Электрического поля: 1.2. Электрическое поле

Потенциал электрического поля. Разность потенциалов 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

 

Электрическое поле действует на помещенный в него заряд с силой, которая определяется величиной заряда и напряженностью поля в данной точке.

 

Если эта сила перемещает заряд – то она совершает работу. Даже если заряда в поле нет, то потенциально эта работа все равно может быть совершена, как только он там окажется. Из опыта других разделов физики мы знаем, что работа связана с энергией.

Для решения некоторых задач удобно использовать энергетическую модель описания электрического поля. Проведем аналогию с гравитационным полем.

 

Понятие потенциала

 

 

Если мы поднимем тело массы , лежащее на земле на высоту  (см. рис. 1), мы изменим его потенциальную энергию на величину . Именно такую работу  и необходимо совершить для этого подъема.

 

Рис. 1. Изменение потенциальной энергии

Для любой массы  разница энергий на высоте 0 и  будет равна  (см. рис. 2).

Рис. 2. Разница потенциальных энергий

Если разделить значение потенциальной энергии  на массу, мы получим величину, характеризующую гравитационное поле в данной точке. Выражение  уже не зависит от массы, оно показывает работу, которую необходимо совершить для переноса тела, с некоторой массой, на высоту , деленную на эту массу.

Теперь посмотрим, как ввести аналог потенциальной энергии приведенной на единицу массы в электрическом поле.

На заряд , находящийся в поле другого заряда , закрепленного в некоторой точке пространства, действует сила Кулона . Эта сила может переместить заряд , совершив при этом работу. Значит, система двух зарядов, находящихся на определенном расстоянии, обладает потенциальной энергией, зависящей от величины зарядов и расстояния между ними.

Если по аналогии с гравитационным полем рассмотреть величину, равную этой энергии, деленной на заряд , то она уже не будет зависеть от заряда  и охарактеризует только поле заряда  в данной точке. То есть будет являться функцией заряда  и расстояния между зарядами. Эта величина и называется потенциалом электрического поля.

Разность потенциалов двух точек, умноженная на величину заряда , равна работе, необходимой для перемещения этого заряда между этими точками. То есть разность потенциалов двух точек поля – это работа по перемещению между ними единичного заряда.

Как и в поле сил тяжести, эта работа не зависит от траектории  и определяется только положением точек, между которыми перемещается единичный заряд. Такие поля называют консервативными. В разделе «Механика» мы уже говорили, что энергия – величина, требующая для измерения задания «начала отсчета». Например, в гравитационном поле мы можем считать нулевой потенциальную энергию тела, находящегося на уровне земли. В случае электростатического поля, создаваемого зарядом, естественно считать нулевой потенциальной энергией некоторого заряда, находящегося в поле, его энергию на бесконечном удалении от заряда, в поле которого он находится. Это и есть «точка отсчета» для потенциальной энергии поля заряда.

Потенциал поля в некоторой точке равен работе по перемещению единичного заряда из этой точки на бесконечность.

 

Выражение для потенциала поля точечного заряда

 

 

Пусть положительный заряд  находится на расстоянии  от положительного заряда  (см. рис. 3).

 

Рис. 3. Изначальное положение заряда

Какую работу совершит электрическое поле при перемещении заряда  вдоль радиуса в точку, отдаленную на  от ? (см. рис. 4)

Рис. 4. Конечное положение заряда

По определению работа силы равна этой силе, умноженной на перемещение:

В данном случае действует сила электрического взаимодействия (см. рис. 5), по закону Кулона .

Рис. 5. Действие силы электрического взаимодействия

Сила и перемещение в нашем случае сонаправлены,  и . Так мы можем находить работу для случая, когда сила постоянна на всей траектории. Здесь же сила изменяется по мере отдаления зарядов друг от друга.

Обозначим перемещение заряда (см. рис. 6).

Рис. 6. Перемещение заряда

По мере перемещения заряда  сила изменяется, но на малом (в сравнении с расстоянием до заряда ) отрезке можем считать ее постоянной и находить работу по определению, которое мы привели выше.

Работа, совершаемая силой Кулона на таком малом отрезке  равна , где силу  можно считать постоянной на всем отрезке . Тогда работа при перемещении на расстояние  будет равна сумме работ на  участках (), на каждом из которых сила Кулона постоянна и равна .

Эта сумма будет равна 

Подробный вывод этой формулы вы можете проследить в ответвлении.

 


Работа при перемещении электрического заряда

Работа по перемещению заряда на малом участке  равна:

Работа на участке  равна сумме работ на каждом участке :

Воспользуемся приближенным равенством:

Прежде чем его применить, покажем, что равенство справедливо. Приведем правую часть к общему знаменателю:

Раскроем скобки:

Заметим, что  – пренебрежимо малая по сравнению с  величина,  не может считаться пренебрежимо малой, т. к. количество  участков  велико. Поэтому в знаменателе можем пренебречь членами  и .

Вернемся к нахождению работы. Распишем выражение по полученной формуле:

Распишем сумму:


 

Мы знаем, что работа связана с энергией. Система обладает энергией, если силы, возникающие в системе, могут выполнить работу (в нашем случае это сила электростатического взаимодействия зарядов). Работа равна уменьшению потенциальной энергии:

Сравнив с выражением , делаем вывод, что  – это потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов. Ранее мы приняли, что потенциальная энергия заряда, отдаленного от источника электрического поля на бесконечность, равна нулю. Посмотрим, как с этим согласуется полученная формула:

Действительно,  будет равна нулю на бесконечном отдалении от заряда , т. к.  при .

Теперь проверим, как полученный результат соотносится с моделью, в которой разноименные заряды обозначены знаками плюс и минус. Если заряды одноименные, то потенциальная энергия взаимодействия положительна . Система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией (как и, например, камень на некоторой высоте  над поверхностью земли, предоставленный сам себе, будет падать вниз, т. е. уменьшать высоту и с ней потенциальную энергию )

Действительно, заряды будут отталкиваться и сила электрического взаимодействия будет вызывать перемещение заряда на большее расстояние, потенциальная энергия  будет уменьшаться.

Если заряды разноименные, то потенциальная энергия взаимодействия  имеет знак минус. Заряды притягиваются, и сила их взаимодействия вызывает перемещение заряда на меньшее расстояние , потенциальная энергия  уменьшается.

 

Потенциал электрического поля

 

 

Энергия заряда  в поле заряда , равная , зависит от величин обоих зарядов. Характеристика поля, созданного зарядом , естественно, не должна зависеть от величины помещенного в него заряда. Разделим  на  и получим . Эта величина называется потенциалом электрического поля и обозначается буквой . Эта характеристика поля показывает, какой энергией обладает положительный заряд, помещенный в данную точку поля. Как и энергия, потенциал – скалярная величина, измеряется в вольтах.

 

В нашем случае  – потенциал поля точечного заряда. Точка отсчета потенциалов в нашем случае естественным образом является бесконечно отдаленной точкой (см. рис. 7).

Рис. 7. Точка отсчета потенциалов

В зависимости от задачи точкой отсчета выбирают потенциал поверхности Земли, потенциал отрицательно заряженной пластины конденсатора или потенциал любой другой точки, удобной для решения задачи.

Таким образом, пользуясь определением потенциала, можно вычислить потенциальную энергию заряда, находящегося в электростатическом поле:

и работу поля по перемещению заряда из точки с потенциалом  в точку с потенциалом :

Электрическое поле является консервативным, его работа не зависит от траектории движения заряда, а зависит только от перемещения.

Заряд всегда распределен на каком-то теле, имеющем геометрические размеры. На расстояниях, много больших размеров тела, поле слабо зависит от объема и формы этого тела, и потому модели точечного заряда достаточно. Например, потенциал поля заряженного металлического шара при  эквивалентен потенциалу поля точечного заряда (см. рис. 8):

Рис. 8. Потенциал поля при

.

Внутри шара потенциал во всех точках одинаков и равен потенциалу на поверхности шара (см. рис. 9):

Рис. 9. Потенциал внутри шара

.

Если бы это было не так, то потенциальная энергия в разных точках внутри шара отличалась бы, а, так как внутри металла есть свободные носители заряда, поле выполняло бы работу по перемещению зарядов. В итоге электроны переместились бы в область большего потенциала, тем самым уменьшив его. Таким образом, потенциал во всех точках приравнивается.

Потенциал подчиняется принципу суперпозиции. При наличии нескольких источников поля складываются как векторы напряженности поля, так и потенциалы:

 

Задача 1

 

 

При перемещении заряда между точками с разностью потенциалов 1 кВ электрическое поле совершило работу 40 мкДж. Чему равен заряд?

 

Это простая задача на понимание смысла величины разности потенциалов.

Разность потенциалов равна работе по переносу заряда, деленной на величину этого заряда.

Выразим значение заряда:

И вычислим ответ:

Ответ: 

 

Задача 2

 

 

Какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд 5 мкКл из бесконечности в точку поля, удаленную от центра заряженного шара на 18 см? Заряд шара – 20 мкКл.

 

Порассуждаем.

  • Потенциал поля заряженного шара на бесконечности равен нулю. Следовательно, приближая заряд от бесконечности к шару, внешней силе нужно совершать работу для преодоления силы электростатического взаимодействия. Численно эта работа будет равна работе электрического поля заряженного шара по перемещения заряда с расстояния 18 см на бесконечность.
  • Работа по переносу заряда в электрическом поле связана с разностью потенциалов между начальной и конечной точками траектории и величиной заряда 
  • Величина переносимого заряда у нас есть.
  • Потенциал поля заряженного шара на бесконечности, как мы уже отметили, равен нулю. А в конечной точке траектории мы сможем его вычислить, пользуясь формулой для потенциала поля точечного заряда, которая справедлива и для поля вне заряженного шара.

Приступим к решению.

Найдем потенциал электрического поля заряженного шара в конечной точке траектории.

Потенциал электрического поля заряженного шара на бесконечности равен нулю.

Разность потенциалов электрического поля по переносу заряда из точки с потенциалом  в точку с потенциалом  будет равна:

В то же время она будет равна работе электрического поля по переносу заряда, деленной на заряд:

Величина работы внешних сил, которую надо совершить, чтобы перенести заряд из точки с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом, равна работе электрического поля по переносу такого же заряда в обратном направлении.

Таким образом, мы получили систему из пяти уравнений, решив которую найдем искомую величину.

Пронаблюдать математическую часть решения задачи вы можете в свертке.

Ответ: .


Математическая часть решения задачи 2

Подставим выражения для потенциалов из первого и второго уравнений в третье:

Подставим полученную разность потенциалов в четвертое уравнение.

И выразим работу электрического поля:

Согласно пятому уравнению это и есть искомая работа .

Подставим данные из условия и рассчитаем ответ:

Задача решена.


 

На этом наш урок закончен. Спасибо за внимание.

 

Список литературы

  1. Соколович Ю. А., Богданова Г. С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
  2. Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., Сотский Н. Н. Физика: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание – М.: Просвещение, 2010. 

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-сайт «phyzika. ru» (Источник)
  2. Интернет-сайт «physics.ru» (Источник)
  3. Интернет-сайт «knowlegeport.narod.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Какой вид имеет формула для работы электрического поля?
  2. Что такое потенциал электрического поля?
  3. Решите задачу: точечный заряд , находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией 1 мкДж. Найдите потенциал этой точки поля.

 

1.3. Концепция поля. Электростатическое поле и его напряжённость — ЗФТШ, МФТИ

В XIX веке английский учёный Майкл Фарадей выдвинул гипотезу, что электрическое и магнитное  взаимодействия  осуществляются посредством особой среды между ними, поля. Любой заряд `q` изменяет свойства пространства вокруг себя – создаёт вокруг себя

поле, а уже это поле действует на другие заряды. Развитие науки и техники показало чрезвычайную плодотворность концепции поля. 2)`. Существенно, однако, что отношение силы, действующей на пробный заряд, к его заряду, `(vecF_1)/(q_1)=(vecF_2)/(q_2)`, останется одним и тем же и будет характеристикой не пробных зарядов, но исходного заряда `q` и местоположения `vecr` точки `A`, в которую мы помещали пробные заряды (см. рис. 1). Эта характеристика называется напряжённостью электрического поля точечного заряда `q` в точке `A`. Напряжённость поля есть  векторная  величина.  Её   модуль равен

Если заряд `q` положительный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону от заряда вдоль прямой, соединяющей точечный заряд `q` и точку `A`; если же  заряд `q` отрицательный,  то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону к заряду вдоль той же прямой.

Удобным способом учёта векторного характера величины `vecE`  и знака заряда `q` является следующий. Пусть `vecr` — вектор, проведённый из точки, в которой расположен заряд `q`, в точку `A`, `|vecr|=r` — длина этого вектора (расстояние между точечным зарядом `q` и точкой `A`). 2)`; при этом о напряжённости говорят как о силе, действующей со стороны заряда `q` на некий  условный единичный положительный точечный заряд `(+1)` (не заряд в `+1` Кл!). Нужно, впрочем, помнить, что сила и напряжённость электрического поля имеют разную размерность. В системе СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр (В/м): `1`В/м `=1`Н/`1`Кл.

Принцип суперпозиции. Напряжённость есть векторная величина. Это означает, что если имеются два заряда `q_1` и `q_2` каждый из них в некоторой точке создаёт свои напряжённости поля `vecE_1` и `vecE_2`, то  результирующая  напряжённость (результирующая сила, действующая на единичный положительный заряд, со стороны обоих зарядов) будет равна векторной сумме

получаемой  по  правилу  параллелограмма  (рис. 2)  или треугольника.

Аналогично, в случае `N` зарядов:                                                 

причём векторная сумма вычисляется по правилу многоугольника (либо последовательно несколько раз по правилу параллелограмма). ‘`.

Электрическое поле равномерно заряженной сферы. Вне равномерно заряженной сферы электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр сферы точечный заряд, равный по величине суммарному заряду сферы (рис. 4, а – б). Нетривиальный факт состоит в том, что

внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю (см. `[2 – 3]`).

Если имеются две концентрические равномерно заряженные сферы, то за пределами обеих сфер поле такое же,  какое создавали бы два точечных заряда, равные зарядам сфер и помещённые в их общий центр. В области между сферами внешняя сфера не вносит вклада в напряжённость поля.

Вне равномерно заряженного по объёму шара электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду шара. Последнее легко понять: поле шара можно представить как результирующее поле множества тонких шаровых слоёв («сфер»). О том, каким будет поле внутри шара, см. Пример 8.

Электрический диполь

. Так называется система, состоящая из двух точечных зарядов равных по величине, но противоположных по знаку. Пусть заряды `q_1=-q` и `q_2=+q` в некоторой системе координат характеризуются радиус-векторами `vecr_1` и `vecr_2` (см. рис. 6). Дипольным моментом диполя называется векторная величина `vecp=q_1vecr_1+q_2vecr_2=q(vecr_2-vecr_1)=qvecl`,  а величина `l=|vecl|=|vecr_2-vecr_1|` называется плечом диполя.

Рассмотрим более сложный пример использования принципа суперпозиции.

Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Вычисление поля в данном случае требует привлечения знаний высшей математики. Без сложных вычислений можно, однако, сделать два следующих утверждения, основываясь лишь на соображениях симметрии, а также на том факте, что густота линий напряжённости пропорциональна величине  `vecE`  (см.

Учебник):

1) Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости перпендикулярно плоскости (рис. 8). Дело  в   том,  что перпендикуляр к плоскости – единственное выделенное направление в задаче. Если бы вектор `vecE` был направлен под некоторым углом `alpha` к плоскости, мы бы ещё спросили себя: «Чем это направление лучше, чем все  другие  прямые, имеющие тот же угол `alpha` с плоскостью, и направленные вдоль образующих конуса с углом `alpha` при вершине?»  Ясно, что ничем не лучше: если плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках, то и любые направления вдоль неё эквивалентны друг другу.

2) Величина электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости одинакова во всех точках пространства. В самом деле, все точки на плоскости, параллельной нашей заряженной плоскости, эквивалентны друг другу (снова вспоминаем, что наша плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках).

Это означает, что при движении в плоскости, параллельной нашей равномерно заряженной плоскости, густота линий напряжённости электрического поля не изменяется. Но в силу перпендикулярности вектора `vecE` к плоскости во всех точках, эта густота линий не будет изменяться и при удалении от заряженной плоскости (вне плоскости нет зарядов, на которых могли бы закончиться «силовые» линии). Таким образом, густота линий напряжённости электрического поля будет одинаковой во всех точках пространства, независимо от расстояния до нашей заряженной плоскости. Это эквивалентно тому, что электрическое поле по обе стороны от бесконечной равномерно заряженной плоскости однородно, т. е. одинаково во всех точках обоих полупространств. Разумеется, по разные стороны от заряженной плоскости напряжённости поля направлены в противоположные стороны. В случае положительно заряженной плоскости вектор `vecE` в обоих полупространствах направлен
от
плоскости, а в случае отрицательно заряженной — к плоскости.  

Величина вектора напряжённости `vecE` может быть вычислена по формуле

которую мы приведём без вывода, где `sigma=Deltaq//DeltaS` — поверхностная плотность заряда,  `Deltaq` — заряд элемента поверхности площадью `DeltaS`.

Хотя в природе не существует бесконечных равномерно заряженных плоскостей, формула (1.3.4) с успехом используется для расчётов электрических полей заряженных тел в виде больших пластин или просто плоских объектов при небольшом удалении от центральной их части.

Электрические поля

Подобно гравитации, электростатическая сила является бесконтактной силой. Заряженные объекты не должны соприкасаться друг с другом, чтобы воздействовать друг на друга. Каким-то образом заряженный объект ощущает влияние другого заряженного объекта в пространстве. Свойство пространства, позволяющее заряженному объекту ощущать силу, называется электрическим полем. Хотя мы не можем видеть электрическое поле, мы можем обнаружить его присутствие, поместив положительный пробный заряд в различные точки пространства и измерив силу, которую испытывает пробный заряд.

При рассмотрении гравитации напряженность гравитационного поля представляла собой количество силы, воспринимаемой массой на единицу массы. Напряженность электрического поля — это количество электростатической силы, наблюдаемой зарядом на единицу заряда. Таким образом, напряженность электрического поля Е представляет собой электростатическую силу, наблюдаемую в данной точке пространства, деленную на сам пробный заряд. Напряженность электрического поля измеряется в ньютонах на кулон (Н/Кл).


Вопрос: Две противоположно заряженные параллельные металлические пластины, находящиеся на расстоянии 1,00 сантиметра друг от друга, действуют с силой величиной 3,60×10 –15 ньютонов на электрон, помещенный между пластинами. Рассчитайте величину напряженности электрического поля между пластинами.

Ответ:

 

Вопрос: Какая величина и единица измерения правильно сочетаются?

  1. Удельное сопротивление и Ом/м
  2. разность потенциалов и эВ
  3. ток и C•s
  4. напряженность электрического поля и Н/З

Ответ: (4) напряженность электрического поля и N/C.

Линии электрического поля

Поскольку на самом деле мы не можем видеть электрическое поле, мы можем нарисовать линии электрического поля, чтобы визуализировать силу, которую испытает заряд, если поместить его в определенное место в пространстве. Чтобы помочь нам визуализировать электрическое поле, мы можем нарисовать линии электрического поля в пространстве. Эти линии показывают направление, в котором положительно заряженная частица почувствовала бы силу, если бы ее поместили в эту точку пространства. Чем плотнее линии, тем большую силу будет ощущать заряженная частица, а значит, тем сильнее будет электрическое поле. По мере того, как линии отдаляются друг от друга, сила электрического взаимодействия, которую ощущает заряженная частица, становится меньше, поэтому электрическое поле меньше.

По соглашению мы рисуем линии электрического поля, показывающие направление силы на положительном заряде. Поэтому, чтобы нарисовать линии электрического поля для системы зарядов, следуйте этим основным правилам:

  1. Линии электрического поля указывают от положительных зарядов к отрицательным зарядам.
  2. Линии электрического поля никогда не пересекаются.
  3. Линии электрического поля всегда пересекают проводники под прямым углом к ​​поверхности.
  4. Чем сильнее поля, тем ближе линии.
  5. Сила поля и плотность линий уменьшаются по мере удаления от зарядов.

Давайте рассмотрим несколько примеров линий электрического поля, начиная с изолированных положительных (слева) и отрицательных (справа) зарядов. Обратите внимание, что для каждого заряда линии расходятся наружу или внутрь сферически. Линии указывают в сторону от положительного заряда, поскольку положительный пробный заряд, помещенный в поле (рядом с фиксированным зарядом), будет ощущать силу отталкивания. Линии указывают на отрицательный фиксированный заряд, поскольку положительный пробный заряд ощущал бы силу притяжения.

Если у вас есть как положительные, так и отрицательные заряды в непосредственной близости, вы следуете одной и той же базовой процедуре:

Конечно, силовые линии электрического поля на самом деле лежат в трех измерениях, как показано в этом видеоролике.

Предоставлено Penn State Schuylkill

 

 

Сравнение электростатики и гравитации

Поскольку гравитация и электростатика имеют много общего, давайте на минутку сравним электростатику и гравитацию.

 

Большая разница между электростатикой и гравитацией? Гравитационная сила может только притягивать, а электростатическая сила может и притягивать, и отталкивать. Обратите внимание еще раз, что и напряженность электрического поля, и напряженность гравитационного поля подчиняются закону обратных квадратов. Сила поля обратно пропорциональна квадрату расстояния.

 

Электрическое поле — Энергетическое образование

Энергетическое образование

Меню навигации

ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ

ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЕ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

ИНДЕКС

Поиск

Электрическое поле — один из фундаментальных результатов электромагнетизма, создаваемый статическим (неподвижным) зарядом или динамическим (изменяющимся во времени) магнитным полем. Электрическое поле определяется как сила на единицу заряда, определяемая уравнением:

[математика]E=\frac{F}{q}[/math],

где [math]q[/math] — заряд в кулонах (C). 2[/math] в простых случаях. Для сложных распределений заряда электрическое поле может иметь довольно много различных взаимосвязей, см. галерею рисунков ниже (более полное обсуждение см. в гиперфизике.

Однако есть одно существенное отличие: гравитационные поля ограничиваются притяжением (притягиванием объектов друг к другу), тогда как электрические поля могут быть как притягивающими, так и отталкивающими, в зависимости от заряда объекта в поле. По определению, положительный заряд в приведенном выше уравнении силы будет испытывать силу отталкивания (он будет удаляться от источника поля), а отрицательный заряд будет ощущать силу притяжения.

Из-за этой притягательной/отталкивающей природы электрических полей существует обозначение для их рисования. Линии электрического поля положительного стационарного заряда направлены радиально от него (перпендикулярные линии от его поверхности во всех направлениях), а линии отрицательного стационарного заряда направлены радиально к нему.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *