Замена непрерывного сигнала на дискретный это. Различия между непрерывными и дискретными сигналами: что нужно знать

Каковы основные отличия непрерывных и дискретных сигналов. Как влияет дискретизация на свойства сигналов. Что нужно учитывать при работе с дискретными сигналами. Почему важно понимать разницу между непрерывными и дискретными сигналами.

Ключевые различия между непрерывными и дискретными сигналами

При изучении цифровой обработки сигналов (ЦОС) важно понимать фундаментальные различия между непрерывными и дискретными сигналами:

• Непрерывные сигналы определены для всех моментов времени, а дискретные — только в отдельных точках
• Непрерывные сигналы могут принимать любые значения, а дискретные — только определенные уровни квантования
• Спектр непрерывных сигналов может быть неограниченным, а дискретных — всегда ограничен частотой Найквиста
• Периодичность дискретных сигналов возможна только при целом числе отсчетов на период

Рассмотрим эти и другие важные аспекты более подробно.

Дискретизация сигналов во времени

Ключевое отличие дискретных сигналов — это то, что они определены только в отдельные моменты времени, разделенные периодом дискретизации T. Это приводит к следующим эффектам:

• Появляется понятие частоты дискретизации f_d = 1/T
• Максимальная частота в спектре ограничивается частотой Найквиста f_N = f_d/2
• Возникает эффект наложения спектров (алиасинг) при недостаточной частоте дискретизации

Чтобы избежать потери информации, частота дискретизации должна как минимум вдвое превышать максимальную частоту в спектре сигнала согласно теореме Котельникова-Шеннона.

Квантование амплитуды сигналов

При аналого-цифровом преобразовании происходит не только дискретизация по времени, но и квантование по уровню. Это приводит к следующим эффектам:

• Дискретные сигналы могут принимать только конечное число значений
• Возникает ошибка квантования — разница между исходным и квантованным значением
• Появляется понятие шума квантования

Чем больше уровней квантования (бит АЦП), тем меньше ошибка и шум квантования. Но даже при очень большом числе уровней дискретный сигнал остается принципиально отличным от непрерывного.

Особенности спектра дискретных сигналов

Дискретизация сигналов приводит к существенным изменениям в частотной области:

• Спектр дискретного сигнала всегда периодичен с периодом f_d
• Частоты выше f_N отображаются в диапазон [0, f_N] (алиасинг)
• Существуют наборы неразличимых частот f и f_d — f

Это означает, что при работе с дискретными сигналами необходимо внимательно следить за соблюдением теоремы Котельникова, чтобы избежать искажений спектра.

Периодичность дискретных сигналов

Для дискретных сигналов понятие периодичности имеет некоторые особенности:

• Период может быть только целым числом отсчетов
• Частота периодического сигнала f = k/N, где k и N — целые числа
• Не все непрерывные периодические сигналы остаются периодическими после дискретизации

Это накладывает ограничения на возможные частоты дискретных сигналов и усложняет анализ периодичности по сравнению с непрерывным случаем.

Математическое представление сигналов

Различия в математическом описании непрерывных и дискретных сигналов:

• Непрерывные сигналы описываются функциями x(t), где t — действительное число
• Дискретные сигналы описываются последовательностями x[n], где n — целое число
• Для дискретных сигналов используется Z-преобразование вместо преобразования Лапласа

Это приводит к различиям в методах анализа и обработки сигналов в непрерывной и дискретной областях.

Особенности обработки дискретных сигналов

При работе с дискретными сигналами необходимо учитывать ряд факторов:

• Эффекты квантования и округления при вычислениях
• Ограничения по частоте из-за дискретизации
• Особенности реализации фильтров в цифровой форме
• Возможность появления предельных циклов в рекурсивных системах

Понимание этих особенностей критически важно для корректной обработки сигналов в цифровых системах.

Преимущества дискретных сигналов

Несмотря на ряд ограничений, дискретные сигналы имеют важные преимущества:

• Возможность точного хранения и передачи без искажений
• Простота реализации сложных алгоритмов обработки на цифровой технике
• Гибкость в изменении параметров обработки
• Высокая помехоустойчивость цифровых систем

Эти преимущества обусловили широкое распространение цифровой обработки сигналов в современной технике.

Взаимосвязь непрерывных и дискретных сигналов

Несмотря на существенные различия, непрерывные и дискретные сигналы тесно связаны:

• Дискретные сигналы можно рассматривать как результат дискретизации непрерывных
• Непрерывные сигналы можно восстановить из дискретных при соблюдении теоремы Котельникова
• Многие методы анализа имеют аналоги в непрерывной и дискретной областях

Понимание этой взаимосвязи позволяет эффективно применять методы ЦОС для работы с реальными непрерывными сигналами.

Заключение

Глубокое понимание различий между непрерывными и дискретными сигналами критически важно для эффективного применения методов цифровой обработки сигналов. Это позволяет:

• Корректно выбирать параметры дискретизации сигналов
• Учитывать особенности и ограничения дискретных систем
• Правильно интерпретировать результаты цифровой обработки
• Избегать ошибок, связанных с некорректным применением методов ЦОС

Поэтому изучению этих вопросов стоит уделить особое внимание при освоении цифровой обработки сигналов.

1Дискретизация непрерывных сигналов.

Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения

x(nT) , x(n) , x_n , {x₀ ; x₁ ; x₂ ; … } .

Дискретизация осуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис. 1.1).

Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа f_д и шаг дискретизации T связаны формулой

f­­_д = 1 / T . (1.1)

Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом

x(nT) = x(t)d(t — nT) , (1.2)

где d(t) — дискретная d — функция (Рис. 1.2, а),

d(t — nT) — последовательность d — функций (Рис. 1.2, б).

Погрешность, возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценить сравнивая

4. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.

Для дискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить. Действительно, поскольку

то после перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид

Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.

Формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде, поэтому после замены X(nT) ® X(nT) / T преобразование Фурье принимает окончательный вид

(1.5)

Формулы Лапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1. 5) после обобщения частоты на всю плоскость комплексного переменного, то есть jw ® P = d + jw

(1.6)

7. Основные теоремы Z — преобразования.

Перечислим без доказательства теоремы z — преобразования, которые потребуются в последующих разделах.

1. Теорема линейности.

Если x(nT) = ax₁(nT) + bx₂(nT) ,

то X(Z) = a X₁(Z) + bX₂(Z).

2. Теорема запаздывания.

Если x(nT) = x₁

(nT — QT) ,

то X(Z) = X₁(Z) Z^-Q.

3. Теорема о свертке сигналов.

Если X(nT) = x₁(kT) x₂(nT — kT) ,

то X(Z) = X₁(Z) X₂(Z).

4. Теорема об умножении сигналов.

Если x(nT) = x₁(nT) x₂(nT) ,

то X(Z) = X₁(V) X₂() V^-1 dV,

где V, Z — переменные на плоскости Z.

5. Теорема энергий (равенство Парсеваля).

x²(nT) =X(Z) X(Z^-1) Z^-1 dZ.

Z — преобразование дискретных сигналов имеет значение равное значению преобразования Лапласа непрерывных сигналов.

Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом

X(jw) =x(nT) e^-jwt dt =x(t)d(t — nT) e^-jwt dt .

Периодическую последовательность d — функций здесь можно разложить в ряд Фурье

d(t — nT) =,

где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов

, поскольку F_d(jw) = 1

После замены в исходном выражении периодической последовательности d — функций ее разложением в ряд Фурье получим

X(jw) =x(t)() e^-jwt dt =x(t)e^-jwt dt .

Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е. :

если f(t) ® F(jw), то f(t)® F[j(w ± w₀)] ,

последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(jw) и аналогового X_a(jw) сигналов

X(jw) =X_a[j(w -)] . (1.3)

На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы :

1. Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации w_д

2. Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5w_д ; 0,5w_д], если удовлетворяется неравенство

w_в £ 0,5w_д , (1. 4)

где w_в — верхняя частота спектра аналогового сигнала.

Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте w_д.

1. Смежные спектры X_a(jw) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.

2. Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого w_с = 0,5w_д. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.

Выбор частоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1. 4). если частота w_в не известна, то выбор из w_д определяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.

5 Z — преобразование.

Эффективность частотного анализа дискретных сигналов существенно возрастает, если заменить преобразование Лапласа Z — преобразованием. В этом случае изображение сигнала X(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной P = d + jw, заменяется Z — изображением сигнала X(Z), которое является рациональной функцией переменной Z = x + jy.

Формулы Z — преобразования получаются из формулы Лапласа (1.6) заменой переменных

e^pT = Z . (1.7)

Подстановка (1.7) и ее производной

dZ / dp = Te^pT

в (1. 6) приводит к формулам прямого и обратного Z — преобразования

(1.8)

Точки на мнимой оси комплексного переменного p = d +jw, то есть точки p = jw, определяют реально частотные характеристики сигнала. Мнимой оси соответствует на плоскости Z единичная окружность, так как в этом случае согласно (1.7)

Z = e^jwT = (1.9)

Поэтому непрерывному росту переменной на мнимой оси плоскости p = d + jw, соответствует многократный обход единичной окружности на плоскости z = x + jy (Рис. 1.4). Этим фактом объясняется, в частности, то обстоятельство, что интегрирование в формуле обратного z — преобразования (1.8) осуществляется вдоль единичной окружности плоскости z взамен интегрирования вдоль прямой параллельной мнимой плоскости p.

Учитывая вышеизложенное и формулы (1.7), (1.9) можно утверждать, что левая полуплоскость переменного p = d + jw отображается на плоскость единичного круга переменного z = x + jy, правая полуплоскость — на плоскость z за пределами единичного круга.

Подстановка (1.9) в z — изображение сигнала приводит к спектру этого сигнала, подстановка (1.7) дает изображение по Лапласу.

Пример. Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотности сигнала x(nT) = {a ; b} (Рис. 1.5, а).

Решение.

Z — изображение сигнала согласно (1.8)

X(Z) =x(nT) Z^-n = x(0T) Z^-0 + x(1T) Z^-1 = a + bZ^-1

Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала

X(jw) = a + be^-jwT.

Графики модуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; w_д].

Вне интервала частот [0 ; w_д] частотные зависимости повторяются с периодом w_д.

Дискретные сигналы

Дискретные сигналы

А. Т. Бизин

Сибирская Государственная Академия телекоммуникаций и информатики

Новосибирск 1998 г.

Дискретизация непрерывных сигналов

Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения

x(nT) , x(n) , x_n , {x₀ ; x₁ ; x₂ ; … } .

Дискретизация осуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис. 1.1).

Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа f_д и шаг дискретизации T связаны формулой

f_д = 1 / T . (1.1)

Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом

x(nT) = x(t)d(t — nT) , (1. 2)

где d(t) — дискретная d — функция (Рис. 1.2, а),

d(t — nT) — последовательность d — функций (Рис. 1.2, б).

Погрешность, возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценить сравнивая спектры этих сигналов.

Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.

Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом

X(jw) =x(nT) e^-jwt dt =x(t)d(t — nT) e^-jwt dt .

Периодическую последовательность d — функций здесь можно разложить в ряд Фурье

d(t — nT) =,

где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов

, поскольку F_d(jw) = 1

После замены в исходном выражении периодической последовательности d — функций ее разложением в ряд Фурье получим

X(jw) =x(t)() e^-jwt dt =x(t)e^-jwt dt .

Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е. :

если f(t) ® F(jw), то f(t)® F[j(w ± w₀)] ,

последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(jw) и аналогового X_a(jw) сигналов

X(jw) =X_a[j(w -)] . (1.3)

На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы :

Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации w_д

Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5w_д ; 0,5w_д], если удовлетворяется неравенство

w_в Ј 0,5w_д , (1.4)

где w_в — верхняя частота спектра аналогового сигнала.

Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте w_д.

Смежные спектры X_a(jw) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.

Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого w_с = 0,5w_д. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.

Выбор частоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1.4). если частота w_в не известна, то выбор из w_д определяется расчетом по формуле (1. 1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.

Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.

Для дискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить. Действительно, поскольку

то после перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид

Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.

Формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде, поэтому после замены X(nT) ® X(nT) / T преобразование Фурье принимает окончательный вид

(1.5)

Формулы Лапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1. 5) после обобщения частоты на всю плоскость комплексного переменного, то есть jw ® P = d + jw

(1.6)

Z — преобразование.

Эффективность частотного анализа дискретных сигналов существенно возрастает, если заменить преобразование Лапласа Z — преобразованием. В этом случае изображение сигнала X(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной P = d + jw, заменяется Z — изображением сигнала X(Z), которое является рациональной функцией переменной Z = x + jy.

Формулы Z — преобразования получаются из формулы Лапласа (1.6) заменой переменных

e^pT = Z . (1.7)

Подстановка (1.7) и ее производной

dZ / dp = Te^pT

в (1.6) приводит к формулам прямого и обратного Z — преобразования

(1.8)

Точки на мнимой оси комплексного переменного p = d +jw, то есть точки p = jw, определяют реально частотные характеристики сигнала. Мнимой оси соответствует на плоскости Z единичная окружность, так как в этом случае согласно (1.7)

Z = e^jwT = (1.9)

Поэтому непрерывному росту переменной на мнимой оси плоскости p = d + jw, соответствует многократный обход единичной окружности на плоскости z = x + jy (Рис. 1.4). Этим фактом объясняется, в частности, то обстоятельство, что интегрирование в формуле обратного z — преобразования (1.8) осуществляется вдоль единичной окружности плоскости z взамен интегрирования вдоль прямой параллельной мнимой плоскости p.

Учитывая вышеизложенное и формулы (1.7), (1.9) можно утверждать, что левая полуплоскость переменного p = d + jw отображается на плоскость единичного круга переменного z = x + jy, правая полуплоскость — на плоскость z за пределами единичного круга.

Подстановка (1.9) в z — изображение сигнала приводит к спектру этого сигнала, подстановка (1.7) дает изображение по Лапласу.

Пример. Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотности сигнала x(nT) = {a ; b} (Рис. 1.5, а).

Решение.

Z — изображение сигнала согласно (1.8)

X(Z) =x(nT) Z^-n = x(0T) Z^-0 + x(1T) Z^-1 = a + bZ^-1

Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала

X(jw) = a + be^-jwT.

Графики модуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; w_д].

Вне интервала частот [0 ; w_д] частотные зависимости повторяются с периодом w_д.

Основные теоремы Z — преобразования.

Перечислим без доказательства теоремы z — преобразования, которые потребуются в последующих разделах.

1. Теорема линейности.

Если x(nT) = ax₁(nT) + bx₂(nT) ,

то X(Z) = a X₁(Z) + bX₂(Z).

Теорема запаздывания.

Если x(nT) = x₁(nT — QT) ,

то X(Z) = X₁(Z) Z^-Q.

Теорема о свертке сигналов.

Если X(nT) = x₁(kT) x₂(nT — kT) ,

то X(Z) = X₁(Z) X₂(Z).

Теорема об умножении сигналов.

Если x(nT) = x₁(nT) x₂(nT) ,

то X(Z) = X₁(V) X₂() V^-1 dV,

где V, Z — переменные на плоскости Z.

Теорема энергий (равенство Парсеваля).

x²(nT) =X(Z) X(Z^-1) Z^-1 dZ.

Z — преобразование дискретных сигналов имеет значение равное значению преобразования Лапласа непрерывных сигналов.

Дискретное преобразование Фурье.

Если сигнал ограничен во времени значением t_u , а его спектр — частотой w_в , то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов N как во временной, так и в частотной областях (Рис. 1.7, а, б) :

N = t_u/T — во временной области, где T = 1/f_д ,

N = f_д/f₁ — в частотной области, где f₁ = 1/t_u .

Дискретному сигналу соответствует периодический спектр, дискретному спектру будет соответствовать периодический сигнал. В этом случае отсчеты X(nT) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(jkw₁), период, который равен w_д. Соответственно, отчеты X(jkw₁) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(nT), период, который равен t_u.

Связь отсчетов сигнала и спектра устанавливается формулами дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Формулы ДПФ следуют из формул Фурье для дискретных сигналов (1.5), если непрерывную переменную w заменить дискретной переменной kw₁, то есть

w ® kw₁ , dw ® w₁.

После замены переменной в (1.5) получим

X(jkw₁) = x(nT),

x(nT) =X(jkw₁).

Отсюда после подстановки w₁ = w_д/N, T = 2p/w_д формулы ДПФ принимают окончательный вид

X(jkw₁) =x(nT)- прямое ДПФ ,

x(nT) =X(jkw₁)- обратное ДПФ (1.10)

Сигнал с ограниченным спектром имеет, строго говоря, бесконечную протяженность во времени и, соответственно бесконечное число отсчетов и непрерывный спектр. Спектр останется непрерывным, если число отсчетов сигнала ограничить конечным числом N. Формулы (1.10) в этом случае будут выражать связь между N отсчетами дискретного сигнала и N отсчетами его непрерывного спектра, который можно полностью восстановить по его отсчетам.

Пример. Определить отсчеты спектра сигнала на Рис. 1.5, а.

Здесь N = 2 поэтому X(jkw₁) =x(nT) e^-jpkn следовательно

X(j0w₁) =x(nT)e^-j0 = x(0T) + x(1T) = a + b

X(j1w₁) =x(nT)e^-jpn = x(0T) e^-j0 + x(1T) e^-jp = a — b

график отсчетов спектра приведен на Рис. 1.5, б, где w₁ = w_д/N = 0,5w_д.

Сигнал с конечным числом отсчетов N имеет спектр, который повторяет с конечной погрешностью спектр сигнала с бесконечным числом отсчетов : спектры совпадают на отсчетных частотах kw₁ и отличаются на других частотах. Отличие спектров тем меньше, чем больше N. В самом деле, реальные сигналы обладают конечной энергией и, следовательно, начиная с некоторого номера отсчета остальными номерами можно пренебречь ввиду их малости, что не окажет заметного влияния на спектр сигнала.

Пример. Осуществить дискретизацию экспоненциального импульса X(t) = Ae^-at = 1 e^-10t и сравнить спектры исходного и дискретного сигналов.

Решение.

График сигнала X(t) представлен на Рис. 1.8

Пусть T = 0,02с. В этом случае плавным соединением отсчетов сигнала (штриховая линия на Рис. 1.8) сигнал восстанавливается удовлетворительно хотя заметны искажения в окрестности точки t = 0, поэтому ошибки наложения будут некоторым образом влиять на спектральные характеристики.

Пусть t_u = 0,4с. В этом случае

N = t_u/T = 20.

Расчет спектра по формуле прямого ДПФ в точке w = 0 (k = 0) запишется так

X(j0w₁) = 1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 05488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 + 0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0,09072 + 0,07427 + 0,06081 + 0,04979 + 0,04076 + 0,03337 + 0,02732 + 0,02237 = 5,41

Истинное значение спектра в точке w = 0 можно определить зная спектр аналогового экспоненциального импульса

X_a(jw) =, следовательно X_a(j0) == 0,1.

чтобы сравнить спектры дискретного и непрерывного сигналов, дискретный спектр необходимо денормировать умножением на T, так как формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде. Поэтому

X(jow₁) = 5,41 T = 5,42Ч0,02 = 0,1082.

Таким образом совпадение спектров X_a(jw) и X(jw) в точке w = 0 вполне удовлетворительное. Некоторая неточность объясняется влиянием ошибок наложения.

Уместно заметить, что выбор шага дискретизации достаточно контролировать в точках максимальной крутизны исходной функции X(t). В рассмотренном примере такой точкой является момент времени t = 0.

В заключение отметим, что формулы ДПФ упрощают расчетные процедуры по взаимному преобразованию сигналов и их спектров, что особенно важно для технических систем, функционирующих В реальном масштабе времени. В этих случаях применяется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), основанный на формулах ДПФ. Ускоренная процедура расчетов по алгоритму БПФ достигается за счет исключения повторных арифметических операций, характерных для расчетов по формулам ДПФ.

Основные различия между непрерывными и дискретными временными сигналами, которые необходимо учитывать

Задавать вопрос

спросил 9 лет, 6 месяцев назад

Изменено 8 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено 5к раз

$\begingroup$

Я начал изучать DSP, и первое, что выяснилось, это различия между непрерывными и дискретными временными сигналами. {j2\pi t}$ может отличаться от $1$.

Что касается периодичности, то в случае дискретного времени фундаментальный период $N$ всегда является целым числом, равным $\frac{k}{F}$, где $k$ является целым числом, что означает, что $N$ не обязательно равен в $\frac{1}{F}$.

В непрерывном случае это неверно, поскольку $T = \frac{1}{F}$.

Итак, мои вопросы:

1. Правильно ли я понимаю эти два различия? Если это не так, пожалуйста объясните мне лучше.
2. Эти два аспекта более важны, или я отсутствует что-то (еще) большое?

• дискретные сигналы
• анализ сигналов
• непрерывные сигналы

$\endgroup$

$\begingroup$

В общем, я бы сказал, что вы хорошо понимаете различия.

1. Вы уловили первое различие — непрерывное время и дискретное время (выборки).
2. Вы также были правы в том, что в дискретном мире существуют наборы неразличимых частот. Следствием этого является то, что все дискретные сигналы ограничены полосой пропускания, тогда как непрерывные сигналы не обязательно должны быть ограничены. Это понятие чаще всего называют частотой Найквиста.
3. Я не совсем согласен с вашим мнением о периодичности, хотя, кажется, понимаю, к чему вы клоните. Если под периодичностью вы подразумеваете повторение одних и тех же значений, то да, дискретный период должен быть целым числом выборок. С другой стороны, если вы принимаете периодическое значение, означающее, что «базовый» сигнал повторяется, то возможно, что выборки не будут точно такими же, если период не является целым числом, кратным выборкам. Однако вы все равно можете обнаружить периодичность с помощью автокорреляции. В любом случае, если этот пункт сбивает с толку, не беспокойтесь об этом — это не так уж важно.

Кстати, дискретные сигналы можно рассматривать как частный случай непрерывных сигналов. Вы можете смоделировать дискретные сигналы как непрерывные сигналы, которые были умножены на бесконечный набор равномерно расположенных дельта-функций. Если дельта-функции разделены на $T_s$ секунд, то в частотной области они могут быть представлены другим набором дельта-функций, разделенных $\frac{1}{T_s}$ Гц. Умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области, поэтому копии сигнала воспроизводятся в частотной области на каждой из дельта-функций.

Хотя математики в зале, вероятно, будут кричать на меня за это, я думаю, что вы можете также рассматривать непрерывные сигналы как частный случай дискретных сигналов, где мы берем предел $T_s$ по мере того, как он приближается к нулю.

$\endgroup$

$\begingroup$

Ответ Джима Клея хороший, но я решил немного расширить пункт 3 о периодичности.

Сигнал $x\{s\}$ называется периодическим с периодом $P$, если $$ х\{с\} = х\{с + Р\} $$

Для случая с непрерывным временем $s = t \in \mathbb{R} $ (действительные числа), и мы получаем: $$ х (т) = х (т + Р) $$ с $P \in \mathbb{R}$.

Для случая с дискретным временем $s = n \in \mathbb{Z}$ (целые числа), и мы получаем $$ х[n] = х[n + P]. $$ Поскольку $x[t]$ с $t\in \mathbb{R}$ не имеет смысла, если $t$ не является целым числом, мы должны иметь здесь условие $P \in \mathbb{Z}$.

Я думаю, это то, что вы имеете в виду, когда говорите

$\ldots N$ не обязательно равно $\frac{1}{f}$

, потому что в случае дискретного времени «периодичность» является гораздо более строгим условием (периодичность с периодом, равным целому числу отсчетов).

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

выборка — изменение функции с непрерывной на дискретную

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 5 месяцев назад

Изменено 7 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено 55 раз 92(\frac{\pi}{2}(0,5 -\frac{n-79}{2})),&\text{if } 79