Lna lnb. Логарифмы: свойства, применение и особые случаи

alexxlabРазное
Что такое логарифм и как он работает. Каковы основные свойства логарифмов. Как применять логарифмы на практике. Когда выполняется равенство ln(a+b) = ln(a) + ln(b).

Содержание

Что такое логарифм и его основные свойства

Логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень. Логарифм числа x по основанию b (обозначается как logbx) — это показатель степени, в которую нужно возвести число b, чтобы получить x.

Основные свойства логарифмов:

  • logb(x*y) = logbx + logby
  • logb(x/y) = logbx — logby
  • logb(xn) = n * logbx
  • blogbx = x
  • logbbx = x

Натуральный логарифм и его особенности

Натуральный логарифм (обозначается ln) — это логарифм по основанию e ≈ 2.71828. Он обладает рядом полезных свойств:

  • Производная ln(x) равна 1/x
  • Интеграл 1/x равен ln|x| + C
  • ln(e
    x    ) = x
  • eln(x) = x

Натуральный логарифм широко используется в математическом анализе, дифференциальных уравнениях и других областях математики.

Применение логарифмов в различных областях

Логарифмы находят применение во многих сферах:


  • В акустике для измерения уровня звука (децибелы)
  • В сейсмологии для измерения силы землетрясений (шкала Рихтера)
  • В химии для определения pH растворов
  • В астрономии для измерения яркости звезд
  • В теории информации для измерения количества информации
  • В финансах для расчета сложных процентов

Когда выполняется равенство ln(a+b) = ln(a) + ln(b)?

В общем случае равенство ln(a+b) = ln(a) + ln(b) не выполняется. Однако существуют особые случаи, когда оно верно. Рассмотрим условие, при котором это равенство справедливо.

Пусть a = b/(b-1). Подставим это выражение в левую часть равенства:

ln(a+b) = ln(b/(b-1) + b) = ln(b/(b-1) + b(b-1)/(b-1)) = ln((b + b^2 — b)/(b-1)) = ln(b^2/(b-1))

Теперь рассмотрим правую часть:

ln(a) + ln(b) = ln(b/(b-1)) + ln(b) = ln(b) — ln(b-1) + ln(b) = ln(b^2) — ln(b-1) = ln(b^2/(b-1))

Как видим, левая и правая части равны. Таким образом, при a = b/(b-1) действительно выполняется равенство ln(a+b) = ln(a) + ln(b).

Практические задачи на применение логарифмов

Рассмотрим несколько задач, демонстрирующих применение логарифмов:


Задача 1: Расчет времени удвоения вклада

Вопрос: За какое время сумма вклада под 5% годовых увеличится вдвое?

Решение:

  1. Пусть x — искомое время в годах
  2. Составим уравнение: 1 * (1 + 0.05)x = 2
  3. Применим натуральный логарифм к обеим частям: ln((1 + 0.05)x) = ln(2)
  4. Используем свойство логарифма: x * ln(1.05) = ln(2)
  5. Выразим x: x = ln(2) / ln(1.05) ≈ 14.2 года

Ответ: Сумма вклада удвоится примерно через 14.2 года.

Задача 2: Определение pH раствора

Вопрос: Концентрация ионов водорода в растворе составляет 3.2 * 10-4 моль/л. Определите pH раствора.

Решение:

  1. Формула для расчета pH: pH = -log10[H+]
  2. Подставим значение концентрации: pH = -log10(3.2 * 10-4)
  3. Используем свойство логарифма: pH = -(log103.2 + log1010-4)
  4. Вычислим: pH = -(0.5051 — 4) ≈ 3.49

Ответ: pH раствора примерно равен 3.49.

Графики логарифмических функций

Графики логарифмических функций имеют характерную форму. Рассмотрим основные свойства графика функции y = logbx:

  • График проходит через точку (1, 0)
  • При x > 1 функция возрастает
  • При 0 < x < 1 функция убывает
  • График имеет вертикальную асимптоту x = 0
  • График не имеет горизонтальных асимптот

Изменение основания логарифма влияет на форму графика:


  • При b > 1 график растет медленнее с увеличением основания
  • При 0 < b < 1 график зеркально отражается относительно оси y

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства — это выражения, содержащие логарифмы неизвестной величины. Рассмотрим основные методы их решения:

Логарифмические уравнения

Пример: Решить уравнение log2(x+3) = 3

Решение:

  1. Используем определение логарифма: 23 = x + 3
  2. Вычисляем: 8 = x + 3
  3. Решаем линейное уравнение: x = 5

Ответ: x = 5

Логарифмические неравенства

Пример: Решить неравенство log3(x-2) > 2

Решение:

  1. Используем определение логарифма: x — 2 > 32
  2. Вычисляем: x — 2 > 9
  3. Решаем линейное неравенство: x > 11

Ответ: x ∈ (11, +∞)

Логарифмы в теории вероятностей и статистике

Логарифмы играют важную роль в теории вероятностей и статистике:

  • Логарифмическая функция правдоподобия используется в методе максимального правдоподобия для оценки параметров статистических моделей
  • Логнормальное распределение описывает случайные величины, логарифм которых имеет нормальное распределение
  • Информационная энтропия, мера неопределенности случайной величины, определяется через логарифм
  • Логарифмическая шкала часто используется для визуализации данных с большим разбросом значений

Вычислительные аспекты работы с логарифмами

При работе с логарифмами на компьютере следует учитывать ряд особенностей:


  • Вычисление логарифмов может быть ресурсоемкой операцией, особенно для больших чисел
  • Для ускорения вычислений часто используются аппроксимации и табличные методы
  • При работе с очень большими или очень маленькими числами логарифмы помогают избежать переполнения или потери точности
  • В некоторых языках программирования доступны только функции натурального логарифма (ln) и десятичного логарифма (log10), логарифмы по другим основаниям вычисляются через формулу замены основания

Понимание этих аспектов важно для эффективной реализации алгоритмов, использующих логарифмы.


VSAT Antennas, BUC, LNB, LNA, BDC, Routers and other products on IKTech Corporation

Акции

GeoSat Microwave Circular polarized Ka-диапазон (27,00-31,00, 17,70-22,00 GHz) 4-портовый диплексор

$24995.00 $29995.00

NJRC_NJR2835H New Japan Radio PLL LNB (от 11,70 до 12,20 ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-10 ppm Разъем N /F-Типа

$145.00 $195.00

NJRC_NJR2835S New Japan Radio PLL LNB (от 11,70 до 12,20 ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-3 ppm Разъем N /F-Типа

$179.00 $265.00

NJRC_NJR2835U New Japan Radio PLL LNB (от 11,70 до 12,20 ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-1 ppm Разъем N /F-Типа

$239.00 $325.00

NJRC_NJR2836H New Japan Radio PLL LNB (от 12,25 до 12,75 ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-10 ppm Разъем N /F-Типа

$139.00 $195.00

NJRC_NJR2836S New Japan Radio PLL LNB (от 12,25 до 12,75 ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-3 ppm Разъем N /F-Типа

$179. 00 $265.00

NJRC_NJR2836U New Japan Radio PLL LNB (от 12,25 до 12,75 ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-1 ppm Разъем N /F-Типа

$239.00 $325.00

NJRC_NJR2837H New Japan Radio PLL LNB (от 10,95 до 11,70ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-10 ppm Разъем N /F-Типа

$145.00 $195.00

NJRC_NJR2837S New Japan Radio PLL LNB (от 10,95 до 11,70ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-3 ppm Разъем N /F-Типа

$179.00 $265.00

NJRC_NJR2837U New Japan Radio PLL LNB (от 10,95 до 11,70ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-1 ppm Разъем N /F-Типа

$239.00 $325.00

NJRC_NJR2839H New Japan Radio PLL LNB (от 11,20 до 11,70 ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-10 ppm Разъем N /F-Типа

$145.00 $195.00

Хит продаж

NJRC_NJR2836H New Japan Radio PLL LNB (от 12,25 до 12,75 ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-10 ppm Разъем N /F-Типа

$139. 00 $195.00

NJRC_NJR2837HN New Japan Radio PLL LNB (от 10,95 до 11,70ГГц) Малошумящий блок Int, Исх, Стабильность L,O,: +/-10 ppm Разъем N-Типа

$165.00

Новые поступления

Comtech X-Band, 7,90–8,40 ГГц, 450 Вт, наружные многодиапазонные TWTA

Цена по запросу

Обязательства

IK Tech Corporation обещает обеспечить честное и надежное обслуживание клиентов. Мы стремимся помогать клиентам, в том числе интеграторам, реселлеров и конечных пользователей с углубленным анализом и описанием продуктов, а также полной настройкой терминалов земных станций, включая но не ограничиваясь антеннами, BUC, LNB и модемами. Мы ценим ваш бизнес и всегда ищем смелые и интересные проекты.

Гарантия и ремонт

Наши ремонтные решения разработаны специально для каждого клиента и обеспечивают максимальную ценность. Осуществляем диагностику, ремонт и повторная сертификация продуктов VSAT, на которые не распространяется гарантия.

Реферальная программа

Мы работаем со многими поставщиками Интернета и услуг по всему миру и будем рады направить вас к одному из установщиков в вашем районе, который сможет быстро и точно предоставит вам оценку и помощь.

LinkedIn

選擇語言Bahasa Indonesia (Bahasa Indonesia)Bahasa Malaysia (Malay)Čeština (Czech)Dansk (Danish)Deutsch (German)English (English)Español (Spanish)繁體中文 (Chinese (Traditional))Français (French)한국어 (Korean)Italiano (Italian)简体中文 (Chinese (Simplified))Nederlands (Dutch)日本語 (Japanese)Norsk (Norwegian)Polski (Polish)Português (Portuguese)Română (Romanian)Русский (Russian)Svenska (Swedish)Tagalog (Tagalog)ภาษาไทย (Thai)Türkçe (Turkish)العربية (Arabic)

عفواً، لم نتمكن من العثور على الصفحة التي تبحث عنها. برجاء المحاولة مرة أخرى للصفحة السابقة أو الانتقال لـمركز المساعدة للمزيد من المعلومات

الإنتقال لموجزك الرئيسي

Omlouváme se, nemůžeme najít stránku, kterou hledáte. Zkuste se vrátit zpátky na předchozí stránku, nebo se podívejte do našeho Centra nápovědy pro více informací

Přejít do informačního kanálu

Vi kan desværre ikke finde den side, du leder efter.

Gå tilbage til den forrige side, eller besøg Hjælp for at få flere oplysninger Gå til dit feed

Die gewünschte Seite konnte leider nicht gefunden werden. Versuchen Sie, zur vorherigen Seite zurückzukehren, oder besuchen Sie unseren Hilfebereich, um mehr zu erfahren.

Zu Ihrem Feed

Uh oh, we can’t seem to find the page you’re looking for. Try going back to the previous page or see our Help Center for more information

Go to your feed

Vaya, parece que no podemos encontrar la página que buscas. Intenta volver a la página anterior o visita nuestro Centro de ayuda para más información.

Ir a tu feed

Nous ne trouvons pas la page que vous recherchez. Essayez de retourner à la page précédente ou consultez notre assistance clientèle pour plus d’informations

Ouvrez votre fil

Maaf, sepertinya kami tidak dapat menemukan halaman yang Anda cari.

Coba kembali ke halaman sebelumnya atau lihat Pusat Bantuan kami untuk informasi lebih lanjut Buka feed Anda

Non abbiamo trovato la pagina che stai cercando. Prova a tornare alla pagina precedente o visita il nostro Centro assistenza per saperne di più.

Vai al tuo feed

申し訳ありません。お探しのページが見つかりません。前のページに戻るか、ヘルプセンターで詳細をご確認ください

フィードに移動

원하시는 페이지를 찾을 수 없습니다. 이전 페이지로 돌아가거나 고객센터에서 자세히 알아보세요.

홈으로 가기

Harap maaf, kami tidak dapat menemui laman yang ingin anda cari. Cuba kembali ke laman sebelumnya atau lihat Pusat Bantuan kami untuk maklumat lanjut

Pergi ke suapan

De pagina waar u naar op zoek bent, kan niet worden gevonden. Probeer terug te gaan naar de vorige pagina of bezoek het Help Center voor meer informatie

Ga naar uw feed

Vi finner ikke siden du leter etter.

Gå tilbake til forrige side eller besøk vår brukerstøtte for mer informasjon Gå til din feed

Nie możemy znaleźć strony, której szukasz. Spróbuj wrócić do poprzedniej strony lub nasze Centrum pomocy, aby uzyskać więcej informacji

Przejdź do swojego kanału

A página que você está procurando não foi encontrada. Volte para a página anterior ou visite nossa Central de Ajuda para mais informações

Voltar para seu feed

Ne pare rău, nu găsim pagina pe care o căutaţi. Reveniţi la pagina anterioară sau consultaţi Centrul nostru de asistenţă pentru mai multe informaţii

Accesaţi fluxul dvs.

Не удаётся найти искомую вами страницу. Вернитесь на предыдущую страницу или посетите страницу нашего справочного центра для получения дополнительной информации.

Перейти к ленте

Sidan du letar efter hittades inte.

Gå tillbaka till föregående sida eller besök vårt Hjälpcenter för mer information Gå till ditt nyhetsflöde

ขออภัย ดูเหมือนเราไม่พบหน้าที่คุณกำลังมองหาอยู่ ลองกลับไปที่หน้าเพจก่อน หรือดู ศูนย์ความช่วยเหลือ ของเราสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

ไปที่ฟีดของคุณ

Naku, mukhang hindi namin mahanap ang pahina na hinahanap mo. Subukang bumalik sa nakaraang pahina o tingnan ang aming Help Center para sa higit pang impormasyon

Pumunta sa iyong feed

Aradığınız sayfa bulunamadı. Önceki sayfaya geri dönün veya daha fazla bilgi için Yardım Merkezimizi görüntüleyin

Haber akışınıza gidin

抱歉，无法找到页面。试试返回到前一页，或前往帮助中心了解更多信息

前往动态汇总

我們好像找不到該頁面。請回到上一頁或前往說明中心來進一步瞭解

前往首頁動態

Логарифмы

Логарифмы

Логарифмы

  1. Определение логарифма

              Определение  
    Функция log b x определяется как обратная функция y = b x  

    Напомним, что по определению, если f и g — обратные функции, то

            f(g(x)) = г (е (х)) = х

    Следовательно, у нас есть следующие два свойства:

    Свойства журнала 
    (из обратного определения)

    1. журнал б б х  =  х

    2. b logb(x) = x  


    Пример:      

    Решить 

            2 x = 128

    Решение  

    Берем основание бревна 2 с обеих сторон:

    журнал 2 2 x = журнал 2 128 

    следовательно

    х = логарифм 2 128 

    Обратите внимание, что свойство 1 позволяет нам отменить журнал и показатель степени

    Пример:  

            log 3 9 = 2 

    с 

            3 2 = 9

    Упражнения:  

    Найти

    1. журнал 10 1000

    2. журнал 4 64

    3. бревно 5 1/5

    4. журнал 3 ( )

    Упростить

    1. 10 log10(1/x)

    2. журнал 3 27 x-1

    3. журнал 4 (2 4x-2 )  


  2. Журналы и калькуляторы

    Цель:  

    Найти 

            журнал 3 17

    Примечание:  Калькулятор имеет пер.

    и лог.

           Определение

    1. лог х = лог 10 х

    2. ln x = логарифм e x

    Изменение базовой формулы

    log b a = lna/lnb = loga/logb

    Отсюда   

            log 3 17 = ln17/ln3 = 2,5789…

    Упражнение:  

    Найти 

            log 5 29

    и 

            журнал 6 18

  3.  Журналы и графики

    Ниже приведен график 

            y = log 2

    x 

    Его можно найти, отразив

    . у  =  2 x   

    через линию 

            y  = х

    Примечание. Домен обратной функции – это диапазон функции а диапазон обратного является областью определения функции. Следовательно,

    домен журнала x (0 , )

    и

    диапазон log x стоит р

    Упражнение

    Используйте правила сдвига для построения графика

    у = журнал 2 (x — 3) + 1 

    и 

            y  = -log 2 x  

  4. Применение

    pH жидкости показывает, насколько кислой или щелочной является жидкость. Химики определяют рН по формуле:

    pH = -log[H + ]

    где  [H + ] — концентрация ионов водорода.

    Пример

    Раствор соляной кислоты имеет

    [H + ] = 3,2 X 10 -4

    Найдите рН раствора.

    Решение


            PH = -log(3,2 X 10 -4 )  =  3,5

    Упражнение

    Предположим, что pH шампуня равен 7,3. Найдите концентрацию ионов водорода.

 

Назад к сайту College Algebra Part II (Math 103B)

Вернуться на страницу математического факультета LTCC

электронная почта Вопросы и Предложения

 

исчисление — Показать, что $\ln(a+b) =\ ln(a) + \ln(b)$, когда $a = \frac{b}{b-1}$

Задавать вопрос

спросил

Изменено 7 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Показать, что $\ln(a+b) = \ln(a) + \ln(b)$, когда $a = \frac{b}{b-1}$

Моя попытка решения была

$$ \ln(a+b) = \ln\left(a(1+\frac{b}{a})\right) $$

и установив $a = \frac{b}{b-1}$ получим

$$ \ln \left(\frac{b}{b-1}(1+(b-1))\right) = \ln \left(\frac{b}{b-1}+b \right) $$

Но как мне продолжить дальше?

Первоначальный вопрос в моем учебнике заключался в том, верно ли равенство $\ln(a+b) = \ln(a) + \ln(b)$.

Похожие записи

21.11.2024 0

Особенности питания кормящей мамы: что можно и нельзя есть при грудном вскармливании

19.11.2024 0

Новорожденный какает слизью: причины появления слизи в кале грудничка

19.11.2024 0

Гемангиома у новорожденных: причины, виды, лечение и профилактика

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *