Что такое логические элементы и как они работают. Как выглядят таблицы истинности для основных логических операций. Какие законы алгебры логики существуют. Как применяются логические элементы в вычислительной технике.
Что такое алгебра логики и логические элементы
Алгебра логики — это раздел математики, изучающий логические операции и выражения. Основными объектами алгебры логики являются логические переменные, которые могут принимать только два значения — истина (1) или ложь (0).
Логические элементы — это устройства, реализующие базовые логические операции. Основными логическими элементами являются:
- Элемент И (конъюнкция)
- Элемент ИЛИ (дизъюнкция)
- Элемент НЕ (инверсия)
Эти элементы позволяют строить более сложные логические схемы и выражения. Работа логических элементов описывается с помощью таблиц истинности.
Таблицы истинности основных логических операций
Таблица истинности — это таблица, описывающая поведение логического элемента или выражения для всех возможных комбинаций входных значений.
Таблица истинности операции И (конъюнкция)
| A | B | A И B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Операция И возвращает истину только если все входные значения истинны.
Таблица истинности операции ИЛИ (дизъюнкция)
| A | B | A ИЛИ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Операция ИЛИ возвращает истину, если хотя бы одно из входных значений истинно.
Таблица истинности операции НЕ (инверсия)
| A | НЕ A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Операция НЕ инвертирует входное значение.
Основные законы алгебры логики
Алгебра логики подчиняется ряду законов, позволяющих упрощать и преобразовывать логические выражения:
- Закон коммутативности: A И B = B И A, A ИЛИ B = B ИЛИ A
- Закон ассоциативности: (A И B) И C = A И (B И C), (A ИЛИ B) ИЛИ C = A ИЛИ (B ИЛИ C)
- Закон дистрибутивности: A И (B ИЛИ C) = (A И B) ИЛИ (A И C)
- Законы де Моргана: НЕ(A И B) = (НЕ A) ИЛИ (НЕ B), НЕ(A ИЛИ B) = (НЕ A) И (НЕ B)
Эти законы позволяют упрощать сложные логические выражения и строить оптимальные логические схемы.
Как применяются логические элементы в вычислительной технике
Логические элементы являются основой работы цифровых устройств и компьютеров. Они используются для построения:
- Арифметико-логических устройств
- Устройств управления
- Триггеров и регистров памяти
- Шифраторов и дешифраторов
- Мультиплексоров и демультиплексоров
С помощью логических элементов реализуются все вычислительные и управляющие операции в цифровых системах. Поэтому понимание принципов работы логических элементов крайне важно для разработки цифровой электроники и программного обеспечения.
Виды логических элементов
Помимо базовых логических элементов И, ИЛИ и НЕ существуют также другие виды логических элементов:
- Исключающее ИЛИ (XOR)
- И-НЕ (NAND)
- ИЛИ-НЕ (NOR)
- Импликация
- Эквивалентность
Эти элементы позволяют более компактно реализовывать сложные логические функции. Например, элемент И-НЕ (NAND) является функционально полным, то есть с его помощью можно реализовать любую логическую функцию.
Логические выражения и их минимизация
Логические выражения — это формулы, описывающие логические функции с помощью логических операций и переменных. Например:
F = (A И B) ИЛИ (НЕ A И C)
Минимизация логических выражений позволяет упростить их и сократить количество используемых логических элементов. Для минимизации применяются:
- Законы алгебры логики
- Карты Карно
- Метод Квайна-Мак-Класки
Минимизация особенно важна при разработке цифровых устройств, так как позволяет сократить их сложность и энергопотребление.
Применение логических элементов в программировании
Логические элементы и операции широко используются в программировании:
- Для построения условных выражений и ветвлений
- В битовых операциях
- При работе с булевыми переменными
- Для оптимизации алгоритмов
Понимание принципов работы логических элементов помогает писать более эффективный и оптимизированный код. Например, использование битовых операций вместо арифметических может значительно ускорить работу программы.
Синтез логических схем
Синтез логических схем — это процесс построения логической схемы по заданной логической функции. Он включает следующие этапы:
- Составление таблицы истинности функции
- Запись логического выражения
- Минимизация выражения
- Построение логической схемы
При синтезе стремятся получить схему с минимальным количеством логических элементов, удовлетворяющую заданным требованиям по быстродействию и надежности.
|
Логика очень древняя наука. Ещё в античные времена была известна формальная логика, позволяющая делать заключения о правильности какого-либо суждения не по его фактическому содержанию, а только по форме его построения. Например, уже в древности был известен закон исключения третьего. Его содержательная трактовка была такова: «Во время своих странствований Платон был в Египте ИЛИ не был Платон в Египте». Ещё один закон, известный в древности — закон отрицания: «Если НЕ верно, что Платон НЕ был в Египте, то значит, Платон был в Египте». Формальная логика основана на “высказываниях”. “Высказывание” — это основной элемент логики, определяемый как повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинное или ложное утверждение оно содержит. 
Например: Листва на деревьях опадает осенью. Земля прямоугольная. Первое высказывание содержит истинную информацию, а второе — ложную. Вопросительное, побудительное и восклицательное предложения не являются высказываниями, так как в них ничего не утверждается и не отрицается. Пример предложений, не являющихся высказываниями: Не пейте сырую воду! Кто не хочет быть счастливым? Высказывания могут быть и такими: 2>1, Н2О+SO3=h3SO4. Здесь используются языки математических символов и химических формул. Приведённые выше примеры высказываний являются простыми. Но из простых высказываний можно получить сложные, объединив их с помощью логических связок. Логические связки — это слова, которые подразумевают определённые логические связи между высказываниями. Основные логические связки издавна употребляются не только в научном языке, но и в обыденном, — это “и”, “или”, “не”, “если … то”, “либо .  .. либо” и другие известные нам из русского языка связки. В рассмотренных нами трёх законах формальной логики использовались связки “и”, “или”, “не”, “если … то” для связи простых высказываний в сложные.
Формальная логика была известна в средневековой Европе, она развивалась и обогащалась новыми законами и правилами, но при этом вплоть до 19 века она оставалась обобщением конкретных содержательных данных и её законы сохраняли форму высказываний на разговорном языке. В 1847 году английский математик Джордж Буль, преподаватель провинциального университета в маленьком городке Корке на юге Англии разработал алгебру логики. Алгебра логики очень проста, так как каждая переменная может принимать только два значения: истинно или ложно. Трудность изучения алгебры логики возникает из-за того, что для обозначения переменных принимают символы 0 и 1, которые по написанию совпадают с обычными арифметическими единицей и нулём. Но совпадение это только внешнее, так как смысл они имеют совсем иной. Логическая 1 означает, что какое-то событие истинно, в противоположность этому логический 0 означает, что высказывание не соответствует истине, т.е. ложно. Высказывание заменилось на логическое выражение, которое строится из логических переменных (А, В, Х, …) и логических операций (связок). В алгебре логики знаки операций обозначают лишь три логические связки ИЛИ, И, НЕ. 1.Логическая операция ИЛИ. Логическую функцию принято задавать в виде таблицы. В левой части этой таблицы перечисляются все возможные значения  Для элементарных функций получается таблица истинности данной логической операции. Для операции ИЛИ таблица истинности имеет вид:
Операцию ИЛИ называют также логическим сложением, и потому её можно обозначать знаком «+».
Из таблицы истинности следует, что операция И — это логическое умножение, которое ничем не отличается от традиционно известного умножения в обычной алгебре. В формальной логике операции логического умножения соответствуют связки и, а, но, хотя.
Читается в обоих случаях одинаково «Не А». Таблица истинности для этой функции имеет вид: В вычислительной технике операцию НЕ называют отрицанием или инверсией, операцию ИЛИ — дизъюнкцией, операцию И — конъюнкцией. Набор логических функций “И”, “ИЛИ”, “НЕ” является функционально полным набором или базисом алгебры логики. С помощью него можно выразить любые другие логические функции, например операции “строгой дизъюнкции”, “импликации” и “эквивалентности” и др. Операция “строгая дизъюнкция” выражается через логические функции “И”, “ИЛИ”, “НЕ” любой из двух логических формул: и иначе называется операцией неравнозначности или “сложения по модулю 2”, так как при сложении чётного количества единиц, результатом будет “0”, а при сложении нечётного числа единиц, результат станет равен “1”.
Операцию “импликация” можно обозначить по-разному: Эти выражения эквивалентны и читаются одинаково: «Игрек равен импликации от А и В». Логическая операция “эквивалентность” (равнозначность). Этой логической операции соответствуют логические связки “если и только если”, «тогда и только тогда, когда». Таблица истинности для этой функции имеет вид: Операция “эквивалентность” обозначается по-разному. Выражения обозначают одно и тоже, и можно сказать, что А эквивалентна В, если и только если они равнозначны. Логическая операция “эквивалентность” выражается через логические функции “И”, “ИЛИ”, “НЕ” в виде логической формулы С помощью алгебры логики можно очень кратко записать законы формальной логики и дать им математически строгое доказательство. В алгебре логики, как в элементарной, справедливы переместительный (закон коммутативности), сочетательный (закон ассоциативности) и распределительный (закон дистрибутивности) законы, а также аксиома идемпотентности (отсутствие степеней и коэффициэнтов) и др., в записях которых используются логические переменные, принимающие только два значения — логический ноль и логическая единица. Применение этих законов позволяет производить упрощение логических функций, т.е. находить для них выражения, имеющие наиболее простую форму. Основные аксиомы и законы алгебры логики приведены в таблице: |
|
||
В такой форме это или любое другое выражение будут правильны (тогда говорили: истинно). Ничего другого быть не может: Платон либо был, либо не был в Египте — третьего не дано.
Операцию И можно обозначить знаком по-разному:
Рассмотрим некоторые из них.
Операция “импликация” выражается через логические функции “ИЛИ”, “НЕ” в виде логической формулы
технологииЛогические выражения и операторы. Урок 6 курса «Python. Введение в программирование»
Логические выражения и логический тип данных
Часто в реальной жизни мы соглашаемся с каким-либо утверждением или отрицаем его. Например, если вам скажут, что сумма чисел 3 и 5 больше 7, вы согласитесь, скажете: «Да, это правда». Если же кто-то будет утверждать, что сумма трех и пяти меньше семи, то вы расцените такое утверждение как ложное.
Подобные фразы предполагают только два возможных ответа – либо «да», когда выражение оценивается как правда/истина, либо «нет», когда утверждение оценивается как ошибочное/ложное. В программировании и математике если результатом вычисления выражения может быть лишь истина или ложь, то такое выражение называется логическим.
Например, выражение 4 > 5 является логическим, так как его результатом является либо правда, либо ложь.
Выражение 4 + 5 не является логическим, так как результатом его выполнения является число.
На позапрошлом уроке мы познакомились с тремя типами данных – целыми и вещественными числами, а также строками. Сегодня введем четвертый – логический тип данных (тип bool). Его также называют булевым. У этого типа всего два возможных значения: True (правда) и False (ложь).
>>> a = True >>> type(a) <class 'bool'> >>> b = False >>> type(b) <class 'bool'>
Здесь переменной a было присвоено значение True, после чего с помощью встроенной в Python функции type() проверен ее тип. Интерпретатор сообщил, что это переменная класса bool. Понятия «класс» и «тип данных» в данном случае одно и то же. Переменная b также связана с булевым значением.
В программировании False обычно приравнивают к нулю, а True – к единице.
Чтобы в этом убедиться, можно преобразовать булево значение к целочисленному типу:
>>> int(True) 1 >>> int(False) 0
Возможно и обратное. Можно преобразовать какое-либо значение к булевому типу:
>>> bool(3.4)
True
>>> bool(-150)
True
>>> bool(0)
False
>>> bool(' ')
True
>>> bool('')
FalseИ здесь работает правило: всё, что не 0 и не пустота, является правдой.
Логические операторы
Говоря на естественном языке (например, русском) мы обозначаем сравнения словами «равно», «больше», «меньше». В языках программирования используются специальные знаки, подобные тем, которые используются в математике: > (больше), < (меньше), >= (больше или равно), <= (меньше или равно), == (равно), != (не равно).
Не путайте операцию присваивания значения переменной, обозначаемую в языке Python одиночным знаком «равно», и операцию сравнения (два знака «равно»).
Присваивание и сравнение – разные операции.
>>> a = 10 >>> b = 5 >>> a + b > 14 True >>> a < 14 - b False >>> a <= b + 5 True >>> a != b True >>> a == b False >>> c = a == b >>> a, b, c (10, 5, False)
В данном примере выражение c = a == b состоит из двух подвыражений. Сначала происходит сравнение (==) переменных a и b. После этого результат логической операции присваивается переменной c. Выражение a, b, c просто выводит значения переменных на экран.
Сложные логические выражения
Логические выражения типа kbyte >= 1023 являются простыми, так как в них выполняется только одна логическая операция. Однако, на практике нередко возникает необходимость в более сложных выражениях. Может понадобиться получить ответа «Да» или «Нет» в зависимости от результата выполнения двух простых выражений.
Например, «на улице идет снег или дождь», «переменная news больше 12 и меньше 20″.
В таких случаях используются специальные операторы, объединяющие два и более простых логических выражения. Широко используются два оператора – так называемые логические И (and) и ИЛИ (or).
Чтобы получить True при использовании оператора and, необходимо, чтобы результаты обоих простых выражений, которые связывает данный оператор, были истинными. Если хотя бы в одном случае результатом будет False, то и все сложное выражение будет ложным.
Чтобы получить True при использовании оператора or, необходимо, чтобы результат хотя бы одного простого выражения, входящего в состав сложного, был истинным. В случае оператора or сложное выражение становится ложным лишь тогда, когда ложны оба составляющие его простые выражения.
Допустим, переменной x было присвоено значение 8 (x = 8), переменной y присвоили 13 (y = 13).
Логическое выражение y < 15 and x > 8 будет выполняться следующим образом. Сначала выполнится выражение y < 15. Его результатом будет True. Затем выполнится выражение x > 8. Его результатом будет False. Далее выражение сведется к True and False, что вернет False.
>>> x = 8 >>> y = 13 >>> y < 15 and x > 8 False
Если бы мы записали выражение так: x > 8 and y < 15, то оно также вернуло бы False. Однако сравнение y < 15 не выполнялось бы интерпретатором, так как его незачем выполнять. Ведь первое простое логическое выражение (x > 8) уже вернуло ложь, которая, в случае оператора and, превращает все выражение в ложь.
В случае с оператором or второе простое выражение проверяется, если первое вернуло ложь, и не проверяется, если уже первое вернуло истину.
Так как для истинности всего выражения достаточно единственного True, неважно по какую сторону от or оно стоит.
>>> y < 15 or x > 8 True
В языке Python есть еще унарный логический оператор not, то есть отрицание. Он превращает правду в ложь, а ложь в правду. Унарный он потому, что применяется к одному выражению, стоящему после него, а не справа и слева от него как в случае бинарных and и or.
>>> not y < 15 False
Здесь у < 15 возвращает True. Отрицая это, мы получаем False.
>>> a = 5 >>> b = 0 >>> not a False >>> not b True
Число 5 трактуется как истина, отрицание истины дает ложь. Ноль приравнивается к False. Отрицание False дает True.
Практическая работа
Присвойте двум переменным любые числовые значения.
Используя переменные из п. 1, с помощью оператора
andсоставьте два сложных логических выражения, одно из которых дает истину, другое – ложь.Аналогично выполните п. 2, но уже с оператором
or.Попробуйте использовать в логических выражениях переменные строкового типа. Объясните результат.
Напишите программу, которая запрашивала бы у пользователя два числа и выводила бы
TrueилиFalseв зависимости от того, больше первое число второго или нет.
Примеры решения и дополнительные уроки в pdf-версии курса
Полный список логических символов
В философии и математике логика играет ключевую роль в формализации действительных дедуктивных выводов и других форм рассуждений. Ниже приводится полный список наиболее известных символов в логике, включающий символы из логики высказываний, логики предикатов, булевой логики и модальной логики.
Для удобства чтения эти символы разделены по функциям на таблицы . Другие полные списки символов — с разбивкой по темам и типам — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).
Содержание
Предпочитаете версию в формате PDF?
Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.
Да. Это было бы полезно.
Константы
В логике константы часто используются для обозначения определенных объектов в логической системе. В следующей таблице представлены наиболее примечательные из них, а также их соответствующий пример и значение.
| Symbol Name | Explanation | Example |
|---|---|---|
| $a, b, c$ | General constants (within a logical system) | $b \ge a_1 + a_2$ |
| $\mathbb{B}$ | Логическая область | В булевой логике $\mathbb{B} = \{ 0 ,1\}$. |
| $\top$ (или $1$ в булевой логике) | Тавтология , Значение истинности «истина» | $P \lor \lnot P \equiv \top$ |
| $\bot$ (или $0$ в булевой логике) | Противоречие , $Q30 Значение истинности’ | ‘ложь \land \lnot Q \equiv \bot$
Переменные
Как и в других областях математики, переменных используются в качестве символов-заполнителей для различных объектов в логике. В следующей таблице представлены наиболее примечательные из них, а также их соответствующий пример и значение.
| Название символа | Объяснение | Пример | |
|---|---|---|---|
| $ x, y, w, z $ | . {x}, \mathbf{y}, \mathbf{w}, \mathbf{z}$ | Метапеременные для количественных переменных | Для всех переменных $\mathbf{x}_1$ и $\mathbf{x} _2$, ‘$\mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_2$’ — это формула. |
| $f, g, h$ | Функциональные символы | $h\left( f_1(x), g(x, y) \right)$ | |
| $\mathbf{s}, \mathbf{ t}$ | Метапеременные для термов | Для всех термов $\mathbf{t}_1$ и $\mathbf{t}_2$, ‘$f(\mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2 )$’ является термином. | |
| $P, Q, R$ | Пропозициональные / Предикатные символы | $P(x, a) \land Q_1(z)$ | Метапеременные для формул | Для всех формул $\alpha$ и $\beta$, $\alpha \land \beta \equiv \beta \land \alpha$. |
| $\Sigma, \Phi, \Psi$ | Метапеременные для наборов предложений | Если $\Sigma$ несовместима, то $\Sigma \cup \Phi$ несовместима. | |
| $\mathcal{L}$ | Метапеременная для формальных языков | формула в $\mathcal{L}$. |
Операторы
Операторы — это символы, используемые для обозначения математических операций, которые служат для преобразования одного или нескольких входных данных в аналогичный выходной. В логике к этим операторам относятся логические связки из пропозициональной/модальной логики, кванторы из логики предикатов, а также другие операторы, связанные с синтаксической подстановкой и семантическим оцениванием.
Унарные логические связки
| Имя символа | Пояснение | Пример |
|---|---|---|
| $\lnot P$, $\sim\!\!P$, $\overline{P}$ | Отрицание $P$ (не $P$) | $\lnot \lnot P \equiv P$ |
| $\Diamond P$ | Возможно $P$ | Если $\Diamond P$, то $\Diamond \Diamond P$. |
| $\Box P$ | Обязательно $P$ | Если $\Box P$, то $\neg \Diamond \neg P$. |
двоичных логических соединений
| Название символа | Объяснение | Пример |
|---|---|---|
| $ P \ Land Q $ | CONCUNCTION ($ P $ Q QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU Q QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QU QUST QU QU QUST | |
| $. P \equiv P$ | ||
| $P \lor Q$ | Дизъюнкция ($P$ или $Q$) | $\neg (P \lor Q) \equiv$ $\neg P \ земля \neg Q$ |
| $P \veebar Q$, $P \oplus Q$ | Эксклюзивная дизъюнкция ($P$ xor $Q$) | $P \oplus Q \equiv$ $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$ |
| $P \uparrow Q$ | Отрицание конъюнкции ($P$ nand $Q$) | $P \uparrow Q \equiv \neg (P \land Q)$ |
| $P \downarrow Q$ | Отрицание дизъюнкция ($P$ или $Q$) | $P \downarrow Q \equiv \\ (\neg P \land \neg Q)$ |
| $P \to Q$ | Условное (Если $P$, то $Q$) | Для всех $P$, $P\to P$ является тавтологией. |
| $P \not\to Q$ | Безусловный (Не ‘если $P$, то $Q$’) | $P \not\to Q \equiv P \land \neg Q$ |
| $P \leftarrow Q$ | Обратное условное (Если $Q$, то $P$) | $Q \leftarrow (P \land Q)$ |
| not\leftarrow Q$ | Обратное безусловное (Не ‘если $Q$, то $P$’) | $(P \to Q) \land \\ (P \not\leftarrow Q)$ |
| $P \leftrightarrow Q$ | Бикондиционал ($P$ тогда и только тогда, когда $Q$) | $P \leftrightarrow Q \equiv$ $(P \to Q) \land (P \leftarrow Q)$ |
| $P \not \leftrightarrow Q$ | Безусловный (Не ‘$P$ тогда и только тогда, когда $Q$’) | Если $P \not\to Q$, то $P \not\leftrightarrow Q$. |
| $\существует ! \mathbf{x}$ | Квантификация уникальности (Существует единственный $\mathbf{x}$) | $\exists !\, q, r \in \mathbb{Z}\,$ $( n=dq+r \, \land$ $0 \le|r| |
| $\mathrm{N} \mathbf{x}$, $\nexists \mathbf{x}$ | Квантификация несуществования ($\mathbf{x}$ не существует) | $\mathrm{N}x P(x) \equiv \\ \forall x \, \neg P(x)$ |
| $\exists_n\mathbf{x}$ | Численная квантификация (имеется ровно $n$ $\mathbf{x}$) | $\exists_3 x \in \mathbb{Z}\, (5 < x < 9)$ |
| $ \exists_{\ge n} \mathbf{x}$ | Числовая квантификация (Существует не менее $n$ $\mathbf{x}$) | $\exists_{\ge 2} x \, Q (x) \equiv$ $\exists x \exists y \, (Q(x) \land$ $Q(y) \land x \ne y)$ |
| $\exists_{\le n} \mathbf{x}$ | Численный количественный анализ 92 + 5$ | |
| $\mathbf{\alpha}[\mathbf{x}/\mathbf{t_0}]$ | Формула подстановки (формула $\mathbf{\alpha}$ со свободными вхождениями $\mathbf{x}$ заменяется термином $\mathbf{t_0}$) | $(\forall x (x = y)) [x/a] =$ $\forall x (x = y)$ |
Операторы на основе оценки
| Символ Название | Объяснение | Пример |
|---|---|---|
{\ сигма (х / и)} = \ топ $. |
Реляционные символы
В логике реляционные символы играют ключевую роль в превращении одной или нескольких математических единиц в формулы и предложения и могут встречаться как внутри логической системы, так и вне ее (как металогические символы). В следующей таблице представлены наиболее примечательные из этих символов, а также их соответствующее значение и пример.
| Символ Название | Пояснение | Пример |
|---|---|---|
| $\mathbf{t}_1 = \mathbf{t}_2$ | Идентификационный символ в логической системе с равенством | ‘1($\neg \left ) \right)$’ — формула языка арифметики первого порядка. |
| $\альфа\! \ подразумевает \! \beta$ | Предложение $\alpha$ подразумевает предложение $\beta$ | $\forall x \, (x \ge 1) \! \подразумевает 1 \ge 1$ |
| $\альфа \! \подразумевается\! \бета$ | Предложение $\alpha$ следует из предложения $\beta$ | $5 \mid x \! \подразумевается\! 5 \mid 7x$ |
| $\alpha \equiv \beta$, $\alpha \Leftrightarrow \beta$, $\alpha \! \ифф\! \beta$ | Предложения $\alpha$ и $\beta$ логически эквивалентны | $\neg (P \to Q) \equiv \\ P \land \neg Q$ |
| $\sigma \ модели \alpha$ | Оценка $\sigma$ удовлетворяет формуле $\alpha$ | 9{\sigma} = \top$, затем $\sigma\models\phi$.|
| $\Phi \models \phi$ | Множество предложений $\Phi$ влечет за собой предложения $\phi$ ($\phi$ является логическим следствием $\Phi$) | Если $\ Phi\models\phi$, затем $\Phi\cup\Psi\models\phi$. |
| $\Phi \nvDash \phi$ | Набор предложений $\Phi$ не влечет за собой предложение $\phi$ | $\{P \to Q, Q \to R \} \nvDash R $ |
| $\модели\фи$ | Предложение $\phi$ является тавтологией | $\models \forall x \, (x = x)$ |
| $\Phi \vdash \phi$ | Набор предложений $\Phi$ доказывает предложения $\phi$ | $\forall x \, P(x,a) \vdash \\ P(a,a)$ |
| $\Phi \nvdash \phi$ | Набор предложений $ \Phi$ не доказывает предложения $\phi$ | $\exists x \, R(x) \nvdash R(a)$ |
| $\vdash \phi$ | {\circ}$ | |
| $\Phi \следовательно \phi$ | $\Phi$, следовательно $\phi$ | $P \lor Q, \neg P \\ \следовательно Q$ |
Основной список символов см.
в разделе математические символы. Списки символов, классифицированных по типу и предмету , см. на соответствующих страницах ниже.
Предпочитаете версию в формате PDF?
Получите основную сводку математических символов в электронной книге , форма — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.
Да. Это было бы полезно.
Дополнительные ресурсы. процесс более упорядоченный, более эффективный и менее болезненный
404: страница не найдена
Страница, которую вы пытались открыть по этому адресу, похоже, не существует.
Обычно это результат плохой или устаревшей ссылки. Мы извиняемся за любые неудобства.
Что я могу сделать сейчас?
Если вы впервые посещаете TechTarget, добро пожаловать! Извините за обстоятельства, при которых мы встречаемся. Вот куда вы можете пойти отсюда:
Поиск- Пожалуйста, свяжитесь с нами, чтобы сообщить, что эта страница отсутствует, или используйте поле выше, чтобы продолжить поиск
- Наша страница «О нас» содержит дополнительную информацию о сайте, на котором вы находитесь, WhatIs.com.
- Посетите нашу домашнюю страницу и просмотрите наши технические темы
Поиск по категории
Сеть
- ACK (подтверждение)
В некоторых протоколах цифровой связи ACK — сокращение от «подтверждение» — относится к сигналу, который устройство посылает, чтобы указать…
- поставщик сетевых услуг (NSP)
Поставщик сетевых услуг (NSP) — это компания, которая владеет, управляет и продает доступ к магистральной инфраструктуре Интернета и .
.. - неэкранированная витая пара (UTP)
Неэкранированная витая пара (UTP) — это повсеместно распространенный тип медных кабелей, используемых в телефонной проводке и локальных сетях (LAN).
..Безопасность
- Требования PCI DSS 12
Требования PCI DSS 12 представляют собой набор мер безопасности, которые предприятия должны внедрить для защиты данных кредитных карт и соблюдения …
- данные держателя карты (CD)
Данные держателя карты (CD) — это любая личная информация (PII), связанная с лицом, у которого есть кредитная или дебетовая карта.
- Уровни продавца PCI DSS
Стандарт безопасности данных индустрии платежных карт (PCI DSS)
ранжирует продавцов по количеству транзакций за …
ИТ-директор
- системное мышление
Системное мышление — это целостный подход к анализу, который фокусируется на том, как взаимодействуют составные части системы и как.
.. - краудсорсинг
Краудсорсинг — это практика обращения к группе людей для получения необходимых знаний, товаров или услуг.
- синтетические данные
Синтетические данные — это информация, созданная искусственно, а не в результате событий реального мира.
..HRSoftware
- вовлечения сотрудников
Вовлеченность сотрудников — это эмоциональная и профессиональная связь, которую сотрудник испытывает к своей организации, коллегам и работе.
- кадровый резерв
Кадровый резерв — это база данных кандидатов на работу, которые могут удовлетворить немедленные и долгосрочные потребности организации.
- разнообразие, равенство и инклюзивность (DEI)
Разнообразие, равенство и инклюзивность — термин, используемый для описания политики и программ, которые способствуют представительству и .
