} велик для больших частот (большие f,f, размер 12{f} {} малый Δt).Δt).size 12{Δt} {} Чем больше изменение, тем больше сопротивление индуктора.

Пример 6.10 Расчет индуктивного сопротивления, а затем тока

(a) Рассчитайте индуктивное сопротивление катушки индуктивности 3,00 мГн при подаче переменного напряжения частотой 60,0 Гц и 10,0 кГц. б) Чему равно среднеквадратичное значение тока на каждой частоте, если приложенное среднеквадратичное напряжение равно 120 В?

Стратегия

Индуктивное сопротивление находится непосредственно из выражения XL.=2πfLXL.=2πfL размер 12{X rSub { размер 8{L} } =2π ital «fL»} {} После rSub { размер 8{L} } } {} был найден на каждой частоте, закон Ома, как указано в уравнении I=V/XLI=V/XL, может быть использован для определения тока на каждой частоте.

Решение для (a)

Ввод частоты и индуктивности в уравнение 2πfL=6,28(60,0/с)(3,00 мГн)=1,13 Ом при 60 Гц. XL=2πfL=6,28(60,0/с)(3,00 мГн)=1,13 Ом при 60 Гц.

Аналогично, при 10 кГц,

6,54 XL=2πfL=6,28(1,00×104/с)(3,00 мГн)=188 Ом при 10 кГц.XL=2πfL=6,28(1,00×104/с)(3,00 мГн) =188 Ом при 10 кГц. size 12{X rSub { size 8{L} } =2π ital «fL»=6 «.» «28» \( 3 «.» «00»» мГн» \) =»188″ %OMEGA } {}

Решение для (b)

Среднеквадратичное значение тока теперь находится с использованием версии закона Ома в уравнении I=V/XC, I=V/XC, при условии, что приложенное среднеквадратичное напряжение равно 120 В. Для первого частоты, это дает

6,55 I=VXL=120 В1,13 Ом=106 А при 60 Гц. I=VXL=120 В1,13 Ом=106 А при 60 Гц.

Аналогично, при 10 кГц,

6,56 I=VXL=120 В188 Ом=0,637 А при 10 кГц. I=VXL=120 В188 Ом=0,637 А при 10 кГц. size 12{I= {{V} over {X rSub { size 8{L} } } } = {{«120″» V»} over {«188 » %OMEGA } } =0 «. » «637» «А»} {}

Обсуждение

Катушка индуктивности очень по-разному реагирует на двух разных частотах. На более высокой частоте его реактивное сопротивление велико, а ток мал, что соответствует тому, как индуктор препятствует быстрому изменению. Таким образом, высокие частоты препятствуют больше всего. Индукторы можно использовать для фильтрации высоких частот; например, большой индуктор можно включить последовательно с системой воспроизведения звука или последовательно с вашим домашним компьютером, чтобы уменьшить высокочастотный звук, выходящий из ваших динамиков, или высокочастотные скачки мощности в вашем компьютере.

Обратите внимание, что, хотя сопротивление в рассматриваемой цепи незначительно, переменный ток не очень велик, поскольку индуктивное сопротивление препятствует его протеканию. При переменном токе нет времени для того, чтобы ток стал чрезвычайно большим.

Конденсаторы и емкостные реактивные сопротивления

Рассмотрим конденсатор, подключенный непосредственно к источнику переменного напряжения, как показано на рис. 6.46. Сопротивление такой цепи можно сделать настолько малым, что оно оказывает незначительное влияние по сравнению с конденсатором, и поэтому мы можем предположить пренебрежимо малое сопротивление. Напряжение на конденсаторе и ток представлены на рисунке как функции времени.

Рисунок 6.46 (a) Источник переменного напряжения, включенный последовательно с конденсатором C , имеющим незначительное сопротивление. (б) График тока и напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.

График на рис. 6.46 начинается с максимального напряжения на конденсаторе. В этот момент ток равен нулю, потому что конденсатор полностью заряжен и останавливает поток. Затем напряжение падает, а ток становится отрицательным по мере разряда конденсатора. В точке а конденсатор полностью разряжен (Q=0(Q=0 размер 12{Q=0} {} на нем) и напряжение на нем равно нулю. Ток остается отрицательным между точками a и b, вызывая изменение напряжения на конденсаторе. Это завершается в точке b, где ток равен нулю, а напряжение имеет самое отрицательное значение. Ток становится положительным после точки b, нейтрализуя заряд конденсатора и сводя напряжение к нулю в точке c, что позволяет току достигать его максимум. Между точками c и d ток падает до нуля, когда напряжение достигает своего пика, и процесс начинает повторяться. На протяжении всего цикла напряжение следует за током, который делает ток на одну четвертую цикла.0003

Напряжение переменного тока в конденсаторе

Когда на конденсатор подается синусоидальное напряжение, напряжение следует за током на одну четвертую периода или на фазовый угол 90º90º.

Конденсатор влияет на ток, имея возможность полностью остановить его при полной зарядке. Поскольку применяется переменное напряжение, существует среднеквадратичное значение тока, но оно ограничено конденсатором. Это считается эффективным сопротивлением конденсатора переменному току, поэтому среднеквадратичное значение тока II типоразмера 12{I} {} в цепи, содержащей только конденсатор CC типоразмера 12{C} {}, определяется другой версией закона Ома. быть

6,57 I=VXC,I=VXC, размер 12{I= {{V} более {X rSub {размер 8{C} } } } } {}

, где размер VV 12{V} {} – среднеквадратичное напряжение, а размер XCXC 12{X rSub { размер 8{C} } } {} определяется (как и для XL, XL, размер 12{X rSub { размер 8{L } } } {} это выражение для XCXC размера 12{X rSub {размер 8{C} } } {} получено в результате анализа схемы с использованием правил Кирхгофа и исчисления) равно

6,58 XC=12πfC,XC=12πfC, размер 12{X rSub { размер 8{C} } = {{1} над {2π ital «fC»} } } {}

, где XCXC размер 12{X rSub { размер 8{C} } } {} называется емкостным реактивным сопротивлением, поскольку конденсатор реагирует на сопротивление току. XCXC size 12{X rSub { size 8{C} } } {} измеряется в омах (проверка оставлена ​​читателю в качестве упражнения). Размер XCXC 12{X rSub { размер 8{C} } } {} обратно пропорционален емкости C;C; размер 12{C} {} чем больше конденсатор, тем больший заряд он может хранить и тем больший ток может протекать. Он также обратно пропорционален частоте f;f; size 12{f} {} чем выше частота, тем меньше времени требуется для полной зарядки конденсатора, и поэтому он меньше препятствует току.

Пример 6.11 Расчет емкостного реактивного сопротивления, а затем тока

(a) Рассчитайте емкостное реактивное сопротивление конденсатора емкостью 5,00 мФ при подаче переменного напряжения частотой 60,0 Гц и 10,0 кГц. б) Чему равно среднеквадратичное значение тока, если приложенное среднеквадратичное напряжение равно 120 В?

Стратегия

Емкостное сопротивление находится непосредственно из выражения XC=12πfC.XC=12πfC.size 12{X rSub { size 8{C} } = {{1} over {2π ital «fC»} } } {} Как только XCXC найден на каждой частоте, можно использовать закон Ома, сформулированный как I=V/XCI=V/XC, для нахождения тока на каждой частоте.

Решение для (a)

Ввод частоты и емкости в XC=12πfCXC=12πfC size 12{X rSub { size 8{C} } = {{1} over {2π ital «fC»} } } { } дает

6,59 XC=12πfC=16,28(60,0/с)(5,00 мкФ)=531 Ом при 60 Гц. XC=12πfC=16,28(60,0/с)(5,00 мкФ)=531 Ом при 60 Гц. { size 12{X rSub { size 8{C} } = {{1} over {2π ital «fC»} } } } {} # » «= {{1} over {6 «. » «28» \( «60» «.» 0/с \) \( 5 «.» «00» мкФ \) } } =»531 » %OMEGA » при 60 Гц» {} } } {}

Аналогично , при 10 кГц,

6,60 XC=12πfC=16,28(1,00×104/с)(5,00 мкФ)=3,18 Ом при 10 кГц. XC=12πfC=16,28(1,00×104/с)(5,00 мкФ)=3,18 Ом при 10 кГц. {стек {размер 12{X rSub {размер 8{C}} = {{1} над {2π итал «fC»}} = {{1} над {6 «.» «28» \( 1 «.» «00» умножить на «10» rSup { размер 8{4} } /s \) \( 5 «.» «00» мкФ \) } } } {} # » «=3 «.» «18» %OMEGA » при 10 кГц» {} } } {}

Решение для (b)

Среднеквадратичное значение тока теперь находится с использованием версии закона Ома в I=V/XC,I=V/ XC,размер 12{I=V/X rSub {размер 8{C} } } {} при условии, что приложенное среднеквадратичное напряжение составляет 120 В. Для первой частоты это дает

6,61 I=VXC=120 В531 Ом=0,226 А при 60 Гц. I=VXC=120 В531 Ом=0,226 А при 60 Гц. size 12{I= {{V} over {X rSub { size 8{C} } } } = {{«120″» V»} over {«531 » %OMEGA } } =0 «.» «226»» A»} {}

Аналогично, при 10 кГц,

6,62 I=VXC=120 В3,18 Ом=37,7 А при 10 кГц. I=VXC=120 В3,18 Ом=37,7 А при 10 кГц. размер 12{I= {{V} более {X rSub {размер 8{C} } } } = {{«120″» V»} более {3 «.» «18 » %OMEGA } } =»37″ «.» 7″ A»} {}

Обсуждение

Конденсатор очень по-разному реагирует на двух разных частотах, и совершенно противоположным образом реагирует индуктор. На более высокой частоте его реактивное сопротивление мало, а ток велик. Конденсаторы способствуют изменениям, тогда как индукторы сопротивляются изменениям. Конденсаторы больше всего препятствуют низким частотам, поскольку низкая частота дает им время зарядиться и остановить ток. Конденсаторы можно использовать для фильтрации низких частот. Например, конденсатор, включенный последовательно со звуковоспроизводящей системой, избавляет ее от гула частотой 60 Гц.

Хотя конденсатор в основном представляет собой разомкнутую цепь, в цепи с переменным напряжением, приложенным к конденсатору, существует среднеквадратичное значение тока. Это связано с тем, что напряжение постоянно меняется, заряжая и разряжая конденсатор. Если частота стремится к нулю (постоянный ток), размер XCXC 12{X rSub { размер 8{C} } } {} стремится к бесконечности, а ток равен нулю после зарядки конденсатора. На очень высоких частотах реактивное сопротивление конденсатора стремится к нулю — он имеет пренебрежимо малое реактивное сопротивление и не препятствует протеканию тока (он действует как простой провод). Конденсаторы оказывают на цепи переменного тока эффект, противоположный действию катушек индуктивности .

Резисторы в цепи переменного тока

Напомню, что на рис. 6.47 показано напряжение переменного тока, приложенное к резистору, и график зависимости напряжения и тока от времени. Напряжение и ток равны в фазе в резисторе. Поведение простого сопротивления в цепи не зависит от частоты.

Рисунок 6.47 (a) Источник переменного напряжения последовательно с резистором. (b) График зависимости тока и напряжения на резисторе от времени, показывающий, что они точно совпадают по фазе.

Напряжение переменного тока в резисторе

Когда на резистор подается синусоидальное напряжение, оно находится точно в фазе с током — они имеют фазовый угол 0º0º.

• Печать
• Поделиться

Объяснение урока: Импеданс цепей переменного тока

В этом объяснении мы узнаем, как рассчитать полное сопротивление простых резистивно-емкостно-индуктивных цепей, используя емкостные и индуктивные реактивные сопротивления.

Реактивное сопротивление имеет конкретное, точно определенное значение и определено для цепей, подключенных к источникам переменной разности потенциалов.

Прежде чем рассматривать точное значение реактивного сопротивления, мы можем сначала сказать, что это свойство, которое можно сравнить с сопротивлением, но со значительными отличиями от него.

То, как реактивное сопротивление похоже на сопротивление, заключается в том, что они оба уменьшают ток в цепи.

Дроссель с индуктивностью 𝐿 реагирует на изменение тока Δ𝐼 в интервале времени Δ𝑡 путем создания противодействующей ЭДС, 𝜀, где 𝜀=−𝐿Δ𝐼Δ𝑡.

Противодействующая ЭДС индукции уменьшает мгновенный ток через индуктор. Уменьшенный мгновенный ток создает меньшую противодействующую ЭДС. и поэтому меньший противоток. Противоположный ток со временем уменьшается.

Чтобы показать, как индуктивность связана с реактивным сопротивлением, мы должны рассмотреть цепь, содержащую катушку индуктивности, подключенную к постоянно изменяющемуся источнику. разности потенциалов, например, генератор, который создает переменную ЭДС с некоторой частотой 𝑓.

Независимо от того, имеет ли такая цепь индуктивность, ток в цепи изменяется синусоидально.

Для такой цепи мы можем определить ее индуктивное сопротивление 𝑋. Мы можем назвать максимальное значение тока в цепи 𝐼max.

Напомним, что 𝜀=−𝐿Δ𝐼Δ𝑡.

Дело в том, что Δ𝐼Δ𝑡∝𝐼.max

Мы можем видеть эту пропорциональность, продемонстрированную на следующем графике двух синусоидальных токов с одинаковой частотой.

Чем больше индуктивность индуктора, тем медленнее может изменяться ток в индукторе.

Тогда мы видим, что чем больше значение 𝐿, тем меньше значение Δ𝐼Δ𝑡.

Отсюда следует, что для данного значения 𝑓, чем больше значение 𝐿, тем меньше должно быть максимальное значение 𝐼.

Также важно отметить, что частота синусоидального переменного тока должна определять скорость изменения этого тока.

Также должно быть так, что Δ𝐼Δ𝑡∝𝑓.

На следующем графике показаны три синусоидальных тока.

Мы видим, что максимальное значение тока 𝐼 совпадает с максимальным значением тока 𝐼.

Мы также видим, что частота 𝐼 больше, чем частота 𝐼; следовательно, значение Δ𝐼Δ𝑡 из 𝐼 при 𝑡=0 больше, чем значение Δ𝐼Δ𝑡 из 𝐼 при 𝑡=0.

Ток 𝐼 имеет ту же частоту, что и ток 𝐼, но меньшее максимальное значение.

При 𝑡=0 текущий 𝐼 имеет то же значение Δ𝐼Δ𝑡, что и текущий 𝐼.

Это неравенство максимальных значений 𝐼 и 𝐼 необходимо для того, чтобы 𝐼 имело одинаковое значение Δ𝐼Δ𝑡 как 𝐼 при 𝑡=0, а также иметь ту же частоту, что и 𝐼.

Тогда мы видим, что чем больше значение 𝑓, тем меньше максимальное значение 𝐼.

Рассматривая зависимость 𝜀 от 𝐼max, 𝐿 и 𝑓, видим, что 𝜀∝−𝐿𝐼𝑓.max

Значение 𝑋 определяется как отношение 𝜀 к 𝐼max.

Из этого мы видим, что 𝜀𝐼∝−𝐿𝑓𝑋∝−𝐿𝑓.max

Реактивное сопротивление не имеет направления, поэтому отрицательный знак не имеет значения, и поэтому можно точно так же сказать, что 𝑋∝𝐿𝑓.

Из этих соотношений можно вывести формулу для индуктивного сопротивления.

Формула: индуктивное реактивное сопротивление

Индуктивное реактивное сопротивление 𝑋 цепи с индуктивностью 𝐿, по которой течет переменный ток с частотой 𝑓 определяется выражением 𝑋=2𝜋𝑓𝐿. 

Единицей индуктивного сопротивления является ом. Это показано следующим образом: ГцVsAVAVAAΩAΩ×⋅==×=.

Мы видим, что индуктивное сопротивление имеет те же единицы измерения, что и сопротивление. Индуктивное реактивное сопротивление — это фактически сопротивление, которое применимо только к переменному току. токовые цепи, содержащие катушки индуктивности.

Мы видим, что увеличение индуктивности цепи увеличивает ее индуктивное сопротивление. Мы видим также, что увеличение частоты переменного ток увеличивает индуктивное сопротивление цепи.

Давайте рассмотрим пример с индуктивным реактивным сопротивлением.

Пример 1. Определение индуктивного сопротивления

Источник переменного напряжения с частотой 75 Гц подключен к дроссель 35 мГн. Чему равно реактивное сопротивление цепи? Дайте ответ с точностью до двух знаков после запятой.

Ответ

Индуктивное сопротивление 𝑋 цепи с индуктивностью 𝐿, по которой течет переменный ток с частота 𝑓 определяется выражением 𝑋=2𝜋𝑓𝐿. 

Подставляя значения, указанные в вопросе, получаем 𝑋=2𝜋×75×0,035,HzH

С точностью до двух знаков после запятой 𝑋 равно 16,49 Ом.

Наряду с резисторами и катушками индуктивности в цепь могут входить конденсаторы. Конденсаторы также имеют реактивное сопротивление, называемое емкостным реактивным сопротивлением, 𝑋.

Прежде чем определить емкостное реактивное сопротивление, давайте рассмотрим, как действует емкость на уменьшение среднего тока в цепи.

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора и конденсатора.

Конденсатор может накапливать заряд, который откладывается на конденсаторе током в цепи, содержащей конденсатор. Максимальный заряд, 𝑄, который может храниться конденсатором с емкостью 𝐶, подключенным к разности потенциалов 𝑉, определяется выражением 𝑄=𝐶𝑉.

Конденсатор изначально хранит нулевой заряд и, следовательно, имеет нулевую разность потенциалов на нем. Чем больше заряд хранится в конденсаторе, тем больше потенциал разница по нему.

Чем больше заряд хранится в конденсаторе, тем меньше ток в цепи. Когда конденсатор накапливает максимальный заряд, он может храниться, ток в цепи, содержащей конденсатор, должен быть равен нулю.

Связь между разностью потенциалов на конденсаторе и током в цепи, содержащей конденсатор, может быть выражена как Δ𝑄Δ𝑡=𝐼=𝐶Δ𝑉Δ𝑡.

Если конденсатор имеет нулевую емкость, то при подключении к цепи он изначально сохраняет свой максимальный заряд, поэтому ток в цепи должен быть равен нулю. Чем больше емкость конденсатора, тем больший заряд может быть перенесен током в цепи до того, как ток станет равным нулю.

Отсюда видно, что когда цепь, содержащая конденсатор, подключается к источнику разности потенциалов в течение определенного интервала времени, ток в цепи уменьшится меньше, если использовать конденсатор большей емкости.

Из этого мы видим, что конденсатор также может уменьшать ток в цепи подобно тому, как это может делать катушка индуктивности. Однако, чем больше емкость конденсатора, тем меньше уменьшается ток.

Емкостное сопротивление имеет конкретное, точно определенное значение.

Чтобы показать, как емкость связана с емкостным реактивным сопротивлением, мы должны рассмотреть цепь, содержащую последовательно соединенные резистор и конденсатор. к непрерывно изменяющемуся источнику разности потенциалов, такому как генератор, который подает переменную ЭДС на некоторой частоте 𝑓.

Независимо от того, имеет ли такая цепь емкость, ток в цепи изменяется синусоидально.

Для такой цепи мы можем определить ее емкостное сопротивление, 𝑋. Максимальное значение разности потенциалов можно назвать через конденсатор 𝑉макс.

Напомним, что Δ𝑄Δ𝑡=𝐼=𝐶Δ𝑉Δ𝑡.

Дело в том, что Δ𝑉Δ𝑡∝𝑉.max

Также бывает, что Δ𝑉Δ𝑡∝𝑓.

Мы видим, что 𝐼∝𝐶𝑉𝑓.max

Значение 𝑋 определяется как отношение 𝑉max к 𝐼.

Отсюда видно, что 𝐼𝑉∝𝐶𝑓𝑉𝐼∝1𝐶𝑓𝑋∝1𝐶𝑓. maxmax

Формула для емкостного реактивного сопротивления может быть получена из этих соотношений.

Формула: емкостное реактивное сопротивление

Емкостное реактивное сопротивление, 𝑋, цепи с емкостью 𝐶, по которой протекает переменный ток с частота 𝑓 определяется выражением 𝑋=12𝜋𝑓𝐶.

Единицей емкостного сопротивления является ом. Это показано следующим образом: 1×===××××=××=.HzFsFsFsssAΩCsAΩCsΩCΩCVCVCs

Мы видим, что емкостное сопротивление имеет ту же единицу измерения, что и сопротивление. Емкостное реактивное сопротивление — это фактически сопротивление, которое применимо только к переменному току. цепи, содержащие конденсаторы.

Мы видим, что увеличение емкости цепи уменьшает ее емкостное реактивное сопротивление. Мы видим также, что увеличение частоты переменного тока уменьшает емкостное сопротивление цепи.

Полезно отметить, что отношение емкости и частоты к емкостному реактивному сопротивлению является обратным отношению индуктивности и частоты к индуктивному сопротивлению.

Давайте рассмотрим пример с емкостным реактивным сопротивлением.

Пример 2: Определение емкостного реактивного сопротивления

Источник переменного напряжения с частотой 50 Гц подключен к конденсатор 125 мкФ. Чему равно реактивное сопротивление конденсатора? Дай свой ответ с точностью до ома.

Ответ

Емкостное реактивное сопротивление 𝑋 цепи с емкостью 𝐶, по которой течет переменный ток с частотой 𝑓 определяется выражением 𝑋=12𝜋𝑓𝐶.

Подставляя значения, указанные в вопросе, получаем 𝑋=12𝜋×50×1,25×10,HzF

С точностью до ома, 𝑋 составляет 25 Ом.

Ток в цепи переменного тока в данный момент времени зависит от совместного действия сопротивления и реактивного сопротивления цепи. Это называется импедансом цепи 𝑍.

Цепь, содержащая резистор (R), катушку индуктивности (L) и конденсатор (C), подключенные к источнику переменной разности потенциалов, показана на следующем рисунке.

Резистор обеспечивает сопротивление цепи. Катушка индуктивности и конденсатор обеспечивают реактивное сопротивление цепи.

Для любой цепи переменного тока разность потенциалов 𝑉 в цепи меняется со временем. Мы можем обозначить через 𝑉 разность потенциалов на цепи в момент 𝑡.

Если такая цепь имеет сопротивление 𝑅, но не имеет реактивного сопротивления, то ток в данный момент 𝐼 определяется так, как это было бы в цепи постоянного тока по закону Ома. Мы можем выразить это как 𝐼=𝑉𝑅.

Однако, если цепь переменного тока имеет реактивное сопротивление, мгновенный ток в цепи зависит от реактивного сопротивления цепи. Мгновенный ток в такой цепи определяется выражением 𝐼=𝑉𝑍.

Емкостное и индуктивное сопротивления не просто суммируются, чтобы определить их вклад в импеданс.

Мгновенный ток, проходящий через конденсатор, не совпадает по фазе с мгновенной разностью потенциалов на конденсаторе. Текущие лиды разность потенциалов на фазовый угол 90∘.

Мгновенный ток, проходящий через индуктор, не совпадает по фазе с мгновенной разностью потенциалов на индукторе. ток отстает от потенциала разность на фазовый угол 90∘.

Эти соотношения фаз показаны на следующем рисунке.

Разность фаз между током и разностью потенциалов составляет 90° для обоих конденсаторов. и катушки индуктивности, но в противоположных направлениях.

Тогда мы можем видеть, что разность фаз между током и разностью потенциалов для конденсатора по сравнению с катушкой индуктивности 90+90∘∘, что составляет 180∘.

Это означает, что влияние на мгновенный ток конденсатора и катушки индуктивности противоположно друг другу.

Отсюда видно, что если емкостное и индуктивное сопротивления цепи равны, то влияние общего реактивного сопротивления на ток равно нулю. В этом случае полное сопротивление цепи — это просто сопротивление цепи.

Из этих соотношений можно получить формулу импеданса.

Формула: Полное сопротивление

Полное сопротивление цепи 𝑍 определяется выражением 𝑍=𝑅+(𝑋−𝑋), где 𝑅 — сопротивление цепи, 𝑋 — индуктивное сопротивление цепи, 𝑋 — емкостное сопротивление цепи.

Сопротивление и реактивное сопротивление имеют единицу измерения Ом, поэтому единица импеданса является ом.

Важно отметить, что цепь может иметь ненулевое сопротивление, несмотря на нулевое сопротивление. Для цепи переменного тока, только реактивное сопротивление цепи может ограничивать значение тока. Это не относится к цепям, питаемым постоянной разностью потенциалов.

Давайте рассмотрим пример с импедансом.

Пример 3: Определение импеданса

Цепь переменного тока содержит резистор сопротивлением 125 Ом, катушку индуктивности с индуктивным сопротивлением 450 Ом и конденсатором с сопротивлением 28 Ом. емкостное реактивное сопротивление. Каково сопротивление цепи? Дайте ответ с точностью до ома.

Ответ

Полное сопротивление цепи 𝑍 определяется выражением 𝑍=𝑅+(𝑋−𝑋), где 𝑅 — сопротивление цепи, 𝑋 — индуктивное сопротивление цепи, 𝑋 — емкостное сопротивление цепи.

Подставляя значения, указанные в вопросе, получаем 𝑍=(125)+(450−28).ΩΩΩ

С точностью до ома, 𝑍 составляет 440 Ом.

Давайте рассмотрим еще один такой пример.

Пример 4: Определение сопротивления, необходимого для конкретного полного сопротивления

Цепь переменного тока имеет полное сопротивление 750 Ом. В схеме есть резистор, катушка индуктивности с индуктивным сопротивлением 250 Ом и конденсатором с емкостное сопротивление 45,0 Ом. Каково сопротивление резистора? Дайте ответ с точностью до ома.

Ответ

Полное сопротивление цепи 𝑍 определяется выражением 𝑍=𝑅+(𝑋−𝑋), где 𝑅 — сопротивление цепи, 𝑋 — индуктивное сопротивление цепи, 𝑋 — емкостное сопротивление цепи.

Подставляя значения, указанные в вопросе, получаем 750=𝑅+(250−45,0).ΩΩΩ

Это уравнение нужно переставить, чтобы сделать 𝑅 субъектом, следующим образом: (750)=𝑅+(250−45,0)(750)=𝑅+(205)𝑅=(750)−(205)√𝑅=(750)−(205)𝑅=(750)−(205) . ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

С точностью до ома, 𝑅 составляет 721 Ом.

Рассмотрим пример, в котором определяются токи.

Пример 5. Определение мгновенных токов в цепи с сопротивлением, емкостью и индуктивностью

Цепь переменного тока содержит резистор с сопротивлением 25 Ом, катушку индуктивности с индуктивное сопротивление 32 Ом и конденсатор с сопротивлением 12,8 Ом. емкостное реактивное сопротивление. Пиковое напряжение, создаваемое источником переменного напряжения, питающим цепь, составляет 120 В.

1. Каков пиковый ток в цепи? Дайте ответ с точностью до одного десятичного знака.
2. Каково среднеквадратичное значение тока в цепи? Дайте ответ с точностью до одного десятичного знака.

Ответ

Часть 1

Пиковый ток 𝐼max определяется выражением 𝐼=𝑉𝑍.maxmax

Значение пикового напряжения источника переменного тока для схемы равно 120 В, поэтому мы видим, что 𝐼=120 𝑍. maxV

Полное сопротивление 𝑍 цепи определяется выражением 𝑍=𝑅+(𝑋−𝑋), где 𝑅 — сопротивление цепи, 𝑋 — индуктивное сопротивление цепи, 𝑋 — емкостное сопротивление цепи.

Подставляя значения, указанные в вопросе, получаем 𝑍=(25)+(32−12,8).ΩΩΩ

𝑍≈31,522Ω.

У нас есть то, что 𝐼≈12031.522.maxV

Пиковый ток равен 3,8 А с точностью до одного десятичного знака.

Часть 2

𝐼=𝐼√2.RMSmax

Используя полученное значение 𝐼max с точностью до одного десятичного знака, 𝐼RMS составляет 2,7 А.

Давайте теперь обобщим то, что было изучено в этом объяснителе.

Ключевые моменты

• Индуктивное сопротивление 𝑋 цепи с индуктивностью 𝐿, по которой течет переменный ток с частотой 𝑓 определяется выражением 𝑋=2𝜋𝑓𝐿. Единицей индуктивного сопротивления является ом.
• Реактивное емкостное сопротивление, 𝑋, цепи с емкостью 𝐶, по которой протекает переменный ток с частотой 𝑓 определяется выражением 𝑋=12𝜋𝑓𝐶.