Поверхностный эффект и эффект близости: Эффект близости | ALP SCS — Производство и поставка электростанций, Бензиновые и дизельные генераторы от 1 до 100 кВт. Мини ТЭЦ на базе двигателя Стирлинга.

Содержание

Эффект близости в проводниках печатной платы

В статье рассматриваются нежелательные явления – поверхностный эффект и эффект близости, которые разработчикам следует учитывать при проектировании печатных плат, а также предлагаются рекомендации по нейтрализации этих эффектов.

Введение

Поверхностный эффект и эффект близости являются проявлениями одного и того же принципа – линии магнитного потока не проникают в идеальный проводник. Разница между этими эффектами в том, что поверхностный эффект представляет собой реакцию на магнитные поля, которые генерируются током в проводнике (см. рис. 1), а эффект близости возникает при протекании тока по рядом расположенным проводникам или слоям. Оба эффекта начинают проявляться на одинаковой частоте.

Рис. 1. Сравнение поверхностного эффекта с эффектом близости

Эффект близости

У многослойных печатных плат этот эффект возникает на достаточно низких частотах около 30 МГц. Ниже этого значения напряженность магнитного поля слишком мала, чтобы влиять на протекание тока. На низких частотах обратный ток течет по тракту с наименьшим сопротивлением, заполняя всю площадь поперечного сечения проводника. При возврате к источнику через слои питания или заземления этот ток стремится занять всю медную плоскость. Однако по мере увеличения частоты сигнала напряженность магнитного поля вокруг проводника возрастает, вынуждая обратный ток протекать по цепям с наименьшей индуктивностью. В результате ток течет по узкому тракту непосредственно над или под проводником опорного слоя.

Как видно из рисунка 1, под влиянием магнитного поля ток протекает на небольшой глубине по периметру проводника (эта область показана красным цветом), что увеличивает его кажущееся сопротивление. Данное явление носит название поверхностного эффекта. Под влиянием магнитного поля ток неравномерно распределяется по поверхности двух близко находящихся проводников (см. рис. 1). Так происходит в результате эффекта близости.

В результате ток в основном сосредоточен на стороне проводника, обращенной к опорному слою, где наибольшая концентрация тока наблюдается на поверхности непосредственно под проводником.

Рис. 2. Плотность обратного тока в микрополосковой линии

На рисунке 2 показано, как распределена плотность обратного тока в микрополосковой линии. В асимметричной полосковой конфигурации (см. рис. 3) под действием эффекта близости ток распределяется неравномерно между центральной частью проводника и дальними опорными слоями.

Рис. 3. Распределение плотности тока в случае двойной асимметричной полосковой линии

Необходимо точно понимать, куда потечет обратный ток. Особенно важно иметь это представление в случае использования асимметричной полосковой конфигурации, в которой один или два сигнальных слоя находятся между двумя плоскостями.

В первую очередь, следует точно знать, не по какому слою потечет обратный ток, а как он распределится на каждом слое. Кроме того, при наличии разрывов импеданса в тракте обратного тока площадь токового контура увеличивается, возрастает индуктивность и задержка.

Разрыв импеданса возникает из-за сквозных переходных отверстий, через которые осуществляется связь между сигнальными проводниками и опорными слоями с разными потенциалами. Иначе говоря, обратному току приходится «перепрыгивать» через границу между слоями, чтобы замкнуть токовый контур, что увеличивает его индуктивность и ухудшает качество сигнала. При протекании обратного тока возникает режим резонанса в параллельно расположенных слоях, что приводит к сильным электромагнитным помехам из-за краевых эффектов.

Если опорные слои имеют одинаковый потенциал по постоянному току, их можно соединить методом сшивания, расположив рядом с сигнальным переходным отверстием массив переходных отверстий, обеспечивающих более короткий тракт для обратного тока. Если же у опорных слоев – разные потенциалы по постоянному току, между ними устанавливаются развязывающие конденсаторы (см.

рис. 4а). Однако в результате такого соединения может возникнуть шум по переменному току между источниками питания. Способ использования двух развязывающих конденсаторов, представленный на рисунке 4б, является намного лучшим решением, т. к. оно позволяет исключить передачу шума от одного источника питания другому. И хотя площадь токового контура в этом случае немного больше, между слоями обеспечивается дополнительная развязка, что уменьшает импеданс схемы разводки питания. Кроме того, некоторая часть обратного тока, замыкая контур, протекает через межслойную емкость.

Рис. 4.
а) пример неправильно установленного развязывающего конденсатора между двумя слоями питания;
б) удаление шума в тракте обратного тока между разделенными слоями питания

Уравнения для распределения тока

Распределение тока в трех базовых конфигурациях показано на рисунке 5. Распределение тока J(D) в случае сплошной микрополосковой линии определяется следующим образом:

где h – высота проводника над/под слоем, мил; d – расстояние по горизонтали от центра проводника, мил.

Рис. 5.
а) микрополосковая;
б) полосковая;
в) сдвоенная полосковая конфигурации

Однако в случае полосковой конфигурации необходимо учитывать соотношение между высотой слоя над проводником h2 и высотой слоя под проводником h3. В этом случае высота h для верхней части слоя определяется следующим образом:

Высота h для нижней части слоя определяется следующим соотношением:

Эти уравнения легко экстраполируются на случай использования двойной полосковой линии путем добавления высоты соответствующих диэлектрических слоев к каждой плоскости. В результате выражение (h2 + h3) из двух предыдущих уравнений заменяется выражением (h2 + h3 + h4). Соответствующее распределение тока мы уже видели на рисунке 3.

Говоря точнее, в полосковых конфигурациях проводник толщиной t полностью погружен в слой препрега, благодаря чему проводник расположен ближе к опорному слою, а его импеданс – меньше. Следовательно, приведенное выше уравнение немного усложняется из-за растекания эпоксидной основы препрега. Однако если известно, какой материал используется как основа, а какой – в качестве препрега, высоту препрега можно считать равной t.

Уравнение для распределения тока позволяет также оценить величину перекрестной помехи (ПП). Эта помеха в случае микрополосковой линии определяется следующим образом:

Перекрестная помеха выражается как отношение шумового напряжения к амплитуде управляющего сигнала. Постоянная k зависит от времени нарастания фронта и длины взаимодействующих участков проводников.

Выводы

При моделировании проводника, находящегося над сплошной плоскостью, видно, что максимальная плотность тока больше на той стороне опорной плоскости, которая обращена к проводнику. Тот же принцип действует в отношении параллельных участков двух установленных рядом проводников: максимальный ток сосредоточен на двух обращенных друг к другу поверхностях. Эффект близости является следствием общего правила, в соответствии с которым высокочастотный ток сосредотачивается вблизи своего обратного тракта.

На заметку

На низких частотах обратный ток выбирает тракт с наименьшим сопротивлением, заполняя всю площадь поперечного сечения проводника.
По мере увеличения частоты сигнала напряженность магнитного поля вокруг проводника возрастает, вынуждая обратный ток протекать по цепям с наименьшей индуктивностью.
Высокочастотный ток течет по тракту с малой площадью сечения непосредственно над или под проводником опорного слоя.
Под влиянием магнитного поля ток протекает на небольшой глубине по периметру проводника. Это явление носит название поверхностного эффекта.

При эффекте близости ток под влиянием магнитного поля неравномерно распределяется по поверхности двух близко находящихся проводников.
Необходимо точно знать путь, по которому потечет обратный ток.
При наличии разрывов импеданса в тракте обратного тока площадь токового контура увеличивается, возрастает индуктивность и задержка.
Если опорные слои имеют одинаковый потенциал по постоянному току, их можно соединить методом сшивания, расположив рядом с сигнальным переходным отверстием массив переходных отверстий, позволяющих уменьшить тракт для обратного тока.
Если у опорных слоев – разные потенциалы по постоянному току, между слоями устанавливаются развязывающие конденсаторы, чтобы обеспечить протекание обратного тока.
Установка двух развязывающих конденсаторов между слоями питания является намного лучшим решением, т. к. оно позволяет исключить передачу шума от одного источника питания другому.

Уравнение для расчета распределения тока позволяет определить направление, в котором течет обратный ток.
Уравнение для распределения тока позволяет также оценить величину перекрестной помехи.

Эффект близости

Содержание:

Эффект близости

Эффект близости. До сих пор рассматривалось прохождение переменного тока через изолированные проводники. Конечно, если рядом с проводником имеется другой проводник тока, поле которого исследуется, второй проводник будет влиять на изображение поля первого проводника.

В результате этого эффекта активное сопротивление отдельного провода в принципе увеличивается по сравнению с активным сопротивлением изолированного провода. Влияние соседнего проводника с током

на резистивный комплекс исследуемого проводника называется эффектом близости. Людмила Фирмаль

Рассмотрим эффект близости на примере двух спущенных шин, которые находятся близко друг от друга (Рисунок 476). Один автобус подключен напрямую, а другой — наоборот. •

Если расстояние между шинами 2d находится в том же порядке, что и толщина шины (2a), и намного меньше высоты / t, в некоторых приближениях магнитное поле в пространстве между шинами может быть в два раза больше магнитного поля. Будет показано.

Одна шина в непосредственной близости от шины. », например, 2b-0,4 см: 1,256-10-6, 10B, z ‘extern = 2,51 • 10, длина линии, составленная из двух шин предыдущей задачи 1

Найти комплекс сопротивления на м ~ 2 (Ом / м), 0,02 Zn0AH = 3,14. 10 -3+ / 28,4. 10 «3 Ом / м. В заключение отметим, что в Приложении B рассматривается вопрос о влиянии поверхности на цилиндрические проволоки.

Смотрите также:

Эффект близости — Энциклопедия по машиностроению XXL
Здесь а,Н, V[/,ф-полуэмпирические функции, учитывающие анизотропию турбулентности, влияние молекулярной вязкости при малых локальных числах Рейнольдса и эффекты близости стенки. [c.33]
Неравномерное распределение плотности тока и напряженности магнитного поля по сечению проводника носит название поверхностного эффекта. Формы проявления поверхностного эффекта в системе проводников (эффект близости) и в замкнутых контурах (кольцевой эффект) рассмотрены в 4-1 и 4-2, [c.14]

Эффект близости проявляется тем сильнее, чем меньше расстояние между проводниками н чем сильнее проявляется поверхностный эффект, т. е. чем больше отношение толщины проводника к глубине проникновения тока. [c.51]
Не следует смешивать перераспределение тока в проводнике при эффекте близости с электродинамическим взаимодействием проводников. Проводники с одинаково направленными токами притягиваются друг к другу, а со встречно направленными — отталкиваются. [c.51]
При вычислении активного и внутреннего реактивного х 1 сопротивлений индуктора следует учесть, что взаимно противоположное действие кольцевого эффекта и эффекта близости улучшает использование сечения индуктирующего провода. Поэтому, рассчитывая эти сопротивления по формулам (4-9), следует результат уменьшить в 1,5 раза [c.88]
Ток высокой частоты, подводимый к трубной заготовке индукционным или контактным методом, вследствие эффекта близости стягивается па стороны кромок, обращенные друг к д )угу, и быстро разогревает тонкий слой металла до плавления. Расплавленный металл выдавливается при осадке в сварочных валках вместе с окислами, образуя наружный и внутренний грат. Минимальное количество расплава определяется надежностью удаления загрязнений. Увеличение глубины прогретого слоя приводит к росту потребляемой мощности, возрастанию объема грата и снижению устойчивости тонких кромок при осадке в сварочной клети. Основными параметрами сварки являются длина кромок, увеличивающаяся с ростом их толщины и диаметра трубы и находящаяся в пределах 20—200 мм, угол схождения кромок, равный 1—6 , и величина осадки. Электрический режим характеризуется частотой тока и расходом энергии на единицу длины (м) и толщины трубы (.мм). [c.214]
Метод индукционного нагрева основан на использовании следующих законов и явлений 1) закон электромагнитной индукции 2) поверхностный эффект 3) эффект близости 4) изменение свойств стали в процессе нагрева. Последнее явление особенно существенно при поверхностной термообработке, на что впервые обратил внимание чл. кор. АН СССР проф. В. П. Вологдин, автор метода поверхностной индукционной закалки [7,8]. [c.6]
На рис. 1-8 приведена картина магнитного поля индуктора, внутрь которого помещен металлический цилиндр, Ток в индукторе вследствие кольцевого эффекта и эффекта близости сосредоточен [c.17]
Вследствие кольцевого эффекта и эффекта близости ток концентрируется в основном у стороны индуктирующего провода, обращенной к нагреваемой поверхности. [c.83]
Вследствие малого зазора между шинами и потому резкого проявления эффекта близости ток при достаточной толщине шин концентрируется на их поверхностях, обращенных друг к другу. Поэтому при вычислении активного и внутреннего реактивного сопротивлений шин пригодны формулы (5-27) — (5-31). [c.85]

Вследствие кольцевого эффекта и эффекта близости ток концентрируется на внутренней поверхности индуктирующего провода, поэтому длина первого участка шин считается также от нее. Это показано на рис. 5-10. [c.86]
Кольцевой эффект и эффект близости, действуя согласно, способствуют концентрации индуктированного тока в узкой зоне, ширина которой не очень сильно зависит от зазора и близка к ширине индуктора. Активное сопротивление нагреваемого объекта благодаря этому относительно велико. [c.102]
При отсутствии нагреваемого объекта можно считать, что почти весь ток сконцентрирован на внутренней поверхности индуктора в слое, толщина которого приблизительно равна глубине проникновения тока. Если поместить индуктор внутрь отверстия нагреваемой детали, то за счет эффекта близости ток в большей или меньшей степени будет проходить и по внешней поверхности индуктора. В его сечении установится некоторое результирующее распределение тока. При этом ток концентрируется на внешней поверхности тем сильнее, чем меньше зазор, так как с уменьшением зазора действие эффекта близости усиливается. [c.103]
Ток в индуктирующем проводе оттесняется к открытой стороне паза магнитопровода независимо от кольцевого эффекта и эффекта близости [23]. Это ясно из того, что благодаря высокой магнитной проницаемости магнитопровода магнитное поле с обратной стороны провода пренебрежимо мало по сравнению с магнитным полем на его наружной поверхности в пределе при р, = оо поле в магнито-проводе равно нулю, Поэтому при любой форме провода в такой системе наблюдается односторонний поверхностный эффект. [c.107]
Высокочастотный индукционный нагрев — Глубина проникновения тока 14—169 — Эффект близости 14—169 [c.275]
Здесь акр —коэфициенты, учитывающие влияние поверхностного эффекта и эффекта близости (принимается обычно кр = 1,1 и кр = 1,2) GJ , — веса металла первичной [c.283]
Большое влияние па форму нагреваемого слоя, кроме поверхностного эффекта, оказывает также и эффект близости. Последний проявляется в результате взаимодействия внешних магнитных полей индуктора и детали и [c. 169]
Другая особенность высокочастотного нагрева заключается в эффекте близости, возникающем в результате взаимодействия магнитных полей токов, протекающих в близко расположенных проводниках. В зависимости от направлений тока в зазоре между проводниками будет наблюдаться увеличение или уменьшение суммарной напряженности магнитного поля. Это также приводит к неравномерности распределения тока в проводниках. В случае противоположной направленности тока в заготовках (рис. 5.37, б) наибольшая плотность его будет в тех частях поверхности, которые обращены к другому проводнику. [c.264]
Эффект близости совместно с поверхностным эффектом способствует высокой интенсивности нагрева поверхностного слоя свариваемой детали. [c.264]
Высокочастотная сварка (индукционная, радиочастотная) — это способ сварки давлением, при котором кромки деталей нагреваются током высокой частоты до температуры оплавления. Плотность тока высокой частоты, протекающего по металлическому телу, максимальна на поверхности тела и резко уменьшается по мере удаления вглубь тела. Это явление называют поверхностным эффектом. Кроме того, токи высокой частоты, протекающие в двух параллельных проводниках в противоположных фазах, стремятся сблизиться. Это явление называют эффектом близости. [c.264]
Нагрев деталей при высокочастотной сварке производят с помощью индуктора, располагаемого у свариваемого стыка и генерирующего в свариваемых кромках индукционные токи, или с помощью двух скользящих по поверхности детали электродов. В обоих случаях эффект близости и поверхностный эффект позволяют обеспечить нагрев только в поверхностных слоях соединяемых кромок глубиной [c.264]
Электроннолучевая пушка 251 Эффект близости 264 [c.395]
Особенностью высокочастотного метода нагрева является выделение тепловой энергии в массе нагреваемого материала и возможность значительной концентрации электромагнитной энергии токов высокой частоты в поверхностных слоях нагреваемого металла вследствие поверхностного эффекта и эффекта близости. [c.49]

Кроме поверхностного эффекта, для целей высокочастотной сварки используется так называемый эффект близости. Сущность [c.50]
В настоящее время разработана технология и аппаратура для контактной высокочастотной сварки труб с использованием эффекта близости. Схема сварки представлена на рис. 37. [c.50]
Токоподводящие контакты, скользящие или вращающиеся, подводят ток высокой частоты к кромкам сформированной трубной заготовки. Вследствие поверхностного эффекта и эффекта близости ток сосредоточивается на поверхностях сходящихся кромок. Трубная заготовка с разогретыми до необходимой температуры кромками поступает в обжимные валки, где и происходит сварка. [c.50]
Используя эффект близости, можно подбором соответствуюш,ей формы индуктора концентрировать нагрев в зонах детали, подлежащих термообработке. Например, если индуктор представляет собой кольцо, охватывающее нагреваемую деталь, то в пей индуктируется ток, путь которого ]1меет также ][c.51]
При виесенин внутрь индуктора нагреваемого объекта концентрация тока усиливается за счет эффекта близости, поскольку пн- [c.53]
Рис. 1-3. Картина магнитного поля и распределения тока при эффекте близости а — одинаково направленные токи, 6 — нстречно направленные токи
Используя эффект близости, можно подбором соответствующей формы индуктора концентрировать нагрев в определенных частях поверхности обрабатываемой детали. Например, если индутстор представляет собой кольцо, охватывающее нагреваемую деталь, то в детали индуктируется тол, путь которого имеет также кольцевую форму. Ток концентрируется в полосе, по ширине мало отличающейся от ширины индуктора. 1 [c.14]
При сравнении собственных активных сопротивлений индукторов для нагрева внешних и внутренних поверхностей видно, что в последнем случае оно несколько меньше, так как вследствие проДивоположного действия кольцевого эффекта и эффекта близости сечение провода используется лучше. Однако это не компенсирует разобранных отрицательных следствий кольцевого эффекта. Для того чтобы такие индукторы имели достаточно высокий электрический к. п. д., необходимо применять зазоры не более 2—3 мм, а при диаметрах, меньших 50 мм, зазор должен составлять около 1 мм. [c.103]
Если токи в близлежащих проводниках направлены в одну сторону (например, в соседних витках катушек многовитковых индукторов), линии токов как бы расталкиваются, и максимальная плотность получается на наиболее удалённых друг от друга участках. На фиг. 20 схематически показано проявление эффекта близости при индукционном нагреве стального цилиндра в поле двухвиткового индуктора. В участках 3 цилиндра 1 возле токонесущих трубок индуктора 2 происходит выделение основной массы тепловой энергии, приводящее к неравномерному нагреву цилиндра. [c.169]
Тепловые процессы при индукционном нагреве. Интенсивность индукционного нагрева зависит не только от электрических данных (частоты тока, напряженности поля, эффекта близости и др.), но и от физико-химических свойств материалов. Скорость нагрева немагнитных материалов в значительной мере определяется их удельной электропроводностью о. При нагреве ферромагнитных материалов значительную роль играет их магнитная проницаемость [х. Если процесс нагрева носит особый характер и трансформация электрической энергии в тепловую происходит внутри самого изделия, то глубинный прогрев токами высокой частоты подчиняется обычным законам теплонроводности. Удельная электропроводность материала связана [c.158]
На рис. 5.38 представлена одна из схем высокочастотной сварки продольного стыка трубы. Токопроводящие контакты / подводят ток высокой частоты к кромкам сформированной из ленты трубной заготовки 2. Возникающий вследствие поверхностного эффекта и эффекта близости ток концентрируется на стыкуемых поверхностях кромок и нафевает их. В местах контакта стыкуемых кромок (точка А) температура достигает 1200. .. 1300 °С. Трубная заготовка непрерывно подается в валки 3, которые придают ей необходимую степень обжатия. Вследствие большой интенсивности нагрева (8. .. 150) 10 °С/с скорость сварки может достигать десятков и даже сотен метров в минуту, что значительно больше, чем при контактной, шовной или дуговой сварке. [c.264]
При одинаковой радиочастоте удельная мощность, поглощаемая сталью, приблизительно в восемь раз выше мощности, поглощаемой при тех же условиях медью, что обусловлено малой величиной магнитной проницаемости для немагнитных материалов (ц ). Поэтому немагнитные материалы нагреваются токами высокой частоты намного медленнее, чем ферромагнитные. В немагнитных металлах нагреваемый поверхностный слой расплывчатый и более toл тый, чем в магнитных. Скорость нагрева металлов в индукцион-йом поле зависит от характера электрического тока (частота, напряженность поля, эффект близости н др.), а для ферромагиит- [c.235]

Снижение потерь электрической энергии в ш и н о п р о в о-д а X можно получить за счет уменьшения активного сопротивления и частично индуктивного сопротивления, вызываемого эффектом близости шинолроводоз . Это достигается соответствующим расположением шин и конфигурацией шшнкп о пакета (2—4 полосы в пакете), применением спаренных фаз или бифилятсра и др. [c.50]

21. Поверхностный эффект или почему на высоких частотах используются полые проводники. | VShch
Значение сопротивления одного и того же проводника переменному току может быть больше значения сопротивления постоянному току. Постоянный ток распределяется по сечению проводника практически равномерно. Переменный ток сопровождается электромагнитными явлениями, которые приводят к вытеснению электрических зарядов с центра проводника к его поверхности. Плотность переменного тока в поверхностных слоях проводника всегда выше, чем во внутренних. Неравномерное распределение плотности тока вызывает неполное использование сечения проводника и приводит к увеличению его сопротивления. Это называется поверхностным эффектом, или скин-эффектом.
Сопротивление проводника переменному току называют активным сопротивлением, а сопротивление, которое оказал бы этот проводник постоянному току, омическим. Отношение активного сопротивления проводника Rа к его омическому сопротивлению Rо называется коэффициентом поверхностного эффекта kп (kп= Rа/ Rо).
Явление поверхностного эффекта сказывается тем сильнее, чем больше диаметр провода, его удельная проводимость, магнитная проницаемость и чем выше частота переменного тока. Явление скин-эффекта становится очень заметным на достаточно высоких частотах, когда из-за вытеснения токов высокой частоты к поверхности проводника работает очень тонкий слой поверхности, а внутри проводника ток отсутствует. При радиочастотах порядка сотен килогерц поверхностный эффект в медных проводах сказывается настолько сильно, что применять сплошные провода оказывается нецелесообразно. Это не даст никакого увеличения проводимости, вот почему в этом случае используются полые тонкостенные проводники (трубки). Благодаря явлению скин-эффекта высокочастотные токи оказываются менее опасными для человека, чем низкочастотные.
При стандартной частоте 50 Гц в медных проводах диаметром до 22 мм и алюминиевых диаметром меньше 30 мм, увеличением сопротивления вследствие поверхностного эффекта практически можно пренебречь. 2 из меди).
При передаче больших мощностей на значительные расстояние применяются линии постоянного тока, который не подвержен воздействию поверхностного эффекта.
Коэффициент — поверхностный эффект — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 4

Коэффициент — поверхностный эффект

Cтраница 4

Отношения b / h и t / D приняты в качестве параметров. Как видно из рисунков, по мере увеличения yf / R коэффициент поверхностного эффекта быстро увеличивается. Так как сопротивление R обратно пропорционально сечению s проводника, можно утверждать, что по мере увеличения сечения коэффициент поверхностного эффекта увеличивается. [46]

С увеличением удельного электрического сопротивления поверхностный эффект уменьшается. Так; как удельное сопротивление материала проводника увеличивается с повышением температуры, то коэффициент поверхностного эффекта с повышением температуры проводника будет уменьшаться. [47]

При переменном токе потери получаются большими, чем при постоянном токе. Это возрастание потерь происходит за счет поверхностного эффекта и эффекта близости и учитывается коэффициентом дополнительных потерь ku, равным сумме коэффициентов поверхностного эффекта / с и эффекта близости / сб. [48]

Как известно, переменный ток вытесняется к поверхности проводника, при этом потери мощности увеличиваются, что равносильно увеличению сопротивления. Отношение активною сопротивления Ru уединенного проводника при переменном токе к сопротивлению R при постоянном токе и той же температуре называют коэффициентом поверхностного эффекта КП R-i / R, Он зависит от формы и размеров поперечного сечения проводника, а также от частоты тока. [49]

При переменном токе потери получаются большими, чем при постоянном токе. Это возрастание потерь происходит за счет поверхностного эффекта и эффекта близости и учитывается коэффициентом дополнительных потерь / сд, равным сумме коэффициентов поверхностного эффекта / сп и эффекта близости / сб. [50]

Зависимость активного сопротивления алюминиевых труб диаметром от 50 до 150 мм от толщины стенки показана на рис. 3.3. По мере увеличения толщины стенки, начиная от очень малого значения, сечение трубы увеличивается, а сопротивление ее быстро уменьшается, пока не достигнет некоторого минимума. При дальнейшем увеличении толщины стенки сечение трубы продолжает увеличиваться, однако ее активное сопротивление не только не уменьшается, но даже несколько увеличивается вследствие быстрого увеличения коэффициента поверхностного эффекта. Критическая толщина стенки трубы, соответствующая минимуму активного сопротивления, зависит не от диаметра, а только от удельного сопротивления материала и частоты. Для алюминиевых труб круглого сечения при частоте 50 Гц критическая толщина стенки составляет около 20 мм, а для медных труб около 14 мм. [52]

На рис. 2 — 1 — 2 — 3 приведены диаграммы, для определения коэффициента поверхностного эффекта в проводниках прямоугольного, круглого и квадратного сечений. Отношение размеров b / h, t / D и t / h приняты в качестве параметров. Как видно из диаграмм, коэффициент поверхностного эффекта для проводников малого сечения близок к единице. По мере увеличения сечения он быстро увеличивается. [53]

Поверхностный эффект проявляется тем заметнее, чем больше диаметр проводника, частота проходящего тока и магнитная проницаемость материала. С увеличением же удельного электрического сопротивления поверхностный эффект уменьшается. Так как удельное сопротивление материала проводника увеличивается с повышением температуры, то коэффициент поверхностного эффекта с повышением температуры проводника будет уменьшаться. [54]

Отношения b / h и t / D приняты в качестве параметров. Как видно из рисунков, по мере увеличения yf / R коэффициент поверхностного эффекта быстро увеличивается. Так как сопротивление R обратно пропорционально сечению s проводника, можно утверждать, что по мере увеличения сечения коэффициент поверхностного эффекта увеличивается. [55]

Если токи в проводниках направлены одинаково ( рис. 14 — 5, а), наибольшая плотность тока будет в наиболее удаленных друг от друга частях сечений; при различных направлениях токов ( рис. 14 — 5, б) наибольшая плотность тока получается в наиболее близких друг к другу частях сечений проводников. Области наибольшей плотности тока отмечены на рис. 14 — 5 толстыми линиями. Если коэффициент поверхностного эффекта всегда больше единицы, то коэффициент эффекта близости может быть как больше, так и меньше единицы; иначе говоря, эффект близости может как увеличивать, так и уменьшать общую неравномерность распределения тока по сечению, вследствие чего активное сопротивление проводника увеличивается или уменьшается по сравнению с сопротивлением переменному току уединенного проводника. [56]

Области наибольшей плотности тока отмечены на рис. 10 — 5 жирными линиями. Вызываемое этим эффектом перераспределение тока по сечению проводов может увеличивать либо уменьшать потери энергии в них, что характеризуется коэффициентом эффекта близости кврб. Если коэффициент поверхностного эффекта всегда больше единицы, то коэффициент эффекта близости может быть как больше, так и меньше единицы; иначе говоря, эффект близости может как увеличивать, так и уменьшать общую неравномерность распределения тока по сечению, вследствие чего активное сопротивление проводника увеличивается или уменьшается по сравнению с сопротивлением переменному току уединенного проводника. [58]

Страницы: 1 2 3 4

4.9. Определение значений поверхностного эффекта и эффекта близости

2R

2R

−

τ

р

−

τ р

100

I

эквПК

I

θmax ПК =

=

0

1−e

T

1

−e

T ПВ%

.

(4.38)

k

k

T

S

охл

S

охл

T

При кратковременном режиме τ р <<τ р +τП ,

т.е. ПВ% << 1. Поэтому

эквивалентный ток в этом случае будет

−

τ р

IэквК = I0 1 − e

T

,

(4.39)

а максимально допустимая температура для кратковременного режима

2

2

−

τ р

IэквК

R

I0

R

− e

T

(4.40)

θmax ПК =

=

1

.

k

S

k

И

T

охл

T

охл

Д

I02R

Для длительного режима Iэкв = I0 и

θmax

=θy =

.

А

kT Sохл

Полученные

выше зависимости могут быть использованы для

б

элементарных токоведущих частей, таких как провода и шины круглого и

прямоугольного

сечений.

Для

олее сложных

комплектных

аппаратов

и

следует учитывать и теплоо мен между их частями.

Вопросы для самоконтроля и задания

1.

В

чём

отл ч е

перемежающегося

режима

от

повторно-

С

кратковременного?

2.

Что

называется

эквивалентным

током

режима

работы

электрического аппарата?

3. Напишите формулы эквивалентных токов для различных режимов работы электрического аппарата.

При протекании переменных токов по токоведущим частям электрического аппарата их электрическое сопротивление будет возрастать за счет поверхностного эффекта и эффекта близости. Поэтому удельное сопротивление материала этих частей требует поправки:

ρэкв = ρkПЭkбл,

(4.41)

где ρ − удельное электрическое сопротивление при постоянном токе, Ом·м; kПЭ − коэффициент поверхностного эффекта; kбл − коэффициент близости.

88

где f − частота тока, Гц; R100 − сопротивление проводника длиной 100 м,

Ом.

Коэффициент близости kбл для круглых проводников различных

соотношений l / d длины проводника l к диаметру его поперечного сечения d определяется по табл. 4.1 [7, с. 26 ].

Таблица 4.1

Коэффициент близости для проводников разных размеров

kх,

kбл

для различных значений l / d

Гн-1/2

1,03

1,27

1,68

2,0

6,5

100

1,15

1,06

1,03

1,02

1,005

200

1,46

1,38

1,13

1,08

1,010

300

1,70

1,55

1,16

1,09

1,020

400

1,93

—

1,18

1,10

1,030

500

2, 10

—

1,20

1,12

1,040

600

2,23

—

1,21

1,13

1,050

Из данной зависимости следует, что коэффициент близости kбл

увеличивается с ростом kх

и уменьшается при увеличении относительной

длины проводника l / d .

Вопросы для самоконтроля

1.

Возникает ли поверхостный эффектИв

электрических

цепях

постоянного тока?

2.

В чём причина возникновения поверхностного эффекта?

3.

Д

Как определить коэффициент поверхностного эффекта?

4. В чём причина возникновения эффекта близости?

5.

А

Как найти коэфф ц ент поверхностного эффекта?

б

4.10. Расчёт токоведущих частей в установившемся режиме

На тепловой расчёт проводника влияет и конструкция его крепления в

и

С

электрическом аппарате. В качестве примера рассмотрим расчёт различных креплений проводника с круглым сечением и прямоугольным сечением токопроводящей шины.

а)

Iном

б)

a

bIном

l

l

∆ d

Рис. 4.10. Варианты размещения токоведущих частей

90

В виду малого сечения соприкосновения крепления с проводником круглого сечения (рис. 4.10,а) отводом теплоты в область крепления можно пренебречь. А в варианте крепления шины отводом теплоты в основание, на котором крепится эта шина, можно пренебречь ввиду толстого слоя теплоизоляции ∆ (рис. 4.10,б).

Для установившегося режима при тепловом расчёте токоведущих частей можно использовать ранее полученную формулу (4.21)

I 2R

I 2

ρэкв

l

(1 +αt)

θу = t − tc =

S

=

,

kT Sохл

kT Sохл

где I −

ток в проводнике,

А;

k

T

− коэффициент

теплопередачи,

Вт

;

м2К

l

R = ρэкв

(1 +αt) − электрическое

сопротивление

проводника,

Ом;

ρэкв −

S

удельное сопротивление материала проводника,

определяемое по формуле

(4.41), Ом·м; l − длина проводника, м;

S

πd 2

=

− площадь

поперечного

4

сечения

проводника,

м2;

S

=πd l −

площадь

боковой

поверхности

охл

И2

диаметр поперечного

проводника (охлаждающей поверхности),

м

;

d −

сечения

проводника;

α −

температурный

коэффициент

электрического

сопротивления, 1/°С;

t − температураДпроводника,

°С;

tс −

температура

окружающей среды, °С.

и

В правой части последнейАформулы дробь сокращается на l и

получается в итоге

бI 2ρэкв(1 +αt)

С

(4.43)

t − tc =

или

kT ПS

I 2ρэкв(1 +αt)

ПS =

,

(4.44)

k (t − t

c

)

T

где П =πd − периметр поперечного сечения проводника.

Последнее выражение позволяет определять при заданном

номинальном токе Iном

и допустимой температуре tдоп

нужный диаметр

проволоки. Так как ПS =πd πd 2 / 4 = (π 2 / 4)d 3, из (4.44) следует

3

.

d =

4Iном2ρэкв(1 +αtдоп)

(4.45)

π 2k

(t

доп

− t

c

)

T

91

Системный подход к моделированию многоамперных шинопроводов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Закарюкин В.П., Крюков А.В., Соколов В.Ю.

УДК 621.311

СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ МНОГОАМПЕРНЫХ ШИНОПРОВОДОВ

Введение. При формировании магистральных цеховых сетей, а также для питания мощных сварочных машин и электропечей применяются шинопроводы большого сечения, рассчитанные на токи 4000 А и более. Такие шинопроводы применяются на напряжениях до 1000 В и расстояния между токоведу-щими частями могут быть весьма небольшими, что приводит к резкому проявлению эффекта близости, увеличивающему активное сопротивление шины. Учет этого эффекта традиционными методами [1] связан с весьма сложными расчетами, мало приемлемыми в практике проектирования и эксплуатации систем электроснабжения (СЭС). Кроме того, методика, изложенная в [1], основывается на рассмотрении шинопровода как локального объекта, вне его связей с питающей СЭС. В настоящей статье излагается новый, системный подход к моделированию многоамперных шинопрово-дов, отличающийся тем, что предлагаемые модели непосредственно используются в задачах расчета установившихся режимов СЭС.

Постановка задачи и методика моделирования. Наиболее распространенной формой сечения шин является прямоугольная. Даже при частоте 50 Гц вытеснение тока приводит к тому, что по краям шины плотность тока существенно превышает плотность тока в середине, что ведет к увеличению активного сопротивления переменному току. Это увеличение учитывается коэффициентом добавочных

потерь К Д -—.

Возможности расчетов режимов электрических систем с подобными шинопроводами ограничиваются ввиду существенного изменения параметров шин из-за поверхностного эффекта и эффекта близости, зависящих как от взаимного расположения токоведущих частей, так и от токораспределения в шинном наборе.

Разработанный в ИрГУПС обобщенный метод моделирования многопроводных систем в фазных координатах, основанный на использовании решетчатых схем [2], позволяет решить задачу расчета режимов СЭС с шинопро-водами без введения эмпирических коэффициентов . При этом корректно учитывается реальное токораспределение, а также поверхностный эффект и эффект близости. Кроме того, возможен учет металлических коробов (экранов), в которых могут размещаться шинные конструкции. Метод основан на замене массивных проводников в плоскопараллельном электромагнитном поле набором тонких проводов, суммарный ток в которых равен току массивного проводника. Если соединить провода набора друг с другом, то получится модель шинопровода, в которой распределение токов в тонких проводах определяется и поверхностным эффектом, и эффектом близости. Для облегчения рутинной, но весьма трудоемкой работы по заданию параметров отдельных проводов может быть предложен следующий алгоритм.

1. В качестве исходных данных для построения модели шинопровода с прямоугольными или круглыми шинами и с прямоугольным или круглым экраном используются ширина и высота шин и экрана (или диаметры и толщины стенок), количество шин, количество тонких проводов модели по ширине и высоте (или по окружности и по радиусу), координаты центров шин и экрана и омические сопротивления 1 км шин и экрана.

2. По значениям сопротивлений шин и экрана и заданному количеству проводов определяются омические сопротивления отдельных проводов модели.

3. По заданным геометрическим параметрам определяются координаты расположения проводов модели в предположении равномерного распределения проводов по периметру и толщине шины и экрана. На этом этапе может

быть целесообразна «ручная» корректировка параметров отдельных проводов.

4. По числу шин и количеству проводов шины и экрана определяются значения элементов массивов, задающих соединения отдельных проводов многопроводной системы друг с другом.

5. По методике, описанной в работе [2], определяются собственные и взаимные сопротивления проводов модели и обрабатываются соединения проводов друг с другом с получением решетчатой схемы замещения. На этом этапе модель шинопровода представляет собой полносвязную решетчатую схему с ИЬС-элементами и готова к объединению ее в расчетную схему СЭС по методике, изложенной в [2]. Количество ветвей итоговой решетчатой схемы сравнительно невелико и равно п(п-1)/2, где п — количество узлов модели шинопровода после объединения отдельных проводов друг с другом.

Описанная методика моделирования реализована при модификации комплекса программ Ра70поМ-Качество, разработанном в ИрГУПСе [3]. Количество проводов модели шинопровода в программном комплексе принципиально ограничено только возможностями компьютера (при расчетах токораспределе-ния в системе проводов размерность системы уравнений равна шестнадцатикратному квадрату числа проводов) и может доходить до нескольких сотен.

Результаты моделирования с учетом эффекта близости. При выборе омического сопротивления проводов равным сопротивле-

нию шины, умноженному на число проводов, активное сопротивление модели практически не зависит от выбора радиуса провода и от площади его сечения. Для правильного учета влияния скин-эффекта на активное сопротивление внешние провода модели следует располагать на границе шины, что целесообразно и для корректного определения взаимоиндуктивных связей с соседними шинами. От радиуса отдельного провода модели существенно зависит внутренняя индуктивность провода и, соответственно, индуктивное сопротивление шины. С этой точки зрения необходимо выбирать радиус провода и площадь его сечения для наиболее полного заполнения проводами внутреннего пространства шины. Результаты расчетов активного сопротивления и К д для одиночной и спаренных шин сечением 10 х 100 мм при разном количестве проводов модели проиллюстрированы графиками, приведенными на рис. 1 и 2.

Стабилизация активного сопротивления для двухшинной системы происходит при 24 проводах, что соответствует примерно трем проводам на толщину скин-слоя. В табл. 1 приведены результаты расчета и КД для

различного расположения шин, а также экспериментальные данные, приведенные в работе [4]. Хорошее совпадение экспериментальных и расчетных КД свидетельствует о приемлемости предлагаемой модели для решения практических задач расчета режимов СЭС с многоамперными шинопроводами.

В табл. 2 приведены результаты расчета активного и реактивного сопротивлений, а также КД для магистрального шинопровода

100 150

Количество проводов

Рис. 1. Зависимость расчетного активного сопротивления от числа проводов в модели

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ЙЩ®

1.11 1 1 1.09 1.59 1.0Г 1.56 1.05 1.04 1.03 1.02 1.01

— К- —

\

1 / —

\

у /

Ж / /

/

1

50

200

100 150

Количество проводов Рис. 2. Зависимость К Д от числа проводов в модели

2£0

Сопротивления магистральных шинопроводов с шинами

2

10 х 100 мм при 24 проводах на шину

Таблица 1

Расположение шин , Ом/км Расчетный КД КД по данным [4] Различие КД, %

Одиночная шина 0.0318 1.097 1.175 -6.6

Две шины с зазором 10 мм, разные направления тока 0.0299 1.033 1.04 -0.7

Две шины с зазором 10 мм, одинаковые направления тока 0.040 1.38 1.36 1.5

Таблица 2

Сопротивления трехфазного магистрального шинопровода ШМА-4000 с экраном

Фаза шинопровода Расчетное значение шины, Ом/км Справочное значение , Ом/км Расчетный КД Кдпо данным [4] Расчетное реактивное сопротивлен ие X0 шины, Ом/км Справочно е значение X 0, Ом/км

А 0.0114 — 1.14 — 0.0082 —

В 0.0190 — 1.90 — 0.0231 —

С 0.0100 — 1.00 — 0.0179 —

Среднее 0.0135 0.013 1.35 1.3 0.0164 0.015

ШМА-4000, также свидетельствующие об адекватности предлагаемой модели. Расчетная схема шинопровода, сформированная средствами комплекса Ра7опоМ-Качество, приведена на рис. 3, векторная диаграмма представлена на рис. 4.

Токораспределение в прямоугольных шинах. Предлагаемый метод позволяет получить картину распределения токов по сечению шины. На рис. 5 … 9 показаны токи в отдельных проводах многопроводных моделей.

Рис. 3. Расчетная схема

Рис. 4. Векторная диаграмма токов в отдельных шинах

Рис. 5. Распределение токов по сечению одиночной шины

Рис. 6. Распределение токов по сечению для однофазного шинопровода с разнонаправленными токами

Рис. 7. Распределение токов по сечению для однофазного шинопровода с однонаправленными токами

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ЙЩ®

Рис. 8. Распределение токов по сечению для однофазного шинопровода

Рис. 9. Распределение токов по сечению для однофазного шинопровода с разнонаправленными

токами и горизонтальным расположением шин

Выводы

1. Предложен новый метод моделирования многоамперных шинопроводов, выполне- 2. нных из прямоугольных или круглых шин. Метод отличается системным подходом к моделированию и позволяет корректно учитывать поверхностный эффект и эффект близости. На 3. основе моделирования возможно получение картины распределения токов по сечению шин.

2. Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными позволяет сделать вывод о приемлемости предлагаемого метода для решения практических задач расчета режимов в СЭС, включающих многоамперные шинопроводы.

БИБЛИОГРАФИЯ 4.

1. Чальян, К. М. Методы расчета электромагнитных параметров токопроводов [Текст] /

К. М. Чальян. — М. : Энергоатомиздат, 1990. — 280 с.

Закарюкин, В. П. Сложнонесимметричные режимы электрических систем [Текст] / В. П. Закарюкин, А. В. Крюков. — Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та. — 2005. — 273 с. Закарюкин, В. П. Ра70поМ-Качество. Расчеты показателей качества электроэнергии в системах электроснабжения в фазных координатах с учетом движения поездов [Текст] : свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ / За-карюкин В. П., Крюков А. В. ; Федерал. служба по интеллект. собственности, патентам и товарным знакам. — Зарегистр. 28.06.2007. — М., 2007. — № 2007612771 (РФ).

Мукосеев, Ю. Л. Электроснабжение промышленных предприятий [Текст] / Ю. Л. Мукосеев. — М. : Энергия, 1973. — 584 с.

Скин-эффект и эффект близости

Что такое скин-эффект?
Когда переменный ток течет по проводнику, он неравномерно распределяется по поперечному сечению проводника. Переменный ток имеет тенденцию концентрироваться у поверхности проводника. Это явление в переменных токах называется скин-эффектом . Из-за скин-эффекта ток концентрируется между внешней поверхностью проводника и уровнем, называемым скин-фактором (скин-толщина обозначена ẟ на следующем рисунке).Если частота переменного тока очень высока, ток ограничивается очень тонким слоем около поверхности проводника. Скин-эффект усиливается с увеличением частоты.
Из-за скин-эффекта эффективное сечение проводника, по которому протекает ток, уменьшается. Следовательно, эффективное сопротивление проводника немного увеличивается.
Причина скин-эффекта
Представьте себе сплошной проводник, разделенный на большое количество жил, каждая из которых несет небольшую часть тока.Индуктивность каждой жилы будет варьироваться в зависимости от ее положения. Пряди, расположенные в центре, будут окружены большим магнитным потоком и, следовательно, будут иметь большую индуктивность, чем пряди у поверхности. Более высокая индуктивность (и, следовательно, более высокое реактивное сопротивление) внутренних жил заставляет переменный ток течь через жилы с более низким реактивным сопротивлением, то есть вблизи поверхности.
Скин-эффект зависит от следующих факторов:

Материал проводника: более качественные проводники и ферромагнитные материалы имеют более высокий скин-эффект

Площадь поперечного сечения проводника: скин-эффект увеличивается с увеличением площади поперечного сечения

Частота: увеличивается с увеличением частоты

Форма жилы: скин-эффект для многожильных проводов меньше, чем для одножильных

Эффект близости
Когда два или более проводника переменного тока расположены близко друг к другу, тогда на распределение тока в каждом проводнике влияет изменяющееся магнитное поле друг друга.Изменяющееся магнитное поле, создаваемое переменным током, вызывает вихревые токи в соседних проводниках. Из-за этого, когда соседние проводники проводят ток в одном направлении, ток концентрируется на самой дальней стороне проводников. Когда соседние проводники переносят ток в противоположном направлении друг к другу, ток концентрируется в ближайших частях проводников. Этот эффект называется Эффект близости . Эффект близости также увеличивается с увеличением частоты.Эффективное сопротивление проводника увеличивается из-за эффекта близости. И скин-эффект, и эффект близости отсутствуют в случае постоянного тока, поскольку частота постоянного тока равна нулю.
[Также читайте: Эффект короны]
Влияние переменного тока на кожу и близость

Когда через проводник течет переменный ток, внешняя нить этого проводника переносит больший ток по сравнению с нитью, расположенной ближе к его центру. Это приводит к более высокому сопротивлению переменному току, чем постоянному току, и называется скин-эффектом.Эффект близости, переменный поток в проводнике вызывается током другого соседнего проводника.

Начинающий

Рекомендуемый уровень

Введение в эффекты кожи и близости
Скин-эффект: Когда через проводник течет постоянный ток, ток равномерно распределяется по сечению проводника. С другой стороны, когда через проводник протекает переменный ток, внешняя нить этого проводника несет больший ток по сравнению с нитью, расположенной ближе к его центру.Это приводит к более высокому сопротивлению переменному току, чем постоянному току, и известно как скин-эффект . Это связано с большей потокосцеплением на ампер к внутренним нитям по сравнению с внешней стороной проводника.

Этот эффект более значителен для проводов большего размера и для более высоких частот. Плотность тока будет экспоненциально уменьшаться по мере увеличения глубины проводника снаружи.

Рассмотрим переменный ток, протекающий в катушках с медными проводниками, соединенными в обмотке.

Тогда глубина проникновения определяется как

$$ δ_ {cu} = \ sqrt {\ frac {2} {µ_ {0} \; \ omega \; σ_ {cu}}} $$

Где,

$$ \ omega $$ = 2π ф; σ _у.е. = проводимость меди.

Если диаметр жилы меньше значения глубины проникновения, скин-эффект будет низким.

Эффект близости: Переменный поток в проводнике вызывается током другого соседнего проводника. Этот поток создает циркулирующий ток или вихревой ток в проводнике, что приводит к очевидному увеличению сопротивления провода и; таким образом, больше потерь мощности в обмотках. Это явление является эффектом близости .

Эффект близости можно уменьшить, выбрав сердечник и количество витков, которые оптимизируют количество слоев.. Увеличение количества слоев снижает потери после первого выбора. Слои намотки из фольги более эффективно снижают потери по сравнению с круглыми проводами на одном слое. Чередование обмоток также снижает эффект близости. Чередование уменьшает эффективное количество слоев в каждой секции намотки и; таким образом, результирующее поле нарастает более равномерно, чем постепенно увеличивается между ними.

Производимый ток в основном связан с насыщением сердечника, содержащего ток ШИМ, имеющий значительные гармонические искажения.Это также может привести к увеличению потерь в меди в основном в нескольких слоях и обмотках без чередования по сравнению с импедансом одиночных слоев, который в таких случаях практически пренебрежимо мал.

Поток утечки в обмотках
Ранее мы обсуждали, что поток рассеяния представлен индуктивностью рассеяния последовательно с источником питания для модели трансформатора. Линии потока утечки следует трехмерной траектории, как показано ниже.

Рисунок 1.Поток утечки 3D для концентрической обмотки

В зависимости от конфигурации его обмотки, мы можем определить его стоимость, исходя из определенных предположений.

Считайте, что магнитный путь линейный. Тогда конфигурация потока рассеяния для концентрической обмотки будет такой, как показано ниже. Напряженность магнитного поля будет изменяться в зависимости от расстояния от плеча трансформатора.

Рисунок 2. Концентрическая обмотка трансформатора

Предполагается, что поток каждой обмотки заполняет их собственный объем половиной пространства между этими двумя обмотками.

Из рисунка и основных уравнений для поля H,

$$ H_ {xm} L_ {c} = N_ {2} I_ {2} \ frac {x} {a_ {2}} $$

Теперь для расстояния a ₂ 2 + δ

$$ H_ {xm} = \ frac {(N_ {2} I_ {2})} {L_ {C}} \; \ frac {x} {a_ {2}} ≈ \ frac {(N_ {2} I_ {2})} {L_ {C}} ≈- \ frac {(N_ {1} I_ {1})} {L_ {C}} $$ (Из-за баланса ампер-витков)

Магнитная энергия, запасаемая вторичной обмоткой, задается

$$ E_ {2} = R_ {cf} \, W_ {2} = R_ {cf} \, \ frac {1} {2} L_ {2l} \, {i_ {2}} ^ {2} $ $

R _cf — коэффициент Роговского, который используется для корректировки влияния траектории магнитного поля, которое предполагается линейным.{2} \, π \, D_ {1avg} \, a_ {r1})} {L_ {C}} $$

Где, $$ D_ {1avg} = D + (a_ {2} + d) +3 \ frac {a_ {1}} {2} $$, что является местом высоковольтной обмотки вдали от сердечника по сравнению с Обмотка НН №2.

Аналогичный анализ может быть проведен для определения индуктивности рассеяния для альтернативной обмотки в другой камере трансформатора или двухконцентрической обмотки. Но в настоящее время 3D-анализ методом конечных элементов выполняется для более точного расчета индуктивности рассеяния.

Обмотки и слои фольги Обмотки из фольги
используются для уменьшения эффективных потерь в меди. Они представляют собой вертикальное сечение токопроводящих пластин, симметрично расположенных с обеих сторон трансформатора. Эти обмотки имеют низкие потери на вихревые токи для магнитного поля, параллельного фольге. Они изолированы от проводов лаком или изоляционными листами. Коэффициент заполнения фольгированной обмотки зависит от толщины изоляции. Основная трудность при изготовлении обмотки из фольги — это трудозатраты на размещение обмотки из фольги на катушках трансформатора.

Коэффициент заполнения — это соотношение площади поперечного сечения проводника и площади окна жилы. Площадь поперечного сечения проводника определяется произведением количества витков и площади поперечного сечения проводника.

Фольгированная обмотка особенно популярна для небольших трансформаторов из-за своей простоты. Анализ методом конечных элементов можно использовать для анализа распределения потерь на вихревые токи в обмотке из фольги.

Потери мощности в обмотке трансформатора
Количество обмоток на первичной и вторичной сторонах трансформатора определяется в зависимости от напряжения на виток.Затем мы должны выбрать правильную плотность тока первичной и вторичной обмоток, чтобы определить требуемую площадь для обмоток. Плотность тока зависит от местного нагрева и эффективности. Важно выбрать правильное значение плотности тока для конструкции обмоток, поскольку от этого выбора зависит нагрузка, обеспечивающая максимальный КПД и потери в меди. Для малогабаритных и крупногабаритных трансформаторов он отличается.

Площадь проводника = Ток в этой обмотке / Плотность тока для этой обмотки.

$$ a_ {p} = \ frac {I_ {p}} {δ_ {p}} $$

$$ a_ {s} = \ frac {I_ {s}} {δ_ {s}} $$

Пусть удельные потери в меди на килограмм для медного проводника равны ρ _c.

Объем жилы в первичной обмотке = В _P

Объем жилы во вторичной обмотке = V _S

Общий объем проводников ≈ V _P + V _S = V _t ≈ постоянный

Потери меди в первичной обмотке = ρ _c δ _p ² V _P и потери меди во вторичной обмотке = ρ _c δ _s ² V _S

Следовательно, общие потери меди

P _tc = ρ _c δ _P ² V _P + ρ _c δ _S ² (V _t — V _P)

Дифференцируем его с V _P и приравняем к нулю, чтобы получить условие минимальных потерь.Мы можем получить одинаковое значение плотности тока для обоих проводников. Однако плотность тока для внешней обмотки несколько больше, чем для ее внутренней обмотки из-за лучшего охлаждения.

Чередование обмоток
Эта схема чередования применима к трансформатору, но не к индукторам. Если конструкция обмотки трансформатора изменена таким образом, что один слой обмотки лежит внутри другого слоя с использованием того же провода. Например, четырехслойная обмотка с рисунком (P1, P2, S1, S2) изменилась на (P1, S1, P2, S2) или (S1, P1, P2, S2) или (P1, S1, S2, P2).

Чередование может снизить омические потери и потери на вихревые токи в два раза. Кроме того, пропускная способность обмотки может быть увеличена в $$ \ sqrt {2} $$ раз.

Скин-эффект и эффект близости

Как скин-эффект, так и эффект близости увеличивают потери в любом проводнике с изменяющимся во времени током.

Эффект кожи:

Когда через проводник проходит постоянный ток, распределение тока по поперечному сечению проводника равномерное.Это происходит только с постоянным током (DC). Когда переменный ток (AC) протекает через проводник, распределение тока по поперечному сечению проводника неоднородно. В этом состоянии плотность тока выше на поверхности проводника по сравнению с плотностью тока в его центре. По мере увеличения частоты этот эффект становится более выраженным. Этот эффект называется «скин-эффектом» .

Если мы сравним потери мощности в проводнике с заданным среднеквадратичным значением переменного тока с тем же значением постоянного тока, потери мощности будут высокими в случае переменного тока.Это происходит из-за того, что эффективное сопротивление проводника больше для переменного тока, чем для постоянного тока.

Подобно скин-эффекту, еще один эффект, вызывающий неравномерное распределение тока в проводнике. Этот эффект известен как «эффект близости » .

Эффект близости:

Когда высокое переменное напряжение проходит от проводника, распределение тока в проводнике неоднородно. Этот эффект известен как эффект близости.

Давайте возьмем пример, в системе передачи два или более проводов, расположенных рядом друг с другом.В этом состоянии их электромагнитные поля взаимодействуют друг с другом. Из-за этого взаимодействия плотность тока не одинакова по всей площади поперечного сечения. Плотность тока минимум на обоих дальних концах проводника. Таким образом, в этой области будет протекать большее количество тока. (это происходит, когда направление тока одинаково в обоих проводниках.)

Теперь рассмотрим два проводника, размещенные, как показано на рисунке ниже. Как показано на рисунке, каждый проводник разделен на участки равной площади сечения.Здесь мы разделим оба проводника на три секции. Эти три секции образуют три параллельные петли: AA ’, BB’ и CC ’. Поток связи в петле AA ’наименьший и увеличивается для дальнейших петель BB’ и CC ’. Плотность тока в проводнике самая высокая во внутреннем контуре AA ’и самая низкая — во внешнем контуре CC’. Если расстояние между двумя проводниками меньше, в этом состоянии эффект близости становится серьезным. В случае воздушной линии электропередачи расстояние между двумя проводниками больше.Итак, здесь можно пренебречь эффектом близости. Но в случае с подземной ЛЭП расстояние между двумя проводниками меньше. Таким образом, в случае подземной линии электропередачи эффект близости очень велик.

Как скин-эффект, так и эффекты близости зависят от размера проводника, частоты, расстояния между проводниками и проницаемости материала проводника.

всего просмотров 1095, сегодня просмотров 4

Скин-эффект и эффект близости

Скин-эффект и эффект близости:

Распределение тока по поперечному сечению проводника равномерно только тогда, когда по нему проходит постоянный ток.Напротив, когда переменный ток протекает через проводник, ток неравномерно распределяется по поперечному сечению таким образом, что плотность тока выше на поверхности проводника по сравнению с плотностью тока в его центре. Этот эффект становится более выраженным с увеличением частоты. Это явление называется скин-эффектом .

Это вызывает большие потери мощности для данного среднеквадратичного значения переменного тока, чем потери при том же значении постоянного тока, протекающего через проводник. Следовательно, эффективное сопротивление проводника больше для переменного тока, чем для постоянного тока.Качественное объяснение явления таково.

Представьте себе сплошной круглый проводник (круглая форма рассматривается только для удобства), состоящий из кольцевых нитей равной площади поперечного сечения. Поток, связывающий волокна, постепенно уменьшается по мере того, как мы движемся к внешним волокнам по той простой причине, что поток внутри волокна не связывает его. Следовательно, индуктивное реактивное сопротивление воображаемых нитей уменьшается наружу, в результате чего внешние нити проводят больше переменного тока, чем внутренние нити (нити параллельны).С увеличением частоты неравномерность индуктивного сопротивления нитей становится более выраженной, как и неравномерность распределения тока. Для крупных одножильных проводников скин-эффект весьма значителен даже на частоте 50 Гц. Аналитическое исследование скин-эффекта требует использования функций Бесселя и выходит за рамки этой книги.

Помимо скин-эффекта, неравномерность распределения тока также вызвана эффектом близости . Рассмотрим двухпроводную линию, показанную на рис.2.18. Каждый линейный провод можно разделить на секции равной площади поперечного сечения (скажем, три секции). Пары aa ’, bb’ и cc ’могут образовывать три параллельные петли. Петля связи потока aa ’(и, следовательно, ее индуктивность) наименьшая, и она несколько увеличивается для петель bb’ и cc ’. Таким образом, плотность переменного тока, протекающего через проводники, является самой высокой на внутренних краях (aa ’) проводников и наименьшей на внешних краях (cc’). Этот тип неравномерного распределения переменного тока становится более выраженным по мере уменьшения расстояния между проводниками.Как и скин-эффект, неравномерность распределения тока, вызванная эффектом близости, также увеличивает эффективное сопротивление проводника. При нормальном шаге воздушных линий этот эффект всегда незначителен. Однако для подземных кабелей, в которых жилы расположены близко друг к другу, эффект близости вызывает заметное увеличение эффективного сопротивления проводников.

Как скин-эффект, так и эффект близости зависят от размера проводника, частоты, расстояния между проводниками и проницаемости материала проводника.

(PDF) Скин-эффект и эффект близости в реальной высоковольтной двойной трехфазной системе

Рис. 7. Распределение вектора плотности магнитного потока в одной трехфазной системе при

50 Гц.

Распределение вектора плотности магнитного потока соответствует ожидаемому. В

в середине поперечного сечения каждого проводника напряженность вектора плотности магнитного потока

пренебрежимо мала и увеличивается к

поверхностям проводников. Как можно заметить, этот рост составляет

полностью линейно.Вне проводника магнитное поле
,
уменьшается как 1 / x, вплоть до электрического экрана. Наведенные токи
,
внутри электрического экрана вызывают внезапное падение вектора плотности магнитного потока

, и оно имеет очень малые значения вне кабелей.

Асимметрия в середине системы создается

влиянием третьего кабеля и эффектом близости.

Те же эффекты, теперь более подчеркнутые, можно наблюдать

на диаграммах на рис.8, на которых представлено векторное распределение плотности магнитного потока

на частоте 450 Гц.

Даже на более высоких частотах эффект близости между

двумя трехфазными системами незначителен, поэтому можно наблюдать только одну трехфазную систему

. Магнитного поля между двумя трехфазными системами

практически не существует.

Скин-эффект внутри каждой из токопроводящих частей кабеля

, очевидно, является значительным, из-за чего увеличение магнитуды вектора плотности магнитного потока

внутри проводника не является линейным.

Магнитное поле вне системы незначительно из-за

индуцированных токов в электрических экранах.

Как можно заметить на рис. 8, большая часть поперечного сечения проводника
,
не имеет магнитного поля, а симметрия
,
показывает, что скин-эффект преобладает над эффектом близости.

Рисунок 8. — Распределение вектора плотности магнитного потока в одной трехфазной системе при

450 Гц.

IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исходя из идеализированной проблемы, показанной в [3], эта статья

является успешной попыткой решить конкретную реальную проблему

прикладного силового электромагнетизма.Двойная трехфазная система

построена, как показано на рис. 1. Задача была рассчитана

с использованием пакета компьютерной программы

COMSOL MULTIPHISYCS 3.5a. Для всего расчета было достаточно модуля AC / DC вместе

с библиотекой материалов.

Комплексный вектор магнитного потенциала, как решение соответствующего уравнения в частных производных

, определяет как распределение тока
,
, так и распределение вектора плотности магнитного потока.

Магнитное поле существует внутри и снаружи каждого кабеля, а

— снаружи всей системы двойного трехфазного кабеля питания. Максимальные значения

магнитуды вектора плотности магнитного потока

всегда находятся на поверхности проводников кабеля, и эти значения

уменьшаются более или менее быстро с увеличением расстояния

от трехфазной кабельной системы. Наведенные токи в электрических экранах

дополнительно уменьшают магнитное поле.

В этом случае расстояние между двумя трехфазными системами
,
достаточно велико, поэтому влиянием между двумя трехфазными кабелями

можно пренебречь.

В каждой трехфазной системе нельзя пренебрегать эффектом близости

, но преобладает скин-эффект. Как и ожидалось, оба эффекта

больше акцентируются на высоких частотах.

ПОДТВЕРЖДЕНИЕ

Настоящая статья является частью проекта № TR 32055 с

Министерством науки и технического развития Сербии

при финансовой поддержке проекта ELISE и

DAAD для аспиранта Каролины Касаш-Лажетич. .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Б. Лалевич, «Силовые кабели и их влияние на другие установки рядом с

», докторская диссертация, Школа электротехники, Белград, 1979.

(на сербском языке)

[2 ] Сяо-Банг Сю, Гуанхао Лю, «Анализ методом конечных элементов электромагнитного поля

, создаваемого источниками СНЧ, заключенными в нелинейную ферромагнитную трубу

», Труды 5-го Международного симпозиума по антеннам

, распространению и теории электромагнитных волн ( ISAPE 2000), Пекин, Китай, стр.

215–218, август 2000 г.

[3] М. Прша, Н. Мучалица, К. Касаш-Лажетич, «Определение электромагнитного поля

в трехфазной системе с тремя одножильными кабелями.

силовые электрические кабели. 110кВ », Материалы конференции IEEE region 8

Еврокон 2009, Санкт-Петербург, Россия, т. 4, pp. 2040–

2045, май 2009 г.

[4] «Кабели высокого напряжения XHE-49 (-A)», получено 5 ноября 2010 г., из.

http: //www.fks.co.rs/fkse/maticna/energet/upet/xhe49_a110.htm

[5] Б. Попович, Электромагнетизм, 2-е изд. Белград: Gradjevinska knjiga,

1986, стр. 35–37 и стр. 269 (на сербском языке).

[6] Документация COMSOL MULTIPHYSICS 3.5a, 2009.

[7] М. Прша, «Определение функционалов КЭ в обобщенных координатах»,

Международная конференция по вычислениям в электромагнетизме, Лондон,

UK, стр. 171 -173, ноябрь 1991.

[8] O.А. Мохаммед, Нью-Йорк Абед, С. Лю, «Совместное физическое моделирование силовых кабелей

, питающих нелинейные нагрузки, с использованием метода конечных элементов»,

IEEE Proceedings of SoutheastCon 2005, Pt. Landerdale, Florida USA,

pp. 55–59, апрель 2005 г.

Вихревые токи — кожа и эффекты близости

История
Франсуа Араго (1786-1853) наблюдал намагничивание вращающихся проводников.
Майкл Фарадей (1791-1867) объяснил это своим знаменитым законом магнитной индукции, создающим циркулирующий электрический ток во вращающемся теле.[2]

Генрих Ленц (1804-1865) сформулировал свой закон, согласно которому индуцированный переменный ток будет течь в направлении, создающем магнитное поле, противоположное полю источника, что является требованием сохранения энергии.

Леон Фуко (1819-1868) обнаружил, что вихревые токи выделяют тепло, когда постоянный магнит помещается на край вращающегося металлического диска.

Дэвид Э. Хьюз (1831-1900), как полагают, впервые применил принцип вихревых токов для сортировки металлов в 1879 году.

Закон Фарадея
Закон Фарадея и закон Ленца фундаментальны для понимания магнитных явлений. Знак минус установлен законом Фарадея, чтобы показать закон Ленца.

где Ø — магнитный поток по Веберсу. Единица плотности потока — Теслас = Веберы на квадратный метр. В этой статье B представляет собой плотность потока.
Вихревые токи и скин-эффект
Вихревой ток возникает в результате изменения магнитных полей внутри проводника.Скин-эффект возникает из-за циркулирующих вихревых токов, возникающих из-за изменяющегося поля B, прекращение прохождения тока в центре проводника и усиление его в коже.
Это уменьшает эффективную площадь поперечного сечения, увеличивая сопротивление провода и потери. Используя правило правой руки (большой палец в направлении тока и пальцы будут следовать за магнитным полем) упрощенные рисунки 1A и 1B иллюстрируют направления поля и тока.По сути металл проводника работает как закороченный вторичный трансформатор внутри себя.

Рисунок 1A

Рисунок 1B

На рисунке 1A скин-эффекта показан ток i, исходящий из страницы. По правилу правой руки он индуцирует магнитное поле Б.Четыре маленьких кружка представляют собой вихревые токи, циркулирующие в проводнике. По закону Ленца они вызывают противоположные поля обозначены маленькими изогнутыми стрелками. На внешнем крае проводника вихревые токи стремятся к усилить основное течение. Вихревые токи, протекающие по странице, противостоят току. Таким образом, ток в проводнике имеет тенденцию концентрироваться к внешнему краю поперечного сечения проводника. Строгий анализ показывает, что текущие плотность уменьшается экспоненциально по мере приближения к внешнему краю.Глубина скин-слоя определяется как точка 1 / e вдоль радиус поперечного сечения проводника. Для расчета сопротивления переменному току этот выбор для кожи глубина также означает, что площадь поперечного сечения кольцевого кольца, имеющая толщину скин-слоя, может рассматриваться как несущая все равномерно распределены. Эффективное поперечное сечение становится кольцевым кольцом, образованным r и (r — S _d) для S _d d.

Для меди,

Таким образом,

Когда частота приближается к нулю, глубина скин-слоя приближается к бесконечности, так как это необходимо для того, чтобы постоянный ток равномерно распределялся в однородном проводнике.
Отношение сопротивления переменного тока к постоянному току — полезное понятие.

Рассмотрение и анализ приложений с этим соотношением показывают, что большие провода для высоких частот бесполезны. Возможно, будет лучше параллелить провода меньшего диаметра. Литц-проволока может использоваться для минимизации эффекта кожи и близости; однако этот провод трудно использовать и заканчивать.

Следует также отметить, что привод прямоугольной формы имеет более высокие гармоники, что приводит к еще большим потерям.В таблице 7.7 из [1] приведены оценки R _ac / R _dc для 25, 50, 100 и 200 кГц для прямоугольных форм волны с одинаковыми сечениями проводов от № 12 до № 34. Эта таблица воспроизводится в таблице 1 ниже.

Таблица 1

Эффект близости
Для трансформаторов эффект близости может быть более вредным, чем скин-эффект.Следующий рисунок представляет накладные обмотки трансформатора.
На рисунке 2 изогнутая стрелка B ₁ представляет магнитный поток, вызванный i ₁. Верхняя пара коротких стрелок, используя правую Правило руки, представляет вихревые токи, противоположные B ₁. Плоскости изогнутых стрелок перпендикулярны плоскости страница. Закон Ленца требует, чтобы вторичный ток i ₂ протекал в направлении, заставляющем поток B ₂ противодействовать B ₁.В нижние короткие стрелки представляют циркулирующие вихревые токи, поток которых направлен против B ₂. Вихревые токи увеличиваются i ₁ и i ₂ на торцевать кромки накладываемых проводников и противопоставлять на внешних кромках. Таким образом, эффективное сечение проводов уменьшаются, потому что ток концентрируется на соседних краях. Уменьшение эффективного поперечного сечения вызывает дополнительные потери для данной передачи мощности.

Рисунок 2

Кривые Доуэлла [3] объединяют эффекты скин-эффекта и эффекта близости, что дает приближение к R _ac / R _dc соотношение. Глубину скин-слоя можно найти с помощью формулы S _d или Таблицы 1. Это в сочетании с кривыми Доуэлла, воспроизведенными в Прессман [1] Таблица 7.9 или на рисунке 3, обеспечьте желаемое сопротивление переменного и постоянного тока в обмотках трансформатора.

Рисунок 3

На рисунке 3 показано соотношение FR = R _ac / R _dc к следующему количеству. Эта цифра взята из Texas Instruments. slup125 [6], Magnetics Design 3. Следующее выражение вычисляет вход для горизонтальной оси.
Где числитель — эффективная толщина слоя, 0.886 — эффективная высота круглой проволоки для диаметра d, а S _d — глубина кожи.

Вышеупомянутый материал, взятый из Pressman [1] [4], достаточно прост для однослойных обмоток. Для большего слоями сюжет утолщается. Цифры на кривых представляют количество слоев на «порцию». Умные способы чередования первичная и вторичная обмотки могут снизить сопротивление переменного тока более чем наполовину по сравнению с полной первичной и полная вторичная намотка друг на друга. Комбинация эффектов кожи и близости может увеличить AC сопротивление от более чем 10 раз до 100 раз превышает сопротивление постоянному току. Повышается сопротивление переменному току экспоненциально по мере увеличения количества слоев. Кривые дюбелей используют параметр p (номера кривых) для «часть.» Это показано на рисунке 4. Доля относится к области перехода от нуля к максимуму, низкому уровню. частота, магнитодвижущая сила (ммс). В верхней части следующего рисунка показаны два слоя на порцию. Это бы быть p = 2 на кривых Доуэлла. Для нижней чередующейся обмотки p = 1. Переменная p относится к цифрам на кривые и представляют количество слоев на порцию.

Например, если и p = 2, кривая Дауэлла дает отношение сопротивления переменного тока к постоянному току, равное приблизительно 9: 1. При p = 1 соотношение уменьшается до 3, , 3: 1 улучшение .

Существуют магнитные прикладные программы, в которых используются инструменты анализа методом конечных элементов (FEA) для получения более точных данных. анализ сложной геометрии. [5]

Рисунок 4

Эффект близости не применяется к обратноходовым трансформаторам, поскольку первичный и вторичный токи не одновременны. В некоторых случаях может быть лучше использовать более тонкую проволоку и меньшее количество слоев, даже если это увеличивает сопротивление постоянному току.Это все, что можно сделать, чтобы помочь обратноходовому трансформатору. Рекомендуется внимательно прочитать раздел 7.5.6 Pressman [1] [4]. Двухсекционные бобины могут уменьшить эффект близости за счет более низкого коэффициента сцепления.
Список литературы

А. И. Прессман, Проектирование импульсных источников питания, McGraw-Hill, 1998, 2-е издание.

Условия поиска в Википедии: Вихревой ток, Скин-эффект, Эффект близости (электромагнетизм), Проницаемость (электромагнетизм), Удельное электрическое сопротивление и проводимость.

П. Доуэлл, «Эффекты вихревых токов в обмотках трансформатора», Proceedings IEE (UK), 113 (8): 1387-1394, 1966.

А. Прессман, Кейт Биллингс, Тейлор Мори, Проектирование импульсных источников питания, McGraw-Hill, 2009 г., 3-е издание.

Envelope Power, Ансония, Коннектикут

Texas Instruments, Magnetic Design 3, slup125.

Скин-эффект

Ом найдено, что сопротивление на единицу длины, R ’, проводов составляет: \ [R {‘_ {{\ rm {DC}}}} = \ frac {\ rho} {A} \] Где rho — удельное сопротивление материала, а A — площадь поперечного сечения.2}}} \]

Ом пришел к такому результату в начале 19 века и на основе это по экспериментальным наблюдениям. В середине 19 века Джеймс Максвелл объединил множество различных уравнений, связанных с электрическими и магнитными силами вместе, и нашел термин, который ранее игнорировался, который он называется током смещения.В конце XIX века Гораций Лэмб использовал эти уравнения, чтобы показать, как переменный ток движется в проводнике. Он нашел ток предпочитает течь у поверхности. Вскоре после этого Оливер Хевисайд показал, как применить результаты Максвелла и Лэмба к обычным проводникам. Сегодня мы приближаем результаты, говоря, что переменный ток будет течь равномерно. только в пределах толщины дельты от поверхности проводника.Дельта называется глубиной кожи.

Для очень высоких частот и проводов произвольной формы сопротивление на единицу длины можно записать как \ [R {‘_ {{\ rm {AC}}}} \ cong \ frac {\ rho} {{P \ delta}} \] где P — периметр, rho — используемое удельное сопротивление, Ом, а дельта — глубина скин-слоя.Используя обычное приближение глубины скин-слоя, это можно переписать как \ [R {‘_ {{\ rm {AC}}}} \ cong \ frac {\ rho} {{P \ left ({\ sqrt {\ frac {\ rho} {{\ pi f {\ mu _r}) {\ mu _0}}}}} \ right)}} \] где f — частота переменного тока, mu-r — относительная проницаемость проводник, а mu-0 — проницаемость свободного пространства.