Или не таблица истинности: для логических операций и выражений, как строить — Производство и поставка электростанций, Бензиновые и дизельные генераторы от 1 до 100 кВт. Мини ТЭЦ на базе двигателя Стирлинга.

для логических операций и выражений, как строить

Логические элементы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и их таблицы истинности — Студопедия

Цифровая электроника. Законы алгебры логики. Базовые логические элементы. Таблицы истинности.

отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, законы де Моргана, тавтология, таблицы истинности

Построение СКНФ и СДНФ по таблице истинности

Двоичная логика. Таблицы истинности — Логическая логика — Логическая логика — Каталог статей

Таблицы истинности

Не понимаете Периодическую таблицу? Это просто таблица квантовой истины

C ++ Реляционные и логические операторы (с примерами)

Что такое таблицы истинности

Логические операции

Логические выражения

Инверсия

Конъюнкция

Дизъюнкция

Правила составления таблицы истинности

Примеры построения таблицы истинности

СКНФ

Правила построения СКНФ по таблице истинности

СДНФ

Правила построения СДНФ по таблице истинности

Примеры нахождения СКНФ и СДНФ

Построить таблицу истинности для логического выражения. Информатика в 8 классе.

РЕШЕНИЕ

Приложения таблиц истинности

Квантовые числа

Орбитальные формы

Электронная конфигурация

Операторы отношения C ++

п.1. Отрицание

п.4. Импликация

Тема: «Основы алгебры логики».

Основы алгебры логики

Логические операции в порядке приоритета.

Как определить, эквивалентны ли два разных логических утверждения

Как определить, верна ли структура логического аргумента

== Оператор

! = Оператор

> Оператор

<Оператор

`> = Оператор`

`<= Оператор`

Пример 1

Пример 2:

Пример 3:

Пример аргумента 1:

Пример аргумента 2:

Пример аргумента 3:

Содержание

Определение

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов.

Таблица истинности необходима для совершения логических операций. Она включает в себя n+1 столбцы и 2ⁿ строки, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах представлены разные значения аргументов функции, а в n+1 столбце представлены значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Набором называется совокупность значений переменных. А = 0, В = 1. В случае, когда количество переменных n, число различных наборов будет равно 2^N. Например, для трех переменных число разных наборов будет равно 2³ = 8.

Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции. Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.

Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.

Определение

Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.

Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний.

К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.

Определение

Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».

Их можно разделить на два типа:

выражения, использующие операции сравнения и принимающие логические значения. Например, выражение a < b, где a = 12, а b = 9, равно значению «ложь»;
логические выражения, которые связаны с логическими величинами и операциями. Например, A ∨ В ∧ С, где А = истина, B = ложь и C = истина.

В логические выражения могут входить функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. Для таких случаев существует алгоритм выполнения действий. За исключением тех случаев, когда в логическом выражении присутствуют скобки, влияющие на порядок выполнения операций.

вычисляется существующие функциональные зависимости;
вычисляются алгебраические операции в обычном порядке;
вычисляются операции сравнения в любом порядке;
вычисляются логические операции начиная с операции отрицания. Следом вычисляется операция логического умножения, логического сложения, в последнюю очередь выполняются операции импликации и эквивалентности.

Определение

Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.

Если данное высказывание обозначается буквой A, то отрицание исходного высказывания обозначается следующим образом $[\overline{A}]$. Кроме этого возможно использование условного обозначения $\neg A$. Читаться это будет как «не А», «А ложно», «неверно, что А», «отрицание А».

Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.

Определение

Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.

Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.

Определение

Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.

Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.

Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.

Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:

Вычислить число переменных в выражении (n).
Вычислить общее количество логических операций в выражении.
Определить последовательность, в которой будут выполняться логические операции.
Установить количество столбцов в таблице — количество переменных и количество операций.
Внести в шапку таблицы переменные и операции, соблюдая последовательность, определенную в пункте 3.
Высчитать количество строк в таблице, используя формулу m = 2ⁿ
Занести в таблицу наборы входных переменных. Они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2ⁿ−1.
Заполнить таблицу, совершая логические операции.

Задача

Построим таблицу истинности и решим выражение$ F = (A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)$. Будем пользоваться приведенным выше алгоритмом.

Число переменных в выражении n = 2.
Общее количество логических операций в выражении — 5.
Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 2, 4, 3.

Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции $\vee$, $\wedge$, $¬$, $\vee$ , $¬$ = 2 +5 = 7.
Количество строк — 5, исходя из m =2ⁿ, таким образом 2² = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5.
Заполним таблицу.

Решение

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1

Задача

Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение $F = X \vee Y \wedge ¬Z$

Число переменных в выражении n = 3.
Общее количество логических операций в выражении — 3.
Последовательность выполнения логических операций — 3, 2, 1.
Количество столбцов — 6. Логические переменные (X, Y, Z) + логические операции$ \vee$, $\wedge$, ¬ = 3 + 3 = 6.
Количество строк — 9, исходя из m =2ⁿ, таким образом 2³ = 8, 8+1 (строка заголовков столбцов) = 9.
Заполним таблицу.

Решение

X	Y	Z	¬Z	$Y \wedge ¬Z$	$X \vee Y \wedge ¬Z$
0	0	0	q	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.

Электрическая схема, предназначенная для выполнения какой-либо логической операции с входными данными, называется логическим элементом. Входные данные представляются здесь в виде напряжений различных уровней, и результат логической операции на выходе — также получается в виде напряжения определенного уровня. Логический элемент — элемент, осуществляющий определенные логические зависимость между входными и выходными сигналами.

Операнды в данном случае подаются в двоичной системе счисления — на вход логического элемента поступают сигналы в форме напряжения высокого или низкого уровня, которые и служат по сути входными данными. Так, напряжение высокого уровня — это логическая единица 1 — обозначает истинное значение операнда, а напряжение низкого уровня 0 — значение ложное. 1 — ИСТИНА, 0 — ЛОЖЬ.

Логические элементы обычно используются для построения логических схем вычислительных машин, дискретных схем автоматического контроля и управления. Для всех видов логических элементов, независимо от их физической природы, характерны дискретные значения входных и выходных сигналов.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один или два (обычно инверсных друг другу) выхода. Значения «нулей» и «единиц» выходных сигналов логических элементов определяются логической функцией, которую выполняет элемент, и значениями «нулей» и «единиц» входных сигналов, играющих роль независимых переменных. Существуют элементарные логические функции, из которых можно составить любую сложную логическую функцию.

Логические элементы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и их таблицы истинности

В зависимости от устройства схемы элемента, от ее электрических параметров, логические уровни (высокие и низкие уровни напряжения) входа и выхода имеют одинаковые значения для высокого и низкого (истинного и ложного) состояний.

Интегральная микросхема

Традиционно логические элементы выпускаются в виде специальных радиодеталей — интегральных микросхем. Логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и сложение по модулю (И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ) — являются основными операциями, выполняемыми на логических элементах основных типов. Далее рассмотрим каждый из этих типов логических элементов более внимательно.

Логический элемент «И» — конъюнкция, логическое умножение, AND

Логический элемент И

«И» — логический элемент, выполняющий над входными данными операцию конъюнкции или логического умножения. Данный элемент может иметь от 2 до 8 (наиболее распространены в производстве элементы «И» с 2, 3, 4 и 8 входами) входов и один выход.

Условные обозначения логических элементов «И» с разным количеством входов приведены на рисунке. В тексте логический элемент «И» с тем или иным числом входов обозначается как «2И», «4И» и т. д. — элемент «И» с двумя входами, с четырьмя входами и т. д.

Таблица истинности для элемента 2И

Таблица истинности для элемента 2И показывает, что на выходе элемента будет логическая единица лишь в том случае, если логические единицы будут одновременно на первом входе И на втором входе. В остальных трех возможных случаях на выходе будет ноль.

На западных схемах значок элемента «И» имеет прямую черту на входе и закругление на выходе. На отечественных схемах — прямоугольник с символом «&».

В Булевой алгебре, на которой базируется вся цифровая техника, электронные элементы должны выполнять ряд определённых действий. Это так называемый логический базис. Вот три основных действия:

ИЛИ – логическое сложение (дизъюнкция) – OR;

И – логическое умножение (конъюнкция) – AND;

НЕ – логическое отрицание (инверсия) – NOT.

Примем за основу позитивную логику, где высокий уровень будет «1», а низкий уровень примем за «0». Чтобы можно было более наглядно рассмотреть выполнение логических операций, существуют таблицы истинности для каждой логической функции. Сразу нетрудно понять, что выполнение логических функций «и» и «или» подразумевают количество входных сигналов не менее двух, но их может быть и больше.

Логический элемент И.

На рисунке представлена таблица истинности элемента «И» с двумя входами. Хорошо видно, что логическая единица появляется на выходе элемента только при наличии единицы на первом входеина втором. В трёх остальных случаях на выходе будут нули.

Вход X1	Вход X2	Выход Y

На принципиальных схемах логический элемент «И» обозначают так.

На зарубежных схемах обозначение элемента «И» имеет другое начертание. Его кратко называют AND.

Логический элемент ИЛИ.

Элемент «ИЛИ» с двумя входами работает несколько по-другому. Достаточно логической единицы на первом входе илина втором как на выходе будет логическая единица. Две единицы так же дадут единицу на выходе.

Вход X1	Вход X2	Выход Y

На схемах элемент «ИЛИ» изображают так.

На зарубежных схемах его изображают чуть по-другому и называют элементом OR.

Логический элемент НЕ.

Элемент, выполняющий функцию инверсии «НЕ» имеет один вход и один выход. Он меняет уровень сигнала на противоположный. Низкий потенциал на входе даёт высокий потенциал на выходе и наоборот.

Вот таким образом его показывают на схемах.

В зарубежной документации элемент «НЕ» изображают следующим образом. Сокращённо называют его NOT.

Все эти элементы в интегральных микросхемах могут объединяться в различных сочетаниях. Это элементы: И–НЕ, ИЛИ–НЕ, и более сложные конфигурации. Пришло время поговорить и о них.

Основные законы алгебры логики являются двойственными: относительно логического сложения и относительно логического умножения. Ими являются:

1. Переместительный (коммутативный) закон:

— относительно сложения

— относительно умножения

2. Сочетательный (ассоциативный) закон:

— относительно сложения

— относительно умножения

3. Распределительный (дистрибутивный) закон:

— относительно сложения

— относительно умножения

4. Закон инверсии (де Моргана):

— относительно сложения

— относительно умножения

5. Закон повторения (идемпотентности):

На основании алгебры логики очевидны следующие соотношения (аксиомы алгебры логики):

Последние соотношения (относительно a) легко доказываются подстановкой вместо a его возможных значений – 0 и 1.

Рассмотренные законы применимы не только к отдельным переменным, но и к группам переменных, объединенных операциями алгебры логики.

В алгебре логики установлен порядок выполнения действий. При отсутствии в выражении скобок первыми должны выполняться операции отрицания (инверсии), затем операции конъюнкции и последними – операции дизъюнкции. При наличии в выражении скобок в первую очередь производятся операции внутри скобок.

При преобразовании логических функций зачастую приходится производить операцию инверсирования их.

Таблица истинности — это таблица, в которой отражены все значения логической функции при всех возможных значениях, входящих в неё логически
Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (true либо false, 1 либо 0).

Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиваленция

a∧b

a∨b

a→b

a↔b

Алгоритм составления таблиц истинности. n

3) Количество столбцов = n+ количество логических операция

Цифровая электроника

В цифровой электронике используются не непрерывный ток, а импульсы, т.е. для тока возможны только два состояния – сильный ток или слабый. Цифровые схемы используются в электронных устройствах – калькуляторах, часах. Импульсы тока в цифровой схеме могут служить для двоичной записи информации. Двоичный код – это способ записи информации при помощи нулей и единиц. Двоичным кодом можно записывать слова, звуки, изображения. В электронных часах используются цифровые электронные схемы. В цифровых электронных устройствах сильный ток означает единицу, а слабый – нуль.

Электронные устройства меняют направление тока в цифровых схемах. А состоящие из них логические элементы способны производить вычисления. В карманном калькуляторе есть сложные цифровые схемы. Они могут запоминать числа и производить вычисления. Нажимая на кнопки, мы посылаем в схему электронные сигналы.

Читайте также:

Отрицанием высказывания A называется новое высказывание «не A», принимающее значение «истина», если A ложно, и значение «ложь», если A истинно.

Обозначение отрицания $\overline{A}$ читается «не A».
Если записать эту операцию с помощью таблицы истинности, где 0 обозначает «ложь», а 1 – «истина», получаем:

Закон отрицания отрицания. Двойное отрицание $\overline{\overline{A}}=A$ истинно только в том случае, если истинно исходное высказывание A.

Правило отрицания высказываний с кванторами: $$ \mathrm{ \overline{(\forall x)A(x)}=(\exists x)\overline{A(x)},\ \ \overline{(\exists x)A(x)}=(\forall x)\overline{A(x)} } $$

Расшифровка первого правила: высказывание «неверно, что для любого x выполняется A(x)» совпадает с высказыванием «найдётся x, для которого A(x) не выполняется». 2-1\geq 0} & \\ \mathrm{x\gt\frac12} & \end{array}\right. \Leftrightarrow x\leq -1 \cup x\gt\frac12 $$

Импликация двух высказываний – это высказывание, которое будет ложным, если первое высказывание истинно, а второе ложно; а во всех остальных случаях – будет истинным.

Обозначение импликации A → B, читается «если A, то B».
Высказывание A назыв

Нормальная форма логической формулы не содержит знаков импликации, эквивалентности и отрицания неэлементарных формул.

Нормальная форма существует в двух видах:

конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — конъюнкция нескольких дизъюнкций, например, $\left(A\vee \overline{B}\vee C\right)\wedge \left(A\vee C\right)$;
дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — дизъюнкция нескольких конъюнкций, например, $\left(A\wedge \overline{B}\wedge C\right)\vee \left(B\wedge C\right)$.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — это КНФ, удовлетворяющая трем условиям:

не содержит одинаковых элементарных дизъюнкций;
ни одна из дизъюнкций не содержит одинаковых переменных;
каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную КНФ.

Любая булева формула, которая не является тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ.

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 0, записывается сумма, причем переменные, которые имеют значение 1, берутся с отрицанием.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это ДНФ, удовлетворяющая трем условиям:

не содержит одинаковых элементарных конъюнкций;
ни одна из конъюнкций не содержит одинаковых переменных;
каждая элементарная конъюнкция содержит каждую переменную из входящих в данную ДНФ, к тому же в одинаковом порядке.

Любая булева формула, которая не является тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, к тому же единственным образом.

Для каждого набора переменных, при котором функция равна 1, записывается произведение, причем переменные, которые имеют значение 0 берут с отрицанием.

Пример 1

Записать логическую функцию по ее таблице истинности:

Рисунок 1.

Решение:

Воспользуемся правилом построения СДНФ:

Рисунок 2.

Получим СДНФ:

\[F\left(x_1,\ x_2,\ x_3\right)=\left(\overline{x_1}\wedge \overline{x_2}\wedge \overline{x_3}\right)\vee \left(\overline{x_1}\wedge \overline{x_2}\wedge x_3\right)\vee \left(x_1\wedge \overline{x_2}\wedge \overline{x_3}\right)\vee \left(x_1\wedge \overline{x_2}\wedge x_3\right)\vee \left(x_1\wedge x_2\wedge x_3\right)\]

Воспользуемся правилом построения СКНФ:

Рисунок 3.

Получим СКНФ:

\[F\left(x_1,\ x_2,\ x_3\right)=\left(x_1\vee \overline{x_2}\vee x_3\right)\wedge \left(x_1\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_3}\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee x_3\right)\]

Пример 2

Функция задана таблицей истинности:

Рисунок 4.

Представить эту функцию в виде СДНФ и СКНФ.

Решение:

Запишем логическую функцию в СДНФ. Для удобства решения добавим к таблице вспомогательный столбец.
Используя правило составления СДНФ не забываем вводить знак отрицания для переменных со значением 0. Инвертировать нулевые значения переменных обязательно, т.к. иначе они превратят значения конъюнкций в нули основной функции.
Рисунок 5.
Полученные во вспомогательном столбце конъюнкции соединим знаком дизъюнкции и получим искомую логическую функцию в виде СДНФ:
\[F\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(\overline{x}\wedge \overline{y}\wedge z\wedge f\right)\vee \left(\overline{x_1}\wedge x_2\wedge \overline{x_3}\wedge \overline{x_4}\right)\vee \left(\overline{x_1}\wedge x_2\wedge x_3\wedge x_4\right)\vee \left(x_1\wedge \overline{x_2}\wedge \overline{x_3}\wedge \overline{x_4}\right). \]

Запишем логическую функцию в СКНФ.

Используя правило составления СКНФ не забываем вводить знак отрицания для переменных со значением 1. Инвертировать единичные значения переменных обязательно, т.к. иначе они превратят значения дизъюнкций в единицы основной функции.

Рисунок 6.

Полученные во вспомогательном столбце дизъюнкции соединим знаком конъюнкции и получим искомую логическую функцию в виде СКНФ:

\[F\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(x_1\vee x_2\vee x_3\vee x_4\right)\wedge \left(x_1\vee x_2\vee x_3\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(x_1\vee x_2\vee \overline{x_3}\vee x_4\right)\wedge \left(x_1\vee \overline{x_2}\vee x_3\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(x_1\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_3}\vee x_4\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee x_2\vee x_3\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee x_2\vee \overline{x_3}\vee x_4\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee x_2\vee \overline{x_3}\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee x_3\vee x_4\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee x_3\vee \overline{x_4}\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_3}\vee x_4\right)\wedge \left(\overline{x_1}\vee \overline{x_2}\vee \overline{x_3}\vee \overline{x_4}\right).

B) -> (C v not A)

Основы алгебры логики на уроках информатики изучаются в школе, начиная с 8 класса.

Прежде чем приступить к выполнению задания, разберем базовые понятия алгебры логики.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — это формальная логическая теория, раздел математической логики. Основание алгебры логики положил Джордж Буль (1815 — 1864), развил же и усовершенствовал её Эрнст Шрёдер (1841-1902).

Высказывание — это предложение, о котором имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Истина = 1, ложь =0.

Высказывание, включающее другие высказывания, называют сложным. Для образования сложных высказываний используют логические операции (связки).

Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых.

Инверсия (отрицание): Инверсия — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно.
В выражениях обозначается ¬A или A.
Читается «НЕ» (например, «не А»).
Конъюнкция (логическое умножение): Конъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.
В выражениях обозначается A ∧ B или A & B (знак может не указываться — AB).
Читается «И» (например, «А и Б»)
Дизъюнкция (логическое сложение): Дизъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний.
В выражениях обозначается A ∨ B, иногда A + B.
Читается «ИЛИ» (например, «А или Б»)
Импликация (следование): Импликация — это логическая операция, образующая сложное высказывание, ложное тогда и только тогда, когда первое исходное высказывание истинно, а второе — ложно.
В выражениях обозначается A ⇒ B или A → B.
Читается «ЕСЛИ…ТО» (например, «если А, то Б»)
Эквивалентность (равнозначность): Эквивалентность — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда значения исходных высказываний совпадают.
В выражениях обозначается A ⇔ B или A ≡ B.
Читается «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (например, «А тогда и только тогда, когда Б»)

Для записи логических функций часто используют таблицы истинности.

Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

11.3.3.3 Построение таблиц истинности AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR

Двоичная логика. Таблицы истинности

Двоичная логика

На самом элементарном уровне электронное устройство может распознавать только наличие или отсутствие тока или напряжения. Электричество либо есть, либо нет. Это переключатель — включен или выключен, True или False, 1 или 0. С помощью полупроводника компьютера измеряется напряжение на входных и выходных клеммах, оно может быть высоким или низким; 1 или 0.Компьютеры содержат миллиарды этих переключателей, и манипулирование этими последовательностями включения и выключения может изменить отдельные биты.

Электронные логические вентили могут принимать один или несколько входов и выдавать один выход. Этот выход может стать входом в другой вентиль, и сложная каскадная последовательность логических вентилей может быть реализована из схемы, например, в CPU.

Логические вентили и таблицы истинности

Существует ряд различных логических вентилей, каждый из которых предназначен для выполнения различных операций с точки зрения вывода.Это вентили НЕ, И, ИЛИ, XOR, NAND и NOR.

источник gif: vivaxsolutions.com

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, представляющая выходные логические значения логического выражения на основе их записей. Таким образом, в таблице представлены все возможные комбинации входных логических переменных (обычно 0 / FALSE и 1 / TRUE) и результат уравнения в качестве выходных данных.

НЕ ворота

Элемент НЕ представлен нижеприведенным символом и инвертирует вход.Маленький кружок обозначает перевернутый вход.

Используя единицы и нули в качестве входных данных для логического элемента, его работа может быть представлена в виде таблицы истинности.

NOR ворота

Таблица истинности

Q = НЕ

И ворота

И ворота

Таблица истинности

Q = А И В

Вход A	Вход B	Выход Q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Логическое выражение для AND записывается: Q = A * B, где * представляет AND.

Таблица истинности отражает фундаментальное свойство логического элемента И: выход A AND B равен 1, только если оба входа A и B равны 1.

OR ворота

OR вентиль

Таблица истинности

Q = A ИЛИ B

Вход A	Вход B	Выход Q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Логическое выражение для ИЛИ записывается: Q = A + B, где + представляет собой ИЛИ.

Таблица истинности отражает фундаментальное свойство логического элемента ИЛИ: выход A OR B равен 1, если вход A или вход B равен 1.

Создание схем логических элементов

Можно подключить несколько логических вентилей для создания вывода на основе нескольких входов

Эту схему можно представить как Q = (НЕ A) ИЛИ (B AND C) или Q = -A + (B * C) и показать с помощью таблицы истинности ниже:

Вход A	Вход B	Вход C	D = НЕ	E = B И C	Q = D ИЛИ E
1	1	1	0	1	1
1	1

Мы научились составлять предложения на английском языке и переводить их в логические утверждения, используя буквы и символы для логических связок.И мы узнали, как получить набор значений истинности утверждения во всех возможных случаях, составив таблицу истинности. Теперь мы можем использовать эти инструменты для решения двух важных задач:

Мы можем доказать, что два разных логических утверждения эквивалентны или не эквивалентны друг другу.
Мы можем проверить правильность структуры логических аргументов.

Чтобы определить, эквивалентны ли два логических утверждения или нет, нам нужно создать таблицу истинности для каждого утверждения и сравнить значения истинности утверждений в каждом случае. Если оба утверждения имеют таблицы истинности с точно такими же значениями истинности в последнем столбце, тогда два утверждения логически эквивалентны, и одно утверждение может быть заменено другим в логическом аргументе без изменения значения.

Давайте посмотрим на несколько примеров:

Является ли ~ ( p ∧ q ) эквивалентом ~ p∧ ~ q?

Поскольку мы знаем, что в арифметике 2 ( x +3) = 2 x +6, мы можем начать задаваться вопросом, можем ли мы распределить знак отрицания по набору круглых скобок в логических утверждениях. Другими словами, является ли ~ ( p ∧ q ) эквивалентом ~ p∧ ~ q ?

Единственный способ узнать это — составить таблицу истинности для ~ ( p ∧ q ) и таблицу истинности для ~ p∧ ~ q , а затем сравнить значения истинности в каждой таблице. :

p	q	p∧q	~ ( p∧q )
т	т	т	Факс
т	Факс	Факс	т
Факс	т	Факс	т
Факс	Факс	Факс	т

p	q	~ п.	~ q	~ p∧ ~ q
т	т	Факс	Факс	Факс
т	Факс	Факс	т	Факс
Факс	т	т	Факс	Факс
Факс	Факс	т	т	т

Для того, чтобы это сравнение работало, мы должны сравнить одинаковых строк в каждой таблице истинности; например, мы должны сравнить строку, где p = T и q = T в таблице истинности для ~ ( p∧q ) со строкой, где p = T и q = T в Таблица истинности для ~ p∧ ~ q . Нас интересует, имеют ли два разных утверждения одинаковое значение истинности в абсолютно одинаковых условиях . Итак, если бы мы сравнили строку, где p = T и q = T в таблице истинности для ~ ( p∧q ), со строкой, где p = T и q = F в таблица истинности для ~ p∧ ~ q , мы будем рассматривать два разных набора условий, и поэтому сравнение значений истинности для каждого утверждения в этом случае приведет к ошибке.

В двух таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности p и q в в том же порядке . Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в двух таблицах истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец таблицы одна таблица с последним столбцом другой, например:

p	q	~ ( p∧q )	~ p∧ ~ q
т	т	Факс	Факс
т	Факс	т	Факс
Факс	т	т	Факс
Факс	Факс	т	т

В этом случае значения истинности для ~ ( p∧q ) и ~ p∧ ~ q равны , а не , поэтому мы можем сделать вывод, что эти два утверждения эквивалентны , а не !

Итак, это ответ на наш вопрос; если у нас есть ~ ( p∧q ), мы не можем просто замените его на ~ p∧ ~ q . Если мы заменим ~ ( p∧q ) на ~ p∧ ~ q , мы фактически будем , изменяя смысл нашего оператора.

Но есть ли другой способ избавиться от скобок? Другими словами, существует ли другой оператор, эквивалентный ~ ( p∧q ), не содержащий скобок? Попробуем другой вариант:

Является ли ~ ( p ∧ q ) эквивалентом ~ p∨ ~ q?

Чтобы проверить это утверждение, мы должны составить таблицу истинности для ~ ( p ∧ q ) и таблицу истинности для ~ p∨ ~ q , а затем сравнить значения истинности в каждой таблице:

p	q	p∧q	~ ( p∧q )
т	т	т	Факс
т	Факс	Факс	т
Факс	т	Факс	т
Факс	Факс	Факс	т

p	q	~ п.	~ q	~ p∨ ~ q
т	т	Факс	Факс	Факс
т	Факс	Факс	т	т
Факс	т	т	Факс	т
Факс	Факс	т	т	т

В двух таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности для p и q в в том же порядке . Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в двух таблицах истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец таблицы одна таблица с последним столбцом другой, например:

p	q	~ ( p∧q )	~ p∨ ~ q
т	т	Факс	Факс
т	Факс	т	т
Факс	т	т	т
Факс	Факс	т	т

В этом случае значения истинности для ~ ( p∧q ) и ~ p∨ ~ q точно такие же, поэтому мы можем заключить, что эти два утверждения эквивалентны:

~ ( p∧q ) ≡ ~ p∨ ~ q

Итак, если мы когда-либо встретим ~ ( p∧q ) , мы можем заменить его на ~ p∨ ~ q , не меняя логического смысла оператора !

Теперь давайте попробуем сравнить два более сложных оператора, чтобы увидеть, эквивалентны ли они:

Является ли утверждение (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p эквивалентом r ∨ p?

Чтобы проверить это утверждение, мы должны составить таблицу истинности для (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p и таблицу истинности для r ∨ p , а затем сравнить значения истинности в каждой таблице.

Будьте осторожны — поскольку мы хотим сравнить (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p , который содержит буквы p , q и r , с r ∨ p , мы должны убедиться, что ОБЕИ таблицы истинности содержат ВСЕ ТРИ БУКВЫ p , q и r (хотя обычно, когда мы составляем таблицу истинности r ∨ p , мы будем использовать только две буквы r и p ).Это потому, что для СРАВНЕНИЯ двух таблиц истинности они должны иметь ТОЧНО ОДИНАКОВЫЕ СТРОКИ.

p	кв	r	~ д	p → ~ q	~ r	~ r ∧ ( p → ~ q )	(~ r ∧ ( p → ~ q )) → p
т	т	т	Факс	Факс	Факс	Факс	т
т	т	Факс	Факс	Факс	т	Факс	т
т	Факс	т	т	т	Факс	Факс	т
т	Факс	Факс	т	т	т	т	т
Факс	т	т	Факс	т	Факс	Факс	т
Факс	т	Факс	Факс	т	т	т	Факс
Факс	Факс	т	т	т	Факс	Факс	т
Факс	Факс	Факс	т	т	т	т	Факс

p	кв	r	r ∨ p
т	т	т	т
т	т	Факс	т
т	Факс	т	т
т	Факс	Факс	т
Факс	т	т	т
Факс	т	Факс	Факс
Факс	Факс	т	т
Факс	Факс	Факс	Факс

В двух таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности для p, q и r в в том же порядке . Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в двух таблицах истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец таблицы одна таблица с последним столбцом другой выглядит так:

p	кв	r	(~ r ∧ ( p → ~ q )) → p	r ∨ p
т	т	т	т	т
т	т	Факс	т	т
т	Факс	т	т	т
т	Факс	Факс	т	т
Факс	т	т	т	т
Факс	т	Факс	Факс	Факс
Факс	Факс	т	т	т
Факс	Факс	Факс	Факс	Факс

В этом случае значения истинности для (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p и r ∨ p точно такие же, поэтому мы можем заключить, что эти два утверждения являются эквивалент:

(~ r ∧ ( p → ~ q )) → p ≡r ∨ p

Итак, если мы когда-нибудь встретим (~ r ∧ ( p → ~ q )) → p , мы можем заменить его на r ∨ p , не изменяя логического смысла утверждения !

Мы можем использовать таблицы истинности, чтобы определить, верна ли структура логического аргумента. Чтобы определить, верна ли структура логического аргумента, нам сначала нужно преобразовать наш аргумент в серию логических утверждений, написанных с использованием букв и логических связок. Как только мы это сделаем, мы сможем создать таблицы истинности для каждого утверждения в аргументе.

Затем нам нужно создать таблицу истинности для каждого утверждения предпосылки и таблицу истинности для утверждения заключения и сравнить значения истинности утверждений предпосылки и утверждения заключения в каждом случае. Если значение истинности заключения истинно в КАЖДОМ случае, когда ВСЕ посылки истинны, то аргумент имеет допустимую структуру. Если есть хотя бы один случай , в котором все посылки верны, но вывод ложен, тогда ясно, что истинность заключения не следует непосредственно из посылок, и, следовательно, аргумент неверен.

Примечание: Если НЕТ случаев, в которых все предпосылки верны, то аргумент допустим по умолчанию. Потому что, если невозможно, чтобы все посылки были истинными одновременно, тогда невозможно найти обстоятельство, при котором все посылки истинны, а вывод ложен, поэтому невозможно доказать, что аргумент недействителен; следовательно, аргумент становится действительным по умолчанию.

Давайте рассмотрим несколько примеров аргументов и определим, имеют ли они допустимую структуру или нет:

Если сейчас октябрь, то занятия в сессии.

Сейчас октябрь.

Значит, занятия идут.

Если мы допустим p = «Сейчас октябрь» и q = «Классы в сеансе», то мы можем переписать этот аргумент, используя буквы и логические связки, например:

p → q

п.

Следовательно, q.

Этот аргумент имеет две посылки:

p → q
п.

И вывод: q .

Затем мы создаем таблицы истинности как для посылок, так и для заключения. Опять же, поскольку наш аргумент содержит две буквы: p и q , все наши таблицы истинности должны содержать как p , так и q , и все строки должны быть в одном порядке :

Помещение 1:

п	q	п → д
т	т	т
т	Факс	Факс
Факс	т	т
Факс	Факс	т

Помещение 2:

п.	q	п.
т	т	т
т	Факс	т
Факс	т	Факс
Факс	Факс	Факс

Вывод:

п	q	q
т	т	т
т	Факс	Факс
Факс	т	т
Факс	Факс	Факс

В трех таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности p и q в в том же порядке . Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в каждой из таблиц истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец каждой таблицы с последним столбцом других таблиц, например:

p	q	п → д	п.	q
т	т	т	т	т
т	Факс	Факс	т	Факс
Факс	т	т	Факс	т
Факс	Факс	т	Факс	Факс

Здесь мы отделили помещения от столбцов с первыми буквами и от столбца с выводами темными черными линиями. Теперь все, что нам нужно сделать, это посмотреть на все случаи, в которых ВСЕ предпосылки ИСТИННЫ. Мы выделяем эти примеры желтым цветом в таблице истинности:

p	q	п → д	п.	q
Т	т	т	т	т
т	Факс	Факс	т	Факс
Факс	т	т	Факс	т
Факс	Факс	т	Факс	Факс

Итак, у нас есть только одна строка, в которой все помещений верны. Напомним, что для того, чтобы аргумент был действительным, всякий раз, когда все предпосылки верны, заключение также должно быть верным. Верен ли вывод и в этой строке? Да!

Таким образом, мы можем заключить, что этот аргумент действителен !

Если сейчас октябрь, то занятия в сессии.

Занятия идут.

Следовательно, октябрь.

p → q

Следовательно, п.

Этот аргумент имеет две посылки:

p → q
q

И вывод такой: р .

Помещение 1:

п	q	п → д
т	т	т
т	Факс	Факс
Факс	т	т
Факс	Факс	т

Помещение 2:

п.	q	q
т	т	т
т	Факс	Факс
Факс	т	т
Факс	Факс	Факс

Вывод:

п	q	п.
т	т	т
т	Факс	т
Факс	т	Факс
Факс	Факс	Факс

p	q	п → д	q	п.
т	т	т	т	т
т	Факс	Факс	Факс	т
Факс	т	т	т	Факс
Факс	Факс	т	Факс	Факс

p	q	п → д	q	п.
Т	т	т	т	т
т	Факс	Факс	Факс	т
Факс	т	т	т	Факс
Факс	Факс	т	Факс	Факс

Итак, у нас есть две строки, в которых все помещений верны. Напомним, что для того, чтобы аргумент был действительным, всякий раз, когда все предпосылки верны, заключение также должно быть верным. Верен ли вывод и в первом желтом ряду? Да! Верен ли вывод и во втором желтом ряду? Нет! Это означает, что существует случай, в котором все предпосылки верны, но вывод ложен, поэтому этот аргумент должен быть неверным!

Таким образом, мы можем сделать вывод, что этот аргумент неверен !

У меня проходной балл по этому классу.

Я не сдал с опозданием ни одну домашнюю работу и сдал все тесты.

Я проваливаю урок химии или этот.

Следовательно, неверно, что я проваливаю химию, только если я поздно сдал часть своих домашних заданий.

Если мы допустим p = «Я сдаю этот класс», q = «Я сдаю некоторые домашние задания поздно», r = «Я сдаю все тесты» и s = «Я сдаю мой класс химии «, то мы можем переписать этот аргумент, используя буквы и логические связки, например:

п.

~ q ∧ r

~ с ~ с

Следовательно, ~ ~ с → q .

Примечание: этот аргумент сложен, потому что нам нужно переписать очень много предложений, прежде чем мы сможем превратить их в символы, как мы сделали выше. Вот как бы мы переписали этот аргумент, чтобы было легче распознавать правильные логические связки:

Сдаю этот курс.

Неправда, что я поздно сдал домашнее задание и прошел все тесты.

Я не сдам свой урок химии или не сдам этот класс.

Следовательно, если неверно, что я не сдаю химию, значит, я сдал некоторые домашние задания поздно.

Вернитесь к исходному аргументу и посмотрите, сможете ли вы понять, почему мы можем переписать каждое из предложений в аргументе таким образом, не меняя их значения. (Если у вас возникли проблемы с этим, вам следует еще раз взглянуть на лекцию по логике 1).

Этот аргумент имеет три посылки:

п.
~ q ∧ r
~ с ∨ ~ с

И вывод: ~ ~ с → q .

Затем мы создаем таблицы истинности как для посылок, так и для заключения. Опять же, поскольку наш аргумент содержит четыре буквы: p , q , r и s , , все наши таблицы истинности должны содержать обе эти четыре буквы и содержать все строки в том же порядке. :

Помещение 1:

п	q	r	с	п.
т	т	т	т	т
т	т	т	Факс	т
т	т	Факс	т	т
т	т	Факс	Факс	т
т	Факс	т	т	т
т	Факс	т	Факс	т
т	Факс	Факс	т	т
т	Факс	Факс	Факс	т
Факс	т	т	т	Факс
Факс	т	т	Факс	Факс
Факс	т	Факс	т	Факс
Факс	т	Факс	Факс	Факс
Факс	Факс	т	т	Факс
Факс	Факс	т	Факс	Факс
Факс	Факс	Факс	т	Факс
Факс	Факс	Факс	Факс	Факс

Помещение 2:

п.	q	r	с	~ q ∧ r
т	т	т	т	Факс
т	т	т	Факс	Факс
т	т	Факс	т	Факс
т	т	Факс	Факс	Факс
т	Факс	т	т	т
т	Факс	т	Факс	т
т	Факс	Факс	т	Факс
т	Факс	Факс	Факс	Факс
Факс	т	т	т	Факс
Факс	т	т	Факс	Факс
Факс	т	Факс	т	Факс
Факс	т	Факс	Факс	Факс
Факс	Факс	т	т	т
Факс	Факс	т	Факс	т
Факс	Факс	Факс	т	Факс
Факс	Факс	Факс	Факс	Факс

Помещение 3:

p	q	r	с	~ с ∨ ~ п
т	т	т	т	Факс
т	т	т	Факс	т
т	т	Факс	т	Факс
т	т	Факс	Факс	т
т	Факс	т	т	Факс
т	Факс	т	Факс	т
т	Факс	Факс	т	Факс
т	Факс	Факс	Факс	т
Факс	т	т	т	т
Факс	т	т	Факс	т
Факс	т	Факс	т	т
Факс	т	Факс	Факс	т
Факс	Факс	т	т	т
Факс	Факс	т	Факс	т
Факс	Факс	Факс	т	т
Факс	Факс	Факс	Факс	т

Вывод:

п	q	r	с	~ ~ с → q
т	т	т	т	т
т	т	т	Факс	т
т	т	Факс	т	т
т	т	Факс	Факс	т
т	Факс	т	т	Факс
т	Факс	т	Факс	т
т	Факс	Факс	т	Факс
т	Факс	Факс	Факс	т
Факс	т	т	т	т
Факс	т	т	Факс	т
Факс	т	Факс	т	т
Факс	т	Факс	Факс	т
Факс	Факс	т	т	Факс
Факс	Факс	т	Факс	т
Факс	Факс	Факс	т	Факс
Факс	Факс	Факс	Факс	т

В ЧЕТЫРЕХ таблицах истинности, которые я создал выше, вы можете видеть, что я перечислил все значения истинности p , q , r и s в в том же порядке . Это сделано для того, чтобы я мог сравнивать значения в последнем столбце в каждой из таблиц истинности, не беспокоясь о том, сопоставляю ли я правильные строки — поскольку строки уже находятся в том же порядке, я могу просто сравнить последний столбец каждой таблицы с последним столбцом других таблиц, например:

p	q	r	с	п.	~ q ∧ r	~ с ∨ ~ п	~ ~ с → q
т	т	т	т	т	Факс	Факс	т
т	т	т	Факс	т	Факс	т	т
т	т	Факс	т	т	Факс	Факс	т
т	т	Факс	Факс	т	Факс	т	т
т	Факс	т	т	т	т	Факс	Факс
т	Факс	т	Факс	т	т	т	т
т	Факс	Факс	т	т	Факс	Факс	Факс
т	Факс	Факс	Факс	т	Факс	т	т
Факс	т	т	т	Факс	Факс	т	т
Факс	т	т	Факс	Факс	Факс	т	т
Факс	т	Факс	т	Факс	Факс	т	т
Факс	т	Факс	Факс	Факс	Факс	т	т
Факс	Факс	т	т	Факс	т	т	Факс
Факс	Факс	т	Факс	Факс	т	т	т
Факс	Факс	Факс	т	Факс	Факс	т	Факс
Факс	Факс	Факс	Факс	Факс	Факс	т	т

p	q	r	с	п.	~ q ∧ r	~ с ∨ ~ п	~ ~ с → q
т	т	т	т	т	Факс	Факс	т
т	т	т	Факс	т	Факс	т	т
т	т	Факс	т	т	Факс	Факс	т
т	т	Факс	Факс

В предрассветные часы конца 17 века Исаака Ньютона можно было найти запертым в своей лаборатории, раскрывающим секреты природы. Гигантские клубы зеленого дыма вырывались из котлов всех форм и размеров, в то время как другие шипели и выплевывали новые загадочные химические смеси, как миниатюрные вулканы, извергающиеся со знанием неизвестного. Под жутким светом мерцающих свечей Ньютон продолжал писать более миллиона слов на тему алхимии. Он должен был сделать это втайне, потому что в то время это не одобрялось. Фактически, теперь известно, что алхимия была той «наукой», которая его интересовала больше всего.Его увлечение превращением свинца в золото с помощью неуловимого философского камня теперь очевидно. Он даже отказался от должности профессора в Кембридже и вместо этого выбрал должность директора Монетного двора Англии, где он курировал хранилище золота своей страны.

Во времена Ньютона было мало что известно о фундаментальной структуре материи. Первая версия таблицы Менделеева появилась не раньше, чем через сто сорок лет после его смерти. С современной атомной структурой не всплывать еще 30 лет после этого. Сегодня мы знаем, что невозможно превратить свинец в золото, не поджигая мир. Алхимия признана псевдонаукой, и мы выбираем современную химию для описания взаимодействия между элементами. Каждый, кто выходит из школы, знает, что такое атомы и таблица Менделеева. Они знают, что такое субатомные частицы и связанные с ними электрические заряды. В этой статье мы собираемся выйти за рамки основ. Мы собираемся взглянуть на атомную структуру с точки зрения квантовой механики, что даст вам новое понимание того, почему периодическая таблица выглядит именно так.Фактически, вы можете построить всю таблицу Менделеева, используя только квантовые числа.

Все мы привыкли видеть различные рисунки и схемы атомов с ядром, окруженным электронами, орбиты которых имеют форму концентрических кругов. Хотя это описание полезно в некоторых ситуациях, оно не является точным описанием атома. Самая значительная проблема этой модели — визуализация электрона в конкретном месте.В квантовой механике положение электрона, вращающегося вокруг атома, описывается его волновой функцией, которая дает лишь вероятность того, где вы можете его найти. Это понятие называется электронной плотностью. Квадрат волновой функции показывает распределение электронной плотности в трехмерном пространстве вокруг ядра и называется орбиталью. Это распределение можно рассчитать с помощью уравнения [Шредингера], результаты которого образуют так называемые квантовые числа.

Есть три разных квантовых числа:

Главный ( n ) — Размер орбиты.
Угловой момент ( l ) — Форма орбиты.
Magnetic ( m ) — Ориентация орбиталей в пространстве и количество орбиталей.

Значения трех квантовых чисел даны в целых числах. Главное квантовое число ( n ) определяет размер орбитали, и его значения могут варьироваться от 1, 2, 3 и так далее. Момент импульса ( l ) и магнитное ( m ) числа зависят от главного числа.Для l значение находится в диапазоне от 0 до ( n — 1). Эти значения обозначаются буквами s , p , d и f . Диапазон значений м можно найти с помощью уравнения (2 l + 1), и значения будут следовать (- l … 0… + l ). Произведя вычисления, вы сможете построить диаграмму, которая будет намного проще для понимания:

Существует четвертое квантовое число, не связанное с тремя вышеупомянутыми, называемое спином электрона.Он записывается как +1/2 и -1/2. У всех электронов есть спин, и они могут иметь только одно из этих двух значений. Этот спин сыграет ключевую роль чуть позже. А пока нам нужно немного больше понять о том, как орбитали существуют в космосе.

Источник

Согласно нашей диаграмме, существует четыре различных значения l или четыре различных формы орбиты. Самый простой — s , имеет сферическую форму. В оболочке n = 2 имеется орбиталь p , которая выглядит как арахис.Для этой орбиты он может иметь три различных значения: м . Помните, что число м говорит нам об ориентации в пространстве. Но что еще более важно, он сообщает нам количество доступных орбиталей. В случае p значение m равно -1, 0 и 1. Таким образом, мы можем иметь до 3-х орбиталей на осях xyz декартовой системы. Переход к n = 3 помещает нас на суб-оболочку d и дает нам до 5 орбиталей. При n = 4 субоболочка f может удерживать до 7 орбиталей.Взгляните на изображение слева, чтобы получить визуальное представление о том, как эти орбитали выглядят в космосе. Обратите внимание, что орбиталь f не отображается, так как ее трудно визуализировать.

Как только вы поймете, как квантовые числа порождают орбитали, мы можем перейти к рассмотрению того, что происходит, когда мы заполняем их электронами.

Теперь у нас достаточно знаний, чтобы приступить к решению периодической головоломки. Но сначала мы должны нанести визит в лабораторию г.Вольфганга Паули и получить ключевую часть (часто упускаемой из виду) информации. Его принцип исключения Паули говорит нам, что никакие два электрона не могут иметь одинаковое квантовое число. Что значит даже?

Что ж, давайте посмотрим на простейший атом — водород. У него один протон и один электрон. В своей самой низкой энергии, или основном состоянии, электрон будет существовать на наименьшей орбитали s в оболочке n = 1. Следующий элемент — гелий с двумя электронами. Г-н Паули говорит, что никакие два электрона не могут иметь одинаковые квантовые числа.А теперь вспомним 4-е несколько малоизвестное квантовое число спина. Это позволяет двум электронам гелия использовать одну и ту же орбиталь s в оболочке n = 1, пока их спины противоположны. Когда два электрона имеют одну и ту же орбиталь (с противоположным спином), они считаются парными. Кстати, это спаривание дает электронам очень интересное и несколько загадочное свойство, которое может вызвать парадокс, который почти остановил всю квантовую физику. Я подробно расскажу об этом здесь, если вам нужно немного более легкого чтения.

Вольфганг Паули 1900 — 1958

Теперь у нас достаточно знаний, чтобы построить периодическую таблицу с нуля. Электронную конфигурацию водорода можно записать как 1s ¹, где:

1 = главное квантовое число ( n ) или оболочка.
с = Число углового момента ( l ) или суб-оболочки.
¹ = Число электронов в подоболочке.

Гелий будет 1s ². Это заполнит нашу оболочку n = 1, и теперь мы должны перейти к оболочке n = 2. Литий и бериллий будут 1s ² 2s ¹ и 1s ² 2s ² соответственно. Теперь суб-оболочка s в оболочке n = 2 заполнена. Следующая доступная орбиталь — это суб-снаряд p . Таким образом, Бор будет 1s ² 2s ² 2p ¹. Мы можем продолжить заполнение орбиталей как таковых:

C = 1s ² 2s ² 2p ²
N = 1s ² 2s ² 2p ³
O = 1s ² 2s ² 2p ⁴
F = 1s ² 2s ² 2p ⁵
Ne = 1s ² 2s ² 2p ⁶

Итак, мы достигли нашего первого благородного газа — неона.Обратите внимание, что вся суб-оболочка p заполнена. Почему он полный? Поскольку субоболочка p имеет три значения м . Каждая из них является орбиталью, и на каждой из них может поместиться два электрона. Полная суб-оболочка p означает две вещи. 1) Неон должен быть очень стабильным и 2) мы должны перейти на оболочку n = 3. Теперь вы можете определить электронную конфигурацию натрия — 1s ² 2s ² 2p ⁶ 3s ¹. Вы также должны заметить, что мы повторяем много информации.Для сокращения ядер ядра принято использовать последний благородный газ. В случае натрия мы бы написали Na = {Ne} 3s ¹.

Если вы будете продолжать, вы сможете построить всю таблицу Менделеева. Рассмотрим изображение ниже.

Источник

Здесь у нас есть периодическая таблица, показывающая только валентные или внешние электроны в каждом элементе. Именно эти самые удаленные электроны определяют реакционную способность элемента. Некоторые узоры должны выделяться. Взгляните на благородные газы в правом столбце пурпурного цвета.Все (кроме He) имеют полностью полную суб-оболочку p . Это объясняет, почему они ни на что не реагируют. Элементы в столбце слева от него, отмеченные светло-зеленым цветом, известны как галогены. Галоген означает «образование соли», и, поскольку им нужен только один электрон для заполнения своей суб-оболочки p , они обладают высокой реакционной способностью. Где взять этот единственный электрон? Как насчет элемента только с одним валентным электроном, например, в самом левом желтом столбце. Звонит ли NaCl в колокол?

Как вы видите, можно взять Периодическую таблицу элементов целиком и начать понимать, как элементы связаны друг с другом и реагируют друг с другом через конфигурацию валентных электронов.Хотя многие из этих соотношений были известны в течение сотен лет, только с развитием квантовой механики мы точно поняли, как электроны расположены внутри каждого элемента. Удивительно думать, как этот уровень понимания того, из чего состоит природа, можно проследить до очень простого вопроса с глубоким ответом: «Это частица или волна?»

Источники

Изображение «Ракушка».

Изображение «NaCl».

Химия: сначала атомы, Бердж Джулия.Главы 3 и 4, ISBN-978125

В C ++ реляционные и логические операторы сравнивают два или более операндов и возвращают истинных или ложных значений.

Мы используем этих операторов при принятии решений.

Оператор отношения используется для проверки связи между двумя операндами. Например,

  // проверяет, больше ли a, чем b
а> б;

Здесь > — оператор отношения.Он проверяет, действительно ли a больше b или нет.

Если отношение истинно , оно возвращает 1 , тогда как если отношение ложно , оно возвращает 0 .

В следующей таблице перечислены операторы отношения, используемые в C ++.

Оператор	Значение	Пример
`==`	равен	`3 == 5` дает нам ложь
`! =`	Не равно	`3! = 5` дает нам true
`>`	больше	`3> 5` дает нам ложь
`<`	Менее	`3 <5` дает нам истинное
`> =`	больше или равно	`3> = 5` даст нам ложь
`<=`	Меньше или равно	`3 <= 5` дает нам истинное

Оператор равенства == возвращает

true - если оба операнда равны или одинаковы
false - если операнды не равны

Например,

  int x = 10;
int y = 15;
int z = 10;

x == y // ложь
x == z // верно

Примечание: Оператор отношения == - это не то же самое, что оператор присваивания = . Оператор присваивания = присваивает значение переменной, константе, массиву или вектору. Он не сравнивает два операнда.

Оператор не равно ! = возвращает

true - если оба операнда не равны
false - если оба операнда равны.

Например,

  int x = 10;
int y = 15;
int z = 10;

x! = y // верно
x! = z // ложь

Оператор больше > возвращает

true - если левый операнд больше правого
false - если левый операнд меньше правого

Например,

  int x = 10;
int y = 15;

x> y // ложь
y> x // истина

Оператор «меньше» < возвращает

true - если левый операнд меньше правого
false - если левый операнд больше правого

Например,

  int x = 10;
int y = 15;

x

Оператор больше или равно > = возвращает

true - если левый операнд больше или равен правому
false - если левый операнд меньше правого

Например,

  int x = 10;
int y = 15;
int z = 10;

x> = y // ложь
y> = x // правда
z> = x // верно

$А \vee В$

$¬А \vee ¬В$

$(A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)$

Оператор «меньше или равно» <= возвращает

.  true  - если левый операнд меньше или равен правому
  false  - если левый операнд больше правого
 Например,
  int x = 10;
int y = 15;

x> y // ложь
y> x // истина  
 Чтобы узнать, как реляционные операторы могут использоваться со строками, обратитесь к нашему руководству здесь.
 Логические операторы C ++ 
 Мы используем логические операторы, чтобы проверить, является ли выражение  истинным  или  ложным . Если выражение  true , оно возвращает  1 , тогда как если выражение  false , оно возвращает  0 .
 Оператор  Пример  Значение
  &&  выражение1  &&  выражение 2  Логический И.
 true, только если все операнды верны.
  ||  выражение1  ||  выражение 2  Логическое ИЛИ. 
 истина, если хотя бы один из операндов истинен.
 !  !  выражение  Логическое НЕ. 
 истина, только если операнд ложный.
 Оператор логического И в C ++ 
 Оператор логического И  &&  возвращает
  true  - если и только если  все операнды равны   true .
  false  - если  один или несколько операндов  являются  false .
  Таблица истинности оператора && 
 Пусть  a  и  b  будут двумя операндами.  0  представляет  ложных , а  1  представляет  истинных . Затем
 а  б  a && b
 0  0  0
 0  1  0
 1  0  0
 1  1  1
 Как видно из приведенной выше таблицы истинности, оператор  &&  возвращает истину, только если оба значения  a  и  b  истинны.
 Примечание. Оператор логического И && не следует путать с оператором побитового И &.
 Пример 1: Оператор OR в C ++ 
  // Программа на C ++, демонстрирующая таблицу истинности оператора &&

#include 
используя пространство имен std;

int main () {
    int a = 5;
    int b = 9;
  
    // ложь && false = ложь
    cout << ((a == 0) && (a> b)) << endl;
  
    // ложь && истина = ложь
    cout << ((a == 0) && (a  b)) << endl;

    // истина && истина = истина
    cout << ((a == 5) && (a  
  Выход 
  0
0
0
1  
 В этой программе мы объявляем и инициализируем две переменные  int   a  и  b  со значениями  5  и  9  соответственно.Затем выводим логическое выражение
  ((a == 0) && (a> b))  
 Здесь  a == 0  оценивается как  false , поскольку значение  a  равно  5 .  a> b  также является  ложным , поскольку значение  a  меньше, чем значение  b . Затем мы используем оператор И  && , чтобы объединить эти два выражения.
 Из таблицы истинности оператора  &&  мы знаем, что  false && false  (т.е.  0 && 0 ) приводит к оценке  false  ( 0 ). Это результат, который мы получаем на выходе.
 Аналогичным образом мы вычисляем три других выражения, которые полностью демонстрируют таблицу истинности оператора  && .
 Оператор логического ИЛИ в C ++ 
 Оператор логического ИЛИ  ||  возвращает
  true  - если , один или несколько операндов равны   true .
  false  - если и только если  все операнды  равны  false .
  Таблица истинности || Оператор 
 Пусть  a  и  b  будут двумя операндами. Затем
 а  б  a || б
 0  0  0
 0  1  1
 1  0  1
 1  1  1
 Как видно из приведенной выше таблицы истинности,  || Оператор  возвращает false, только если оба значения  a  и  b  ложны.
 Пример 2: Оператор OR в C ++ 
  // Демонстрация программы на C ++ || таблица истинности операторов

#include 
используя пространство имен std;

int main () {
    int a = 5;
    int b = 9;
  
    // ложь && false = ложь
    cout << ((a == 0) || (a> b)) << endl;
  
    // ложь && истина = истина
    cout << ((a == 0) || (a  b)) << endl;

    // истина && истина = истина
    cout << ((a == 5) || (a  
  Выход 
  0
1
1
1  
 В этой программе мы объявляем и инициализируем две переменные  int   a  и  b  со значениями  5  и  9  соответственно. Затем выводим логическое выражение
  ((a == 0) || (a> b))  
 Здесь  a == 0  оценивается как  false , поскольку значение  a  равно  5 .  a> b  также является  ложным , поскольку значение  a  меньше, чем значение  b . Затем мы используем оператор ИЛИ  || , чтобы объединить эти два выражения.
 Из таблицы истинности  ||  оператор, мы знаем, что  ложь || ложный  (т.е.  0 || 0 ) приводит к оценке  ложных  ( 0 ). Это результат, который мы получаем на выходе.
 Аналогичным образом мы вычисляем три других выражения, которые полностью демонстрируют таблицу истинности  ||  оператор.
 Оператор логического НЕ в C ++! 
 Оператор логического НЕ !  - унарный оператор, т.е. принимает только один операнд.
 Он возвращает  true , если операнд  false , и  false , если операнд  true .
  Таблица правды! Оператор 
 Пусть  a  будет операндом. Затем
 Пример 3: C ++! Оператор 
  // Демонстрация программы на C ++! таблица истинности операторов
#include 
используя пространство имен std;

int main () {
    int a = 5;
  
    //! false = true
    cout < 
  Выход 
  1
0  
 В этой программе мы объявляем и инициализируем переменную  int   a  со значением  5 .Затем выводим логическое выражение
 ! (А == 0)  
 Здесь  a == 0  оценивается как  false , поскольку значение  a  равно  5 . Однако мы используем оператор НЕ !  по  а == 0 . Поскольку  a == 0  оценивается как  false , ! Оператор  инвертирует результаты
 Таблица истинности - Перевод на немецкий - примеры английский 
  Эти примеры могут содержать грубые слова на основании вашего поиска.
  Эти примеры могут содержать разговорные слова, основанные на вашем поиске.
 Таблица истинности   выглядит следующим образом.
 Система по п.7, дополнительно содержащая дополнительное хранилище (20) для хранения упомянутой сжатой таблицы истинности  .
 System nach Anspruch 7, das ferner einen weiteren Speicher (20) zum Speichern der verdichteten  Wahrheitstabelle  aufweist. 10. Схема по п. 10, отличающаяся тем, что для каждой отдельной клавиши (1) определенное и назначенное время простоя (от t1 до tn) сохраняется как постоянное значение в таблице истинности  .
 Schaltungsanordnung nach Anspruch 10, dadurch gekennzeichnet, daß für jede einzelne Taste (1) einmal ermittelte und zugeordnete Sperrzeit (t1 bis tn) als unveränderbarer hert in einer  Wertelegt. Устройство по п.1, отличающееся тем, что члены матриц A, B, C, D модулируются таблицей истинности   для учета неопределенностей в отношении управляющих переменных.
 Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Matrizenterme A, B, C, D durch eine  Wertetabelle  verändert werden, um Unsicherheiten in den Regelungsvariablen zu berücksichtigen. Устройство по п.5, в котором упомянутое средство комбинирования (102) объединяет упомянутое содержимое памяти дисплея и дополнительные данные измерений согласно выбранной  таблице истинности  из набора таблиц истинности, отвечающих упомянутой серии состояний управления (300).
 Vorrichtung nach Anspruch 5, wobei das Kombinationmittel (102) den Inhalt des l3naeigespeichers gemäß einer aus einer Reihe von Funktionstabellen ausgewählten  Funktionstabellen ausgewählten  Funktionstabellen ausgewählten , die füustr die verschierenziedenen Процессор по п. 10, в котором упомянутое средство определения включает в себя логическую схему, обеспечивающую  таблицу истинности .
 Prozessor nach Anspruch 10, wobei das Mittel zur Ermittlung eine Logikschaltung umfasst, die eine  Wahrheitstabelle  aktiviert. Таблица истинности   с индикацией состояния и соответствующей формулой в желаемой форме (здесь DNF).
 Die  Wahrheitstabelle  mit Statusanzeige und dazugehöriger Formel in der gewünschten Form (im Bild KNF). Вы должны начать с  таблицы истинности  нужных вам ворот.
 Добро пожаловать в Real Digital 
 Таблицы истинности и их связь с логическими схемами и уравнениями 
  4891
 Представления логических операций 
 Сигналы в цифровых схемах подаются на Vdd или GND, поэтому они передают одну двоичную цифру (или бит) информации. Обычной практикой является представление состояния двоичного сигнала с использованием «1» для Vdd и «0» для GND. Используются сигналы с двумя состояниями (или «двоичные»), потому что они очень устойчивы к шуму и потому, что они эффективно управляют транзисторными логическими схемами (т.е. они полностью включают или выключают полевые транзисторы, используемые в логических схемах).
 Логические схемы принимают некоторое количество двоичных входных сигналов, объединяют их с помощью различных логических операций (например, И, ИЛИ и НЕ) и выдают двоичные выходные сигналы.Таблица истинности - это основной инструмент для определения поведения логической схемы. Таблица истинности показывает все возможные комбинации входных сигналов и то, каким должен быть выход для каждой комбинации. На основе таблицы истинности можно использовать простые процедуры для поиска логической схемы для реализации заданного поведения.
 Таблицы истинности для общих логических отношений показаны ниже. Примечание: отношение «исключающее или» (или «xor»), выраженное двумя переменными как «A, а не B, или B, а не A», обычно считается одним из основных логических отношений, даже если это составная схема. построены из других логических функций (И, ИЛИ и НЕ).Схемы Xor часто используются в обсуждениях схем арифметики и шифрования, и они будут представлены более подробно позже.
 Рис. 1. Базовые логические таблицы истинности И, ИЛИ, и НЕ (или инверсия) - это три основных логических отношения, которые можно использовать для выражения любых логических отношений между любым количеством переменных. Подумайте об этом на мгновение - любую логическую систему, от простой игрушки до самого мощного из когда-либо построенных, можно представить в терминах отношений И, ИЛИ и НЕ.
 Схемы SOP и POS 
 «член произведения» определяется как отношение И между любым количеством сигналов, а «член суммы» определяется как отношение ИЛИ между любым количеством сигналов. Любая логическая система может быть реализована в двух разных формах: с использованием терминов продукта (логические элементы И) для декодирования входных данных и последующего объединения этих терминов с логическим элементом ИЛИ - это форма «Сумма продуктов» (СОП); или использование сумм (логические элементы ИЛИ) для декодирования входных данных, а затем объединение этих членов с помощью логического элемента И - это форма «Произведение сумм» (POS).В формах SOP и POS используются разные логические элементы, но они эквивалентны, то есть вырабатывают один и тот же выходной сигнал для одинаковых шаблонов входов. Часто для двух форм требуется одинаковое количество логических вентилей, но иногда одна из двух форм более эффективна, чем другая.
 «Каноническая» логическая схема SOP (т. Е. Не минимизированная схема, которая содержит все возможные логические термины) легко получается из таблицы истинности: включите один логический элемент И с n входами для каждой выходной строки, содержащей '1' (где n - количество входов, показанных в таблице истинности), и подключите входы «1» непосредственно к логическому элементу И и подключите входы «0» через инвертор; и присоедините все выходы И к логическому элементу ИЛИ с m входом (где m - количество строк вывода «1»). N возможных логических функций.Итак, логическая система с двумя входами имеет 16 возможных логических функций, логическая система с тремя входами имеет 256 возможных логических функций, логическая система с четырьмя входами имеет 65K возможных функций и т. Д. В расширенной таблице истинности ниже показаны 16 возможных логических функций двух переменные. Многие из них имеют общие имена (AND, OR, NAND и т. Д.), И фактически только четыре возможные функции (F2, F4, F11 и F13) не связаны общими отношениями.
 Рис. 4. Логические функции с двумя входами Таблица истинности всегда может использоваться для представления логической системы, но таблица истинности не всегда удобна для целей спецификации или документации.Были изобретены различные другие методы для определения логических отношений, и большинство из них включают в себя оператор назначения вывода и логические операторы для общих функций, таких как AND, OR и NOT. В таблице ниже показаны логические операторы, используемые в нескольких различных дисциплинах. Здесь мы будем использовать операторы и обозначения, связанные с логическими уравнениями, Verilog и схемами.
 Рисунок 5. Логические операторы На основе этих логических операторов функции поведенческой логики могут быть записаны как логические уравнения и как описания Verilog и / или переведены в структурные схематические изображения.Ниже показаны несколько одностворчатых представлений и два чуть более сложных примера.
 :
 Minterms и Maxterms 
 Любой член продукта, который содержит все входные сигналы, называется «minterm», а любой член суммы, содержащий все входные сигналы, называется «maxterm». Minterms и maxterms идентифицируются по номерам строк в таблице истинности, так как для любой данной системы числа находятся в диапазоне от [0 - 2N], где N - количество входных сигналов. Номера двоичных строк для minterms могут быть преобразованы в термин AND, включающий все входные сигналы, путем отображения входа «1» в неинвертированный входной сигнал и входа «0» в инвертированный сигнал; номера двоичных строк для maxterms могут быть преобразованы в член с оператором ИЛИ, включающий все входные сигналы, путем сопоставления входа «1» с инвертированным сигналом, а входа «0» - с неинвертированным.