Преобразование из звезды в треугольник: 14. Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник | 9. Анализ цепей постоянного тока | Часть1

Содержание

14. Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник | 9. Анализ цепей постоянного тока | Часть1

14. Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник

Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник

Во многих схемах можно встретить такие конфигурации компонентов, в которых невозможно выделить последовательные или параллельные цепи. К этим конфигурациям относятся соединения компонентов в виде звезды (Y)  и треугольника (Δ):

 

 

Очень часто, в ходе анализа электрических цепей, оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически, чаще возникает необходимость преобразования треугольника в звезду. Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. Иными словами, эквивалентные Δ и Y цепи ведут себя одинаково.

Существует несколько уравнений, используемых для преобразования одной цепи в другую:

 

 

Δ и Y цепи очень часто встречаются в 3-фазных сетях переменного тока, но там они, как правило, сбалансированы (все резисторы равны по значению) и преобразование одной цепи в другую не требует таких сложных расчетов. Тогда возникает вопрос: где мы сможем использовать эти уравнения?

Использовать их можно в несбалансированных мостовых схемах:

 

 

Анализ данной схемы при помощи Метода Токов Ветвей или Метода Контурных Токов довольно сложен. Теорема Миллмана и Теорема Наложения здесь тоже не помощники, так как в схеме имеется только один источник питания. Можно было бы использовать теорему Тевенина или Нортона, выбрав в качестве нагрузки резистор R3, но и здесь у нас вряд ли что-нибудь получится.

Помочь в этой ситуации нам сможет преобразование треугольник — звезда.  Итак, давайте выберем конфигурацию резисторов R1, R2 и R3, представляющих собой треугольник (R

ab, Rac и Rbc соответственно), и преобразуем ее в звезду:

 

 

После преобразования схема примет следующий вид:

 

 

В результате преобразования у нас получилась простая последовательно-параллельная цепь. Если мы правильно выполним расчеты, то напряжения между точками А, В и С преобразованной схемы будут аналогичны напряжениям между этими же точками исходной схемы, и мы сможем вернуть их обратно.

 

 

 

Сопротивления резисторов R4 и R5 остаются неизменными: 18 и 12 Ом соответственно. Применив к схеме последовательно-параллельный анализ, мы получим следующие значения:

 

 

Теперь, используя значения напряжений из приведенной выше таблицы, нам нужно рассчитать напряжения между точками А, В и С. Для этого мы применим обычную математическую операцию сложения (или вычитания для напряжения между точками В и С):

 

 

 

 

Переносим эти напряжения в исходную схему (между точками А, В и С):

 

Напряжение на резисторах R4 и R5 останется таким же, каким оно было в преобразованной схеме.

К данному моменту у нас есть все необходимые данные для определения токов через резисторы (используем для этой цели Закон Ома I = U / R):

 

 

Моделирование при помощи программы PSPICE подтвердит наши расчеты:

 

 

 

 

Преобразование треугольник/звезда: что за сценой?

Добавлено 17 июня 2019 в 12:15

Сохранить или поделиться

Преобразования треугольник/звезда позволяют нам заменить часть схемы другой схемой, которая, хотя и эквивалентна в поведении, но может значительно упростить анализ общей схемы. Здесь мы узнаем, откуда берутся эти преобразования.

Зачем?

Когда мы начали изучать электронику, резисторы были соединены либо последовательно, либо параллельно, и мы научились заменять такие комбинации их эквивалентными сопротивлениями, часто с целью уменьшения всей сети сопротивлений до единственного эквивалентного сопротивления, видимого из источника питания. После этого появились схемы (рисунок 1), которые содержали резисторы, которые не были ни последовательными, ни параллельными, но их всё же можно было убрать, тщательно определяя и сокращая фрагменты схемы в правильном порядке. Обратите внимание, что R1 не параллелен и не последователен ни с R2, ни с R3, но путем объединения R2 последовательно с R4, и объединяя R3 последовательно с R5, мы можем затем объединить эти два эквивалентных сопротивления параллельно и, наконец, объединив результат последовательно с R1, получить полное сопротивление, видимое источнику питания, которое, используя закон Ома, поможет получить общий ток источника питания.

Рисунок 1

Но теперь мы подошли к схемам (рисунок 2), где нет никаких пар резисторов, которые включены последовательно или параллельно, – похоже, мы зашли в тупик. Одним из способов анализа этой схемы является использование закона напряжений Кирхгофа (второй закон) и закона токов Кирхгофа (первый закон) для получения алгебраических уравнений, которые мы можем решить для напряжений и токов. Хотя этот подход будет работать всегда (для этой и большинства других типов схем), он может быть довольно громоздким. Мы могли бы смириться с этим как с ценой возможности анализа этих более сложных схем, но иногда мы можем избежать оплаты этого счета, изменяя или «преобразовывая» фрагменты схемы, чтобы превратить ее в нечто, что мы можем уменьшить, используя только правила последовательного/параллельного объединения.

Рисунок 2

Для простоты мы будем рассматривать только цепи постоянного тока с резисторами, но эти принципы применимы к любой линейной системе переменного или постоянного тока. Кроме того, чтобы сфокусировать обсуждение на преобразованиях, мы найдем только общий ток, поставляемый источником напряжения, что означает, что мы стремимся свести всю сеть резисторов в единое эквивалентное сопротивление.

Давайте рассмотрим эти две схемы немного подробнее (рисунок 3). Мы видим, что единственная разница между ними заключается в том, что находится внутри пунктирных окружностей. В каждом случае цепь в окружности имеет три контакта, которые пересекают окружность для взаимодействия с остальной частью схемы. В левой цепи (рисунок 3(a)) резисторы подключены к контактам в конфигурации «треугольник» (в англоязычной литературе, конфигурация «delta», «дельта», названная в честь заглавной греческой буквы Δ). А в правой цепи резисторы подключены в конфигурации «звезда» (в англоязычной литературе, конфигурация «wye», «уай», названная в честь заглавной английской буквы Y, хотя в схеме она перевернута).

Рисунок 3

Теперь представьте, что резисторы внутри пунктирной окружности в левой цепи помещены в черный ящик, этот ящик удален из схемы и заменен другим черным ящиком, который заставляет схему вести себя точно так же. Далее представьте, что, когда вы открываете, этот новый ящик он содержит три резистора, расположенных как в правой цепи. Кто бы ни придумал второй черный ящик, он очень тщательно выбрал значения резисторов так, чтобы эти два блока были неразличимы для остальной части схемы: мы знаем, как анализировать правую схему, и теперь мы знаем, что когда мы это делаем, результаты можно применить к левой схеме, потому что они эквивалентны. Вот зачем выполнять преобразования «треугольник→звезда» и «звезда→треугольник».

Основные соотношения

Чтобы определить уравнения, связывающие резисторы в цепи, соединенной треугольником, с резисторами в цепи, соединенной звездой, нам ничего не нужно, кроме наших надежных формул для последовательных/параллельных соединений (и немного алгебры). Идея заключается в выравнивании эквивалентных сопротивлений между соответствующими парами контактов при отключенном оставшемся контакте (рисунок 4)

Рисунок 4

Выполнив это для эквивалентного сопротивления между контактами B-C, мы получим:

\[R_B + R_C = \frac{R_{BC} \left( R_{AB} + R_{AC} \right) }{R_{AB} + R_{BC} + R_{AC}}\]

Если мы повторим этот процесс для каждой другой пары контактов по очереди, мы получим еще два аналогичных уравнения, и любое из них даст нам необходимую нам информацию (при условии, что мы распознаем задействованную симметрию).

Частный случай: симметричные схемы

Если сопротивления в каждом плече цепи, соединенной треугольником или звездой, равны, такая цепь считается «симметричной». Это означает, что

\[R_∆ = R_{AB} = R_{BC} = R_{AC}\]

\[R_Y = R_A = R_B = R_C\]

Комбинация этого условия с соотношением из предыдущего раздела сразу приводит к уравнению преобразования для случая симметрии.

\[2R_Y = \frac{R_∆(2R_∆)}{3R_∆}\]

\[R_Y = \frac{R_∆}{3}\]

\[R_∆ = 3R_Y\]

Это гораздо более значительный результат, чем может показаться на первый взгляд, и причина довольно проста – когда инженеры проектируют схемы с соединениями треугольник или звезда, они часто стараются сделать эти схемы симметричными. Хотя, конечно, это не всегда возможно, и поэтому мы должны иметь возможность разобраться с общим случаем, когда схема не симметрична.

Общий случай преобразования треугольник→звезда

Для преобразования треугольник/звезда нам дана известная схема, соединенная треугольником, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной звездой, – поэтому мы пытаемся найти {RA, RB, RC} для заданных {RAB, RBC, RAC}.

Мы начнем с того, что запишем наши основные соотношения из первоначального вида в несколько более компактной форме, определив новую величину, RΔS, которая равна сумме сопротивлений всех резисторов в цепи, соединенной треугольником.

\[R_{ΔS}=R_{AB}+R_{BC}+R_{AC}\]

Затем мы делаем перестановку нашего соотношения для получения вида линейного алгебраического уравнения с неизвестными {RA, RB, RC}.

\[(0)R_A+(R_{ΔS})R_B+(R_{ΔS})R_C=R_{AB}R_{BC}+R_{BC}R_{AC}\]

Поскольку у нас есть три неизвестных, нам нужно еще два уравнения. Они получаются из эквивалентных сопротивлений, видимых при рассмотрении двух других пар контактов. Выполнив это (или используя симметрию) мы получаем

\[(R_{ΔS})R_A+(0)R_B+(R_{ΔS})R_C=R_{AB}R_{AC}+R_{BC}R_{AC}\]

\[(R_{ΔS})R_A+(R_{ΔS})R_B+(0)R_C=R_{AB}R_{AC}+R_{AB}R_{BC}\]

Сложив эти два уравнения вместе и вычтя наше первое уравнение, мы получим

\[2(R_{ΔS})R_A=2R_{AB}R_{AC}\]

\[R_A= {R_{AB}R_{AC} \over R_{ΔS}}\]

Мы можем решить систему уравнению для двух других неизвестных сопротивлений (или использовать симметрию), чтобы получить

\[R_B= {R_{AB}R_{BC} \over R_{ΔS}}\]

\[R_C= {R_{AC}R_{BC} \over R_{ΔS}}\]

Эти отношения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное к каждому узлу в эквивалентной цепи, соединенной звездой, равно произведению сопротивлений, подключенных к соответствующему узлу в цепи, соединенной треугольником, деленному на сумму сопротивлений всех резисторов в треугольнике. Обычно это выражается формулой, такой как

\[R_N= {R_{N1}R_{N2} \over R_{ΔS}}\]

где

  • RN – резистор, подключенный к контакту N в схеме «звезда»;
  • RN1 и RN2 – резисторы, подключенные к контакту N в схеме «треугольник»

Общий случай преобразования звезда→треугольник

Для преобразования звезда→треугольник нам дана известная схема, соединенная звездой, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной треугольником. Следовательно, мы пытаемся найти {RAB, RBC, RAC} для заданных {RA, RB, RC}.

Это не так просто, как в случае преобразования треугольник→звезда потому, что неизвестные сопротивления перемножаются вместе, делая результирующие уравнения нелинейными. К счастью, мы можем обойти это неудобство, рассмотрев отношения сопротивлений резисторов в каждой цепи. Например, взяв отношение RA к RB, мы получаем

\[{R_A \over R_B} = { R_{AB}R_{AC} \over R_{AB}R_{BC} } = {R_{AC} \over R_{BC} }\]

Другими словами, отношение сопротивлений резисторов, подключенных к любым двум контактам в схеме звезда, равно отношению сопротивлений резисторов, соединяющих те же самые два контакта с третьим контактом в схеме треугольник. Следовательно, два других соотношения будут следующими

\[{R_B \over R_C} = {R_{AB} \over R_{AC} }\]

\[{R_A \over R_C} = {R_{AB} \over R_{BC} }\]

Вооружившись этим, мы могли бы вернуться к нашим основным соотношениям и продолжить работу с ними, но в качестве отправной точки проще использовать одно из отношений из общего случая преобразования треугольник→звезда.

\[R_A= {R_{AB}R_{AC} \over R_{AB} + R_{BC}+R_{AC} }\]

\[R_{AB}R_{AC} = R_A (R_{AB} + R_{BC}+R_{AC})\]

\[R_{AB} = R_A \left( {R_{AB} + R_{BC}+R_{AC} \over R_{AC} } \right)\]

\[R_{AB} = R_A \left( {R_{AB} \over R_{AC}} + {R_{BC} \over R_{AC} } + 1 \right)\]

\[R_{AB} = R_A \left( {R_{B} \over R_{C}} + {R_{B} \over R_{A} } + 1 \right)\]

\[R_{AB} = R_A + R_B + {R_AR_B \over R_C } \]

Два других выражения получаются аналогично (или согласно симметрии):

\[R_{BC} = R_B + R_C + {R_B R_C \over R_A } \]

\[R_{AC} = R_A + R_C + {R_A R_C \over R_B } \]

Эти выражения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное между каждой парой узлов в эквивалентной схеме, соединенной треугольником, равно сумме сопротивлений двух резисторов, подключенных к соответствующим узлам в схеме, соединенной звездой, плюс произведение сопротивлений этих двух резисторов, деленное на сопротивление третьего резистора.

Общий способ выразить это состоит в том, чтобы поместить правую часть под общим знаменателем, а затем отметить, что числитель в каждом выражении является суммой произведений каждой пары сопротивлений в цепи, соединенной звездой, а знаменатель – это сопротивление, подключенное к третьему контакту.

\[R_{AB}={R_P \over R_C}\]

\[R_P = R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C\]

Пример

Рисунок 5

Давайте поработаем с задачей, показанной на рисунке 5. Прежде чем мы начнем, давайте определим ожидаемый ответ, чтобы у нас была хорошая проверка того, является ли наш окончательный ответ правильным. Для этого рассмотрим роль мостового резистора 150 Ом. Этот резистор служит для уменьшения общего сопротивления, обеспечивая путь между левой и правой сторонами цепи. Следовательно, самое высокое эффективное сопротивление будет иметь место, если этот резистор будет удален полностью, и в этом случае полное сопротивление будет равно параллельной комбинации левой и правой сторон, что приведет к

\[R_{экв.max}=(100 +220)||(470+330)=228,6 \; Ом\]

С другой стороны, наименьшее общее сопротивление было бы получено путем уменьшения мостового резистора до прямого короткого замыкания, и в этом случае общее сопротивление было бы равно параллельной комбинации двух верхних резисторов, включенной последовательно с параллельной комбинацией двух нижних резисторов, что приведет к

\[R_{экв.min}=(100||470)+(220||330)=214,5 \; Ом\]

Теперь мы ЗНАЕМ, что наш ответ ДОЛЖЕН быть между этими двумя предельными значениями. Во многих случаях простой анализ границ, такой как этот, приводит к ответу, который «достаточно хорошо» подходит для данной цели, но давайте предположим, что это не так. Используя приведенные выше уравнения преобразования треугольник→звезда, мы сначала определяем сумму сопротивлений резисторов треугольника.

\[R_{ΔS}=100+150+470=720 \; Ом\]

А затем находим значение R1, перемножив сопротивления двух резисторов, которые подключены к верхнему контакту, и разделив это произведение на сумму всех трех сопротивлений.

\[R_1={100⋅470 \over 720}=65,28 \; Ом\]

Повторим это же для R2.

\[R_2={100⋅150 \over 720}=20,83 \; Ом\]

Мы могли бы повторить это еще раз для R3, но давайте, вместо этого, определим R3, используя свойства отношений.

\[{R_3 \over R_1}={150 \over 100}⇒R_3=1,5R_1=97,92 \; Ом\]

Теперь, когда у нас есть все сопротивления для эквивалентной схемы звезда, мы можем очень легко определить общее сопротивление.

\[R_{экв.}=R_1+[(R_2+220)||(R_3+330)]=219,4 \; Ом\]

Поскольку это значение находится между нашими минимальной и максимальной границами, мы полностью уверены, что это правильный ответ, или, даже если мы допустили ошибку, наш ответ довольно близок к правильному. Поэтому суммарный ток равен

\[I={12\; В \over 219,4 \; Ом}=54,7 \; мА\]

Заключение

Теперь мы увидели, что преобразования треугольник/звезда полезны, и, что более важно, увидели, как их можно легко выполнить, используя не более чем концепцию эквивалентных сопротивлений с использованием последовательных/параллельных комбинаций резисторов. Это может хорошо вам помочь, поскольку дает вам возможность вывести эти формулы на лету, если когда-нибудь возникнет в них необходимость, и у вас не будет подходящего справочного материала. Но что еще более важно, это должно служить для более прочного закрепления фундаментальных понятий в наборе инструментов, который хранится у вас в голове, позволяя вам использовать в своей работе еще более эффективные навыки анализа цепей.

В конце мы должны принять к сведению распространенное заблуждение, заключающееся в том, что преобразования треугольник↔звезда являются ЕДИНСТВЕННЫМ способом анализа цепей, которые нельзя уменьшить другими способами. В действительности, хотя эти преобразования могут сделать нашу жизнь проще, они не обязательны, поскольку ЛЮБОЙ контур, который можно проанализировать с их помощью, также можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, либо напрямую, либо с помощью одного из более формализованных методов их применения, включая метод контурных токов или метод узловых напряжений, а также с методиками, такими как эквивалентная схема Тевенина.

Оригинал статьи:

Теги

Анализ цепейТреугольник-звезда

Сохранить или поделиться

Преобразование звезды в треугольник и преобразование треугольника в звезду

Содержание:

Преобразование звезды в треугольник и преобразование треугольника в звезду

Преобразуйте звезду в треугольник и преобразуйте треугольник в звезду. Соединение называется «Звезда», соединение 3 резисторов в виде 3-проводной звезды (рис.25) и соединение 3 резисторов, образующих стороны треугольника (рис.26), называется соединением»треугольник». в узлах I, 2, 3(их потенциалы>. (Си + Си + г)= 0 Отсюда _ > 1(&»+£и> — » Prfft-1■■■ ’(1.27)

  • Ток в цепи на рис. 25, 25 должен быть равен току / x. для 26 потенциальных значений ΦXX, φ2, φ» , а коэффициент φ8 на правой стороне (1.27) должен равняться коэффициенту φ3 на правой стороне. (1.26). Так… Точно так же . ..(1.28) ги + ГТ + гр I13 = гиг(1.29) ги + ГТ + ГТ ’ С%3-гиг*(1.30) ги + ГТ + ГТ ’
коэффициент φ2 на правой стороне (1.27) равен коэффициенту φ2 на правой стороне (1.26) Людмила Фирмаль

Формула (1.28)-(1.30)позволяет найти проводимость сторон треугольника через проводимость лучей звезды. Они имеют структуру, которую очень легко запомнить: индекс проводимости молекул справа соответствует индексу проводимости слева, а сумма проводимости лучей звезды находится в знаменателе. 13-• мерзавец Структура формулы (1.35)-(1.37) аналогична структуре формулы (1.28)-(1.30).

  • Утилита для преобразования треугольников в звезды может быть показана, например, на рисунке 3. 27.На рисунке 27 показана схема перед преобразованием, а преобразованный треугольник показан с пунктирной линией вокруг него. На рисунке 27b показана та же схема, но после преобразования.

Расчет тока в ней значительно проще, чем расчет тока в цепи на рисунке 2(например, по методу 2 узлов). 27 а. 28.In диаграмма диаграмма, диаграмма перед преобразованием показана.

полезность преобразования звезд в треугольники можно увидеть на примере схематической схемы. Людмила Фирмаль

Пунктирная линия окружает звезду, которая преобразуется в треугольник. Рисунок 28b показывает рисунок после преобразования. Схема была сведена к последовательному и параллельному подключению резистора. 。

Пример 14.Найти сопротивление в цепи Рисунок 27b сопротивление цепи f?18, Ф?32-27 а И Формула(1.37) Каждый равен 2,3 5 ом. Двадцать восемь Решение. По формуле (1.35) Формула (1.36) s > 1 м 1 (Пр)) — ! 5 {ом}-

Смотрите также:

Предмет электротехника тоэ

2.2.4. Преобразование «звезды» в «треугольник» (рис. 2.8)

Рис. 2.8. – Соединение сопротивлений в «треугольник» и «звезду»

Рис. 2.8. – Соединение сопротивлений в треугольник» и «звезду

2.4. Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии

При расчете электрических цепей в большинстве случаев известны параметры источников ЭДС, сопротивления элементов электрической цепи. Задача расчета электрической цепи сводится к определению токов в ветвях. По найденным токам можно рассчитать напряжения на элементах цепи, мощность отдельных элементов и электрической цепи в целом, мощность источников, сечения проводников.

Для расчета электрических цепей с одним источником энергии применяется метод эквивалентных преобразований, заключающийся в постепенном преобразовании и замене последовательно и параллельно соединенных элементов эквивалентными. Всю группу элементов цепи заменяют одним эквивалентным. Преобразования начинают в ветвях, наиболее удалённых от источника. Затем в преобразованной (предельно простой) цепи по закону Ома определяют ток. Полученные в процессе преобразования расчетные схемы позволяют определить токи во всех остальных ветвях.

Пример 1: Рассчитать эквивалентное сопротивление цепи Rэкв и, токи в каждом резисторе.

Дано: R1 = 3 Ом; R2 = 2 Ом; R

3 = 5 Ом; R4 = 10 Ом; E = 50 В.

Рис. 2.9 — Пример эквивалентных преобразований: а) схема электрической цепи до преобразования; б) расчетная схема после первого преобразования; в) — расчетная схема после второго (окончательного) преобразования

Определить токи в ветвях схемы, представленной на рис. 2.9, а.

Выбираем направления токов в ветвях. Преобразуем параллельно соединенные резисторы R2 и R3, заменяя их эквивалентным элементом R2, 3

Расчетная схема после первого преобразования показана на рис. 2.9, б.

Проводим второе преобразование. Для этого последовательно соединенные резисторы R1, R2, 3, R4 заменяем одним эквивалентным RЭКВ.

RЭКВ = R1 + R2, 3 + R4 = 3 + 1,43 + 10 = 14,43 Ом.

Теперь исходная схема сведена к простейшей, показанной на рис. 2.9, в, в которой

Для определения токов I2 и I3, необходимо определить напряжение Uаб, рис. 2.9, а, которое рассчитываем по рис. 2.9, б

Uаб = R2, 3·I1 = 1,43·3,47 = 4,96 В.

Возвращаясь к схеме рис 2.9, а, получим

Для проверки правильности расчета токов составляем баланс мощности. Мощность, вырабатываемая всеми источниками энергии в цепи, должна быть равна мощности, потребляемой всеми приёмниками электрической энергии (нагрузкой). Относительная погрешность расчета не должна превышать одного процента.

Мощность, вырабатываемая источником ЭДС

РИ = Е·I1 = 50·3,47 = 173,5 Вт.

Мощность, потребляемая нагрузкой

Погрешность баланса мощности

Если баланс сходится с допустимой погрешностью, то расчет токов выполнен верно.

Пример выполнения задачи 1.

Для электрической цепи постоянного тока, приведенной на рис. 4:

1. Рассчитать эквивалентное сопротивление цепи.

2. Рассчитать ток в каждом резисторе.

3. Проверить выполнение первого закона Кирхгофа во всех узлах схемы и второго Закона Киhхгофа для одного из контуров.

4. Определить мощности, рассеиваемые на резисторах схемы.

5. Проверить выполнение баланса мощностей

Рис. 4. Электрическая цепь постоянного тока

1. Расчет эквивалентного сопротивления цепи проводим методом последовательных эквивалентных преобразований..

а) б) в)

Рис. 5. «Этапы эквивалентного преодразования электрической цепи

Эквивалентное сопротивление ветвей R3 и R4 соединенных параллельно определяем по формуле:

,

.

Эквивалентное сопротивление элементов R2, R34 и R

5, соединенных последовательно находим по формуле:

,

.

Эквивалентное сопротивление всей цепи (R2345 и R1 -соединены параллельно):

,

.

2. Рассчитаем токи во всех ветвях.

Ток, потребляемый цепью от источника питания:

,

.

Ток в ветви R1:

Ток в ветви R2345:

,

.

Определяем потенциал узла «б»:

,

.

Определяем потенциал узла «в»:

.

Очевидно, что I5 = I2, откуда

.

Определяем разность потенциалов между узлами «б» и «в»:

,

.

Определяем токи в ветвях R3 и R4:

,

;

,

.

3. Проверяем выполнение первого закона Кирхгофа для токов в узлах.

Для узла «а»: ,

.

Для узла «б»: ,

.

Для узла «в»: ,

.

Проверяем выполнение второго закона Кирхгофа для контура R5, R3, R2, R1:

,

,

.

4. Определяем мощности, рассеиваемые на резисторах:

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

5. Проверяем выполнение баланса мощностей.

Мощность, потребляемая цепью от источника питания:

,

.

Составляем уравнение для проверки баланса мощностей:

,

,

.

Баланс мощностей выполняется.

Методические указания к выполнению задания 2.

Методы расчета цепей постоянного тока

Под расчетом цепи, в общем случае, понимают нахождение токов во всех ветвях схемы.

Основные методы расчета:

1. Метод токов ветвей или метод непосредственного применения законов Кирхгофа..

2.Метод контурных токов.

3. Метод узловых напряжений.

4. Метод наложения.

5. Метод эквивалентных преобразований

Метод токов ветвей

  • В общем случае токи сложной электрической цепи могут быть определены в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Для однозначного нахождения всех токов необходимо составить в уравнений, где в— число ветвей схемы (без источников тока).

  • Последовательность расчета следующая:

1. Проводят топологический анализ схемы.

1.1. обозначают токи во всех ветвях (I1, I2, …,Iв), произвольно выбирают их положительное направление и показывают на схеме стрелками. Число токов -в.

1.2. подсчитывают общее число узлов у и определяют число независимых узлов Nу=у-1 и показывают их на схеме;

1.3. подсчитывают число независимых контуров Nk = в-у+1, и показывают их на схеме дугой.

2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов и по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно токов ветвей записывают уравнения. После приведения подобных членов они сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)

где xi =Ii– искомые токи ветвей; aji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; вi – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3. Решая систему из в уравнений относительно токов, по методу Крамера находят токи во всех ветвях схемы:

где D – главный определитель системы; Di – определитель, получается из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов вi.

Если значения некоторых токов отрицательные, то действительные направления их будут противоположны первоначально выбранным направлениям. I1

Пример 1. Для электрической цепи рис. 1.1 n = 2, m = 3, и расчет токов цепи осуществляется путем решения следующей системы уравнений

Пример 2 . Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис.

Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.

Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической цепи с несколькими источниками энергии: I, II, III – номера контуров

1. Проводим топологический анализ.

Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).

2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа

Для узла «а» — I1I2 + I4 = 0.

Для узла «б» — I1 + I2I3I5 = 0.

Остальные m — (n — 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.

Для контура I — R1·I1R2·I2 = — E1 + E2.

Для контура II — R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 = — E2E3.

Для контура III — — R3·I3 + R5·I5 = E3.

Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.

При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде

I1I2 + 0 + I4 + 0 = 0

I1 + I2I3 + 0 — I5 = 0

R1·I1R2·I2 + 0 + 0 + 0 = — E1 + E2

0 + R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 + 0 = — E2E3

0 + 0 + — R3·I3 + 0 + R5·I5 = E3.

В матричной форме

или [R]·[I] = [Е],

где [R] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;

[I] – матрица — столбец неизвестных токов;

[E] – матрица — столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.

Решение матричного уравнения ищут в виде

[I] = [R]-1·[E],

где [R]-1 – матрица, обратная матрице [R].

Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.

Метод контурных токов

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).

Эта схема эквивалентна, если

а)E = IZiI;

б) ZiII = ZiI.

1) Топологический анализ схемы.

а) определяют число ветвей b.

б) определяют число узлов у.

в) подсчитывают число независимых контуров Nk = by + 1.

Все независимые контура показывают дугой со стрелкой на них, которая показывает положительное направление обхода контура.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: Ik1; Ik2;IkNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений Nk = Nkпорядка:

где Iki– контурный токi-го контура;

Zii– собственное сопротивлениеi-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих вi-й контур;

Zji– сопротивление смежных ветвей междуi-м иj-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

Eki– контурная ЭДСi-ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих вi-й контур. Контурная ЭДСEkiберется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

3) По правилу Крамера находят контурные токиIki=.

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. В алгебраической сумме контурные токи берутся со знаком «+» , если ток ветви и совпадает с контурным током и «–» если не совпадает.

Если токи ветви оказались положительными, то выбранное направление тока совпадает с истинным и наоборот.

Пример.Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях.

1. Проводим топологический анализ

а) b= 6; б)y= 4;в)Nk= 6 – 4 + 1=3.

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

где:

E11= E1; E22 = 0;E33 = 0.

3) По методу Крамера находим контурные токи Iki = .

4) Находим токи в ветвях: IIk1; I= = Ik– Ik2; I= Ik1 Ik3; I4 = –IkIk3; I5 = Ik2; I6 = Ik3.

Пример 2. Пример расчета по заданию №2

На рис. 1 приведена исходная схема замещения цепи постоянного тока, параметры которой заданы

Рис. 1.

1. Выполнение первого пункта задания [1, 2, 5, 6].

1.1. Проводим эквивалентные преобразования с целью упрощения расчетов. Объединяем последовательно соединенные -элементы (рис. 2)

1.2. Произвольно задаем положительные направления токов в ветвях схемы (рис.2).

Рис. 2.

1.3. Составляем часть уравнений расчетной системы, используя только первый закон Кирхгофа. Выбираем узлов на схеме (данная схема содержитузла, которые отмечены арабскими цифрами) и для каждого из них составляем уравнение по первому закону Кирхгофа

1.4. Всего необходимо составить уравнений в расчетной системе (- число неизвестных токов, равное числу ветвей на схеме). Поэтому число уравнений, которое необходимо составить, используя второй закон Кирхгофа, равно(для данной схемыи).

1.4.1. Выбираем независимых контуров на схеме, в каждом из них произвольно задаем направление обхода контура (отмечено круглыми стрелками на рис.2).

1.4.2. Для каждого из выбранных контуров составляем уравнение, используя второй закон Кирхгофа, а также закон Ома ()

1.5. Полученные уравнения объединяем в систему, которую упорядочиваем

и представляем в матричной форме записи, подставив численные значения параметров схемы

.

Первый пункт задания выполнен.

2. Выполнение второго пункта задания [1, 2, 5, 6].

2.1. Используя эквивалентно преобразованную схему (рис.2), произвольно задаем положительное направление токов в каждой ветви схемы (рис.3) (в данном примере они оставлены без изменения).

2.2. Выбираем независимых контуров на схеме, в каждом из них произвольно задаем направление контурного тока(отмечено круглыми стрелками на рис.3).

Рис. 3.

2.3. Определяем составляющие системы контурных уравнений:

; ;;

Ом; Ом;Ом;

В.

Знаки слагаемых при определении контурных ЭДС определяются совпадением (+) или несовпадением (–) положительного направления ЭДС источника, входящего в рассматриваемый контур, с направлением контурного тока этого же контура.

2.4. Составляем систему контурных уравнений. При этом используем для каждого контура второй закон Кирхгофа и принцип наложения (суперпозиции)

На первом месте в левой части уравнений стоят составляющие полного напряжения в контуре, представляющие собой частичное напряжение, вызванное протеканием в рассматриваемом контуре собственного контурного тока. Знак этих слагаемых всегда положителен (+) (условно это можно обосновать тем, что контурный ток рассматриваемого контура «сам с собой всегда совпадает»). Остальные слагаемые представляют собой частичные напряжения, вызванные протеканием контурных токов смежных контуров на общих ветвях с рассматриваемым контуром. Знак этих слагаемых определяется совпадением (+) или несовпадением (–) контурных токов смежных контуров на их общих ветвях.

2.5. Полученную систему упорядочиваем

и представляем в матричной форме записи, подставив численные значения составляющих системы контурных уравнений

.

2.6. Решаем полученную систему контурных уравнений, используя правило Крамера [1]:

2.6.1. Вычисляем главный определитель системы, разворачивая квадратную матрицу контурных сопротивлений по первой строке (следует заметить, что величина определителя не зависит от того, по какой строке или столбцу его разворачивают)

2.6.2. Вычисляем дополнительные определители системы, последовательно заменяя столбцы матрицы контурных сопротивлений матрицей-столбцом контурных ЭДС. Каждый дополнительный определитель рассчитываем, разворачивая его по первой строке аналогичным образом

;

;

;

2.6.3. Определяем контурные токи

; ;.

2.7. Используя рассчитанные контурные токи, определяем реальные токи в ветвях схемы. Руководствуемся правилом: реальные токи в независимых ветвях схемы (принадлежащих только одному контуру) определяются только контурным током рассматриваемого контура

.

Реальные токи в общих ветвях между смежными контурами определяются по принципу наложения: алгебраической суммой смежных контурных токов. При этом знак каждого контурного тока определяется совпадением (+) или несовпадением (–) его направления с заданным положительным направлением реального тока в рассматриваемой ветви.

.

Второй пункт задания выполнен.

3. Выполнение третьего пункта задания [1, 2, 5, 6].

Рассматриваемая схема замещения содержит четыре узла, поэтому к заданной схеме метод двух узлов непосредственно не применим.

3.1. Используя эквивалентное преобразование участка схемы , соединенного по схеме «треугольник», в участок, соединенный по схеме «звезда» (отмечен на рис. 4 пунктиром), приводим начальную схему к схеме, содержащей два узла (рис.5).

Рис. 4. Рис. 5.

При этом

.

Эквивалентно объединяя последовательно соединенные -элементы в каждой ветви, получаем исходную схему для расчета методом двух узлов (рис. 6).

Рис. 6.

При этом

3.2. Произвольно задаем положительное направление токов в ветвях схемы и положительное направление узлового напряжения (рис. 6).

3.3. Рассчитываем проводимости ветвей схемы

.

3.4. Используя основную формулу метода, определяем узловое напряжение :

.

Знак слагаемых числителя определяется несовпадением (+) или совпадением (–) положительного направления и положительного направления ЭДС рассматриваемой ветви.

3.5. Рассчитываем неизвестные токи в ветвях, используя обобщенный закон Ома

Проанализируем результаты расчета. На рис. 5 в каждой ветви источник ЭДС и -элементы соединены последовательно. Поэтому токи в этих ветвях равны рассчитанным. Однако участки схемы в окрестности источников не были охвачены преобразованием. Следовательно, в соответствии с условием эквивалентности преобразования участков схем величина этих токов должна остаться такой же, как и до преобразования. Сравниваем по модулю значения токов, рассчитанных настоящим методом и методом контурных токов

Видно, что значения токов практически совпадают. Следовательно, оба расчета проведены корректно. Третий пункт задания выполнен.

4. Выполнение четвертого пункта задания [1, 2, 5, 6].

4.1. Разрываем шестую ветвь и произвольно задаем положительное направление токов в остальных ветвях, положительное направление напряжения холостого хода и напряжениямежду узламии(рис. 7).

Рис.7.

4.2. Определяем величину . Для этого предварительно рассчитываемметодом двух узлов.

.

.

Используя основную формулу метода, определяем узловое напряжение

.

Рассчитываем токи и, используя обобщенный закон Ома

Для контура, включающего , составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (направление обхода контура указано круглой стрелкой) и рассчитываем

,

.

4.3. Определяем входное сопротивление схемы со стороны зажимов разомкнутой ветви . Для этого эквивалентно преобразуем участок схемы, соединенный звездой, в участок, соединенный треугольником.

Рис. 8.

Преобразованная схема будет иметь вид (рис. 9)

Рис. 9.

.

Используя свойства параллельного последовательного соединения — элементов, определяем

;

.

4.4. Определяем искомый ток, используя закон Ома для замкнутой цепи

.

Аналогичный ток, рассчитанный методом контурных токов, составляет

.

Они практически совпадают. Расчет проведен верно. Четвертый пункт задания выполнен.

5. Выполнение пятого пункта задания [1, 2, 5, 6]

Составим уравнение баланса мощностей для преобразованной схемы (рис. 2) с учетом выбранного на ней положительного направления токов.

5.1. Определяем режим работы каждого активного элемента, руководствуясь правилом. Если истинное положительное направление тока, протекающего через источник ЭДС (которое можно определить только в результате расчета), совпадает с положительным направлением ЭДС этого источника, то активный элемент работает в режиме генератора. В противном случае он работает в режиме приемника.

Сопоставляя на рис. 2 заданное положительное направление токов, знаки рассчитанных токов и положительное направление ЭДС активных элементов, определяем их режим работы:

источник ЭДС — генератор,;

источник ЭДС — приемник,;

источник ЭДС — генератор,.

5.2. Составляем и численно проверяем корректность уравнения баланса мощностей (значения токов берем посчитанными методом контурных токов; мощность на пассивных приемниках определяем по закону Джоуля – Ленца)

,

где

= 545,124 Вт.

Видно, что значения суммарных мощностей практически совпадают. В то же время на примере баланса мощностей покажем проверку корректности расчета любого параметра, указанного в задании. Воспользуемся абсолютным значением относительной погрешности

Расчет считается корректным, если . Итак пятый пункт задания и все задание выполнены.

Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис. 4.31).

а) I = E/ZiI;

б) ZiII = ZiI.

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывают число ветвей bи число узловy.Определяется количество независимых узловNy =y – 1.

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где – потенциал нулевого узла.

2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для Nузлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:

,

где Yii– собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся вi-м узле, все они берутся со знаком «+»;

Yij– межузловая проводимость междуi-м иj-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;

Iii– алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся вi-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера

.

4) Токи в ветвях находят по закону Ома

I= (1 –2)/Z.

Пример.Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях.

П

I2

Z2

редварительно преобразуем все источники напряжения (рис. 4.32) в источники тока (рис. 4.33).

Z1

Z2

Z3

Z4

E1

E2

I

I1

I2

I4

I

I3

I1

Z1

Z3

Z4

Рис. 4.32 Рис. 4.33

Проведем топологический анализ.

а) число ветвей b= 4;

б) число независимых узлов Nу= 2, их потенциалы: φ1и φ2(рис. 4.33).

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

;

.

По методу Крамера найдем потенциалы узлов .

По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:

.

  1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ по теме «цепи переменного тока»

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное преобразование

При расчете разветвленных цепей и, особенно, при определении их входных сопротивлений может возникнуть вопрос о преобразовании треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду или обратного преобразования. Такая процедура становится возможной при условии неизменности потенциалов на зажимах преобразуемого участка цепи.

Рассмотрим участок цепи, соединенный треугольником (Рис. 3 .48).

Составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа для «треугольника».

Рис.3.48. Взаимное преобразование «треугольника» в «звезду»

По первому закону Кирхгофа:

«1 узел»: ;

«2 узел»: .

По второму закону Кирхгофа:

.

Решим эту систему уравнений, например, относительно тока :

Определим напряжение :

в схеме «треугольник»:

;

в схеме «звезда»:

Причем, должно выполняться такое равенство: . Приравнивая эти выражения, получим формулы перехода от соединения сопротивлений «треугольником» к сопротивлениям «звезды»:

.87(3.80)

Покажем на примере применимость данного преобразования.

Рис.3.49. Преобразование «треугольника» сопротивлений в «звезду»

Рис.3.50. Преобразование «звезды» сопротивлений в «треугольник»

Обратное преобразование из «звезды» в «треугольник» выполняется по формуле перехода:

88(3.81)

    1. Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Все методы, рассмотренные ранее, предполагали расчет токов одновременно во всех ветвях цепи. Однако в ряде случаев бывает необходимым контролировать ток в одной отдельно взятой ветви. В этом случае применяют для расчета метод эквивалентного генератора.

Пусть дана некоторая электрическая цепь, которую представим активным двухполюсником (Рис. 3 .51). Необходимо рассчитать ток в ветви ab:

1) введем в ветвь abдва источника ЭДС.иодинаковые по величине и противоположно направленные:

;

Рис.3.51. Преобразование исходного двухполюсника в сумму двух цепей

2) используя принцип наложения, данную цепь представим суммой двух цепей. В первой оставим все источники активного двухполюсника и источник ЭДС . Вторая цепь представляет собой пассивный двухполюсник и источник ЭДС.

На основании принципа наложения ток ветви ab:

;

;.

Поскольку – любые по величине, то подберем их значения такими, чтобы токбыл равен нулю. Для этого выберем.

Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равна его ЭДС. Тогда активный двухполюсник с источником может быть представлен в виде:

Рис.3.52. Схема замещения активного двухполюсника

В этой схеме эквивалентная ЭДС активного двухполюсника:

и, следовательно, ток

.

Таким образом, ток в ветви ab:

.89(3.82)

Пусть дана цепь (рис.2.12), рассчитаем ток методом эквивалентного генератора.

Рис.3.53. Исходная цепь

Последовательность расчета:

1. Разомкнем ветвь с сопротивлением Z1или примемZ1 = .

2. Зададим положительное направление и для произвольно выбранных положительных направлений токов, например, первого контура, запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

3. Токи ив преобразованной схеме (Рис. 3 .54) рассчитываем любым известным методом, например, методом контурных токов:

Тогда ;.

Рис.3.54. Преобразованная цепь

4. Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого мысленно закоротим все источники ЭДС исходной цепи, оставляя для реальных источников их внутренние сопротивления.

Рис.3.55. Схема пассивного двухполюсника

В образовавшейся схеме пассивного двухполюсника невозможно определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов ab, так как нет последовательно-параллельного соединения приемников, поэтому необходимо выполнить преобразование какого-либо участка цепи из «треугольника» в «звезду» или выполнить обратное преобразование.

Заменим, например, треугольник сопротивлений Z2–Z3–Z5в звездуZ23–Z25–Z35. При этом получится схема с последовательно-параллельным соединением приемников (Рис. 3 .55.в).

Сопротивления этой схемы:

и эквивалентное сопротивление:

.

Окончательно:

.

Преобразование электрических схем звезда треугольник

Расчет и исследование сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно облегчить и сделать более наглядным путем преобразования электрических схем одного вида в схемы другого вида. Одним из способов является эквивалентное преобразование треугольника в звезду. В этом методе выполняется преобразование пассивной части электрической цепи, т.е. приемников электрической энергии.

Определение соединения сопротивлений треугольником

Если три сопротивления соединены так, что образуют собою стороны треугольника, то такое соединение сопротивлений называют треугольником сопротивлений.

Соединение, при котором три сопротивления, находящиеся в пассивных ветвях, соединены между собою попарно и образуют замкнутый контур – называется треугольником.

Обычно в курсе электротехники принято элементы рисовать только горизонтально и вертикально. На следующем рисунке так же представлено соединение треугольником.

Определение соединения сопротивлений звездой

Если соединение трех сопротивлений имеет общий узел и имеет внешний вид трехлучевой звезды, то такое соединение сопротивлений называется звездой.

Причина преобразования треугольника в звезду

При расчете электрической цепи бывают случаи, когда нет ни последовательных, ни параллельных соединений сопротивлений. В этом случае можно попробовать отыскать соединение сопротивлений треугольником и выполнить экивалентное преобразование треугольника в звезду.

Если в электрической цепи нашли соединение сопротивлений треугольником, то в узлы соединения сопротивлений подставляем концы лучей соединения сопротивлений в виде звезды.

Далее убираем (удаляем первоначальное) соединение треугольником. В результате получается эквивалентное соединение звездой.

Формулы для расчета преобразования треугольника в звезду

Пример преобразования

Для электрической цепи необходимо выполнить преобразование треуголькника R12 – R23 – R31 в звезду.

Добавляем к узлам подключения сопротивлений треугольником концы лучей подключения сопротивлений звездой.

Удаляем соединение сопротивлений треугольником. В результате остается подключение сопротивлений звездой. По формулам рассчитываются значения сопротивлений R1, R2, R3.

Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник

Во многих схемах можно встретить такие конфигурации компонентов, в которых невозможно выделить последовательные или параллельные цепи. К этим конфигурациям относятся соединения компонентов в виде звезды (Y) и треугольника (Δ):

Очень часто, в ходе анализа электрических цепей, оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически, чаще возникает необходимость преобразования треугольника в звезду. Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. Иными словами, эквивалентные Δ и Y цепи ведут себя одинаково.

Существует несколько уравнений, используемых для преобразования одной цепи в другую:

Δ и Y цепи очень часто встречаются в 3-фазных сетях переменного тока, но там они, как правило, сбалансированы (все резисторы равны по значению) и преобразование одной цепи в другую не требует таких сложных расчетов. Тогда возникает вопрос: где мы сможем использовать эти уравнения?

Использовать их можно в несбалансированных мостовых схемах:

Анализ данной схемы при помощи Метода Токов Ветвей или Метода Контурных Токов довольно сложен. Теорема Миллмана и Теорема Наложения здесь тоже не помощники, так как в схеме имеется только один источник питания. Можно было бы использовать теорему Тевенина или Нортона, выбрав в качестве нагрузки резистор R3, но и здесь у нас вряд ли что-нибудь получится.

Помочь в этой ситуации нам сможет преобразование треугольник – звезда. Итак, давайте выберем конфигурацию резисторов R1, R2 и R3, представляющих собой треугольник (Rab, Rac и Rbc соответственно), и преобразуем ее в звезду:

После преобразования схема примет следующий вид:

В результате преобразования у нас получилась простая последовательно-параллельная цепь. Если мы правильно выполним расчеты, то напряжения между точками А, В и С преобразованной схемы будут аналогичны напряжениям между этими же точками исходной схемы, и мы сможем вернуть их обратно.

Сопротивления резисторов R4 и R5 остаются неизменными: 18 и 12 Ом соответственно. Применив к схеме последовательно-параллельный анализ, мы получим следующие значения:

Теперь, используя значения напряжений из приведенной выше таблицы, нам нужно рассчитать напряжения между точками А, В и С. Для этого мы применим обычную математическую операцию сложения (или вычитания для напряжения между точками В и С):

Переносим эти напряжения в исходную схему (между точками А, В и С):

Напряжение на резисторах R4 и R5 останется таким же, каким оно было в преобразованной схеме.

К данному моменту у нас есть все необходимые данные для определения токов через резисторы (используем для этой цели Закон Ома I = U / R):

Моделирование при помощи программы PSPICE подтвердит наши расчеты:

Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник

Во многих схемах можно встретить такие конфигурации компонентов, в которых невозможно выделить последовательные или параллельные цепи. К этим конфигурациям относятся соединения компонентов в виде звезды (Y) и треугольника (Δ):

Очень часто, в ходе анализа электрических цепей, оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически, чаще возникает необходимость преобразования треугольника в звезду. Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. Иными словами, эквивалентные Δ и Y цепи ведут себя одинаково.

Существует несколько уравнений, используемых для преобразования одной цепи в другую:

Δ и Y цепи очень часто встречаются в 3-фазных сетях переменного тока, но там они, как правило, сбалансированы (все резисторы равны по значению) и преобразование одной цепи в другую не требует таких сложных расчетов. Тогда возникает вопрос: где мы сможем использовать эти уравнения?

Использовать их можно в несбалансированных мостовых схемах:

Анализ данной схемы при помощи Метода Токов Ветвей или Метода Контурных Токов довольно сложен. Теорема Миллмана и Теорема Наложения здесь тоже не помощники, так как в схеме имеется только один источник питания. Можно было бы использовать теорему Тевенина или Нортона, выбрав в качестве нагрузки резистор R3, но и здесь у нас вряд ли что-нибудь получится.

Помочь в этой ситуации нам сможет преобразование треугольник – звезда. Итак, давайте выберем конфигурацию резисторов R1, R2 и R3, представляющих собой треугольник (Rab, Rac и Rbc соответственно), и преобразуем ее в звезду:

После преобразования схема примет следующий вид:

В результате преобразования у нас получилась простая последовательно-параллельная цепь. Если мы правильно выполним расчеты, то напряжения между точками А, В и С преобразованной схемы будут аналогичны напряжениям между этими же точками исходной схемы, и мы сможем вернуть их обратно.

Сопротивления резисторов R4 и R5 остаются неизменными: 18 и 12 Ом соответственно. Применив к схеме последовательно-параллельный анализ, мы получим следующие значения:

Теперь, используя значения напряжений из приведенной выше таблицы, нам нужно рассчитать напряжения между точками А, В и С. Для этого мы применим обычную математическую операцию сложения (или вычитания для напряжения между точками В и С):

Переносим эти напряжения в исходную схему (между точками А, В и С):

Напряжение на резисторах R4 и R5 останется таким же, каким оно было в преобразованной схеме.

К данному моменту у нас есть все необходимые данные для определения токов через резисторы (используем для этой цели Закон Ома I = U / R):

Моделирование при помощи программы PSPICE подтвердит наши расчеты:

Токи при преобразование звезда треугольник – 4apple – взгляд на Apple глазами Гика

Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник

Во многих схемах можно встретить такие конфигурации компонентов, в которых невозможно выделить последовательные или параллельные цепи. К этим конфигурациям относятся соединения компонентов в виде звезды (Y) и треугольника (Δ):

Очень часто, в ходе анализа электрических цепей, оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически, чаще возникает необходимость преобразования треугольника в звезду. Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. Иными словами, эквивалентные Δ и Y цепи ведут себя одинаково.

Существует несколько уравнений, используемых для преобразования одной цепи в другую:

Δ и Y цепи очень часто встречаются в 3-фазных сетях переменного тока, но там они, как правило, сбалансированы (все резисторы равны по значению) и преобразование одной цепи в другую не требует таких сложных расчетов. Тогда возникает вопрос: где мы сможем использовать эти уравнения?

Использовать их можно в несбалансированных мостовых схемах:

Анализ данной схемы при помощи Метода Токов Ветвей или Метода Контурных Токов довольно сложен. Теорема Миллмана и Теорема Наложения здесь тоже не помощники, так как в схеме имеется только один источник питания. Можно было бы использовать теорему Тевенина или Нортона, выбрав в качестве нагрузки резистор R3, но и здесь у нас вряд ли что-нибудь получится.

Помочь в этой ситуации нам сможет преобразование треугольник – звезда. Итак, давайте выберем конфигурацию резисторов R1, R2 и R3, представляющих собой треугольник (Rab, Rac и Rbc соответственно), и преобразуем ее в звезду:

После преобразования схема примет следующий вид:

В результате преобразования у нас получилась простая последовательно-параллельная цепь. Если мы правильно выполним расчеты, то напряжения между точками А, В и С преобразованной схемы будут аналогичны напряжениям между этими же точками исходной схемы, и мы сможем вернуть их обратно.

Сопротивления резисторов R4 и R5 остаются неизменными: 18 и 12 Ом соответственно. Применив к схеме последовательно-параллельный анализ, мы получим следующие значения:

Теперь, используя значения напряжений из приведенной выше таблицы, нам нужно рассчитать напряжения между точками А, В и С. Для этого мы применим обычную математическую операцию сложения (или вычитания для напряжения между точками В и С):

Переносим эти напряжения в исходную схему (между точками А, В и С):

Напряжение на резисторах R4 и R5 останется таким же, каким оно было в преобразованной схеме.

К данному моменту у нас есть все необходимые данные для определения токов через резисторы (используем для этой цели Закон Ома I = U / R):

Моделирование при помощи программы PSPICE подтвердит наши расчеты:

Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник

Во многих схемах можно встретить такие конфигурации компонентов, в которых невозможно выделить последовательные или параллельные цепи. К этим конфигурациям относятся соединения компонентов в виде звезды (Y) и треугольника (Δ):

Очень часто, в ходе анализа электрических цепей, оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически, чаще возникает необходимость преобразования треугольника в звезду. Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. Иными словами, эквивалентные Δ и Y цепи ведут себя одинаково.

Существует несколько уравнений, используемых для преобразования одной цепи в другую:

Δ и Y цепи очень часто встречаются в 3-фазных сетях переменного тока, но там они, как правило, сбалансированы (все резисторы равны по значению) и преобразование одной цепи в другую не требует таких сложных расчетов. Тогда возникает вопрос: где мы сможем использовать эти уравнения?

Использовать их можно в несбалансированных мостовых схемах:

Анализ данной схемы при помощи Метода Токов Ветвей или Метода Контурных Токов довольно сложен. Теорема Миллмана и Теорема Наложения здесь тоже не помощники, так как в схеме имеется только один источник питания. Можно было бы использовать теорему Тевенина или Нортона, выбрав в качестве нагрузки резистор R3, но и здесь у нас вряд ли что-нибудь получится.

Помочь в этой ситуации нам сможет преобразование треугольник – звезда. Итак, давайте выберем конфигурацию резисторов R1, R2 и R3, представляющих собой треугольник (Rab, Rac и Rbc соответственно), и преобразуем ее в звезду:

После преобразования схема примет следующий вид:

В результате преобразования у нас получилась простая последовательно-параллельная цепь. Если мы правильно выполним расчеты, то напряжения между точками А, В и С преобразованной схемы будут аналогичны напряжениям между этими же точками исходной схемы, и мы сможем вернуть их обратно.

Сопротивления резисторов R4 и R5 остаются неизменными: 18 и 12 Ом соответственно. Применив к схеме последовательно-параллельный анализ, мы получим следующие значения:

Теперь, используя значения напряжений из приведенной выше таблицы, нам нужно рассчитать напряжения между точками А, В и С. Для этого мы применим обычную математическую операцию сложения (или вычитания для напряжения между точками В и С):

Переносим эти напряжения в исходную схему (между точками А, В и С):

Напряжение на резисторах R4 и R5 останется таким же, каким оно было в преобразованной схеме.

К данному моменту у нас есть все необходимые данные для определения токов через резисторы (используем для этой цели Закон Ома I = U / R):

Моделирование при помощи программы PSPICE подтвердит наши расчеты:

Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 7.1, а.

Рис. 7.1 – Преобразования электрической цепи

Расчет можно осуществить одним из описанных выше методов. Но так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 7.2.

Рис. 7.2 – Треугольник и звезда сопротивлений

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.

Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

б) при преобразовании звузды в треугольник:

Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.

При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.

Пример 1.3. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 1.12, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.

а) Решение преобразованием треугольника в звезду.

Теперь общее сопротивление цепи легко находится:

Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен:

Токи в паралельных ветвях:

Возвращаемся к исходной схеме (рис. 7.1, а):

Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1–I3 = 26–28 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5 противоположно указанному на схеме.

б) Решение преобразованием звезды в треугольник.

Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. 7.1, а сопротивлениями R1, R5 и R3, в эквивалентный треугольник (рис. 7.1, в).

Определяем сопротивления треугольника:

Теперь рассчитываем преобразованную цепь. Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:

Затем определяем общее сопротивление и токи:

Возвращаемся к исходной схеме:

Рекомендуем подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными в примере 1.3а.

Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

преобразований Δ-Y и Y-Δ | Анализ сети постоянного тока

Во многих схемных приложениях мы встречаем компоненты, соединенные вместе одним из двух способов, чтобы сформировать трехконтактную сеть: конфигурация «Дельта» или Δ (также известная как «Пи» или π) и конфигурация «Y». (также известная как «Т») конфигурация.

Можно рассчитать правильные значения резисторов, необходимых для формирования одного типа сети (Δ или Y), который ведет себя идентично другому типу, если анализировать только на основе клеммных соединений.То есть, если бы у нас были две отдельные цепи резисторов, одна Δ и одна Y, каждая со своими резисторами, скрытыми из поля зрения, и ничего, кроме трех клемм (A, B и C), открытых для тестирования, резисторы могли бы быть рассчитаны на две сети, чтобы не было возможности электрически определить одну сеть отдельно от другой. Другими словами, эквивалентные сети Δ и Y ведут себя одинаково.

Уравнения преобразования Δ и Y

Для преобразования одной сети в другую используется несколько уравнений:

Сети

Δ и Y часто встречаются в трехфазных системах питания переменного тока (тема, описанная в томе II этой серии книг), но даже тогда они обычно являются сбалансированными сетями (все резисторы равны по номиналу) и преобразованием из одного в другие не требуют таких сложных вычислений.Когда среднему техническому специалисту понадобится использовать эти уравнения?

Применение преобразования Δ и Y

Основное применение для преобразования Δ-Y — решение несбалансированных мостовых схем, таких как приведенная ниже:

Решение этой схемы с анализом тока ответвления или тока сетки довольно сложно, и ни теоремы Миллмана, ни теоремы суперпозиции не помогают, поскольку есть только один источник энергии. Мы могли бы использовать теорему Тевенина или Нортона, рассматривая R 3 как нашу нагрузку, но разве это было бы забавно?

Если бы мы рассматривали резисторы R 1 , R 2 и R 3 как подключенные по схеме Δ (R ab , R ac и R bc соответственно) и генерировали эквивалентную сеть Y, чтобы заменить их, мы могли бы превратить эту мостовую схему в (более простую) последовательную / параллельную комбинированную схему:

После преобразования Δ-Y.. .

Если мы выполним наши вычисления правильно, напряжения между точками A, B и C в преобразованной схеме будут такими же, как и в исходной схеме, и мы сможем перенести эти значения обратно в исходную конфигурацию моста.

Резисторы R 4 и R 5 , естественно, останутся прежними при 18 Ом и 12 Ом соответственно. Анализируя схему как последовательную / параллельную комбинацию, мы приходим к следующим цифрам:

Мы должны использовать значения падения напряжения из таблицы выше, чтобы определить напряжения между точками A, B и C, наблюдая, как они складываются (или вычитаются, как в случае с напряжением между точками B и C):

Теперь, когда мы знаем эти напряжения, мы можем передать их в те же точки A, B и C в исходной мостовой схеме:

Падения напряжения на R 4 и R 5 , естественно, точно такие же, как и в цепи преобразователя.

На этом этапе мы могли бы взять эти напряжения и определить токи резисторов, многократно используя закон Ома (I = E / R):

Моделирование с использованием SPICE

Быстрое моделирование с помощью SPICE поможет проверить нашу работу:

несимметричная мостовая схема
v1 1 0
г1 1 2 12
г2 1 3 18
г3 2 3 6
г4 2 0 18
r5 3 0 12
.dc v1 10 10 1
.print dc v (1,2) v (1,3) v (2,3) v (2,0) v (3,0)
.конец
v1 v (1,2) v (1,3) v (2,3) v (2) v (3)
1.000E + 01 4.706E + 00 5.294E + 00 5.882E-01 5.294E + 00 4.706E + 00

 

Цифры напряжения, читаемые слева направо, представляют падения напряжения на пяти соответствующих резисторах, от R 1 до R 5 . Я мог бы также показать токи, но поскольку это потребовало бы вставки «фиктивных» источников напряжения в список соединений SPICE, и поскольку мы в первую очередь заинтересованы в проверке уравнений преобразования Δ-Y, а не закона Ома, этого будет достаточно.

ОБЗОР:

  • Сети «Дельта» (Δ) также известны как сети «Пи» (π).
  • Сети
  • «Y» также известны как «T» сети.
  • Сети
  • Δ и Y могут быть преобразованы в их эквивалентные аналоги с соответствующими уравнениями сопротивления. Под «эквивалентом» я подразумеваю, что две сети будут электрически идентичны, если измерять их от трех клемм (A, B и C).
  • Мостовую схему можно упростить до последовательной / параллельной схемы, преобразовав ее половину из Δ в сеть Y. После того, как падение напряжения между исходными тремя точками соединения (A, B и C) будет устранено, эти напряжения могут быть переданы обратно в исходную мостовую схему через те же эквивалентные точки.

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

Преобразование звезды в треугольник: преобразование, диаграмма и формула

Три ветви в электрической сети могут быть соединены в различных формах, но наиболее распространенными из них являются звезды или треугольник. При соединении треугольником три ветви соединены так, что образуют замкнутый контур. Поскольку эти три ветви соединены носом с хвостом, они образуют замкнутый треугольный контур, эта конфигурация называется соединением треугольником. С другой стороны, когда любой из выводов из трех ветвей подключается к общей точке, чтобы сформировать Y-образный рисунок, это называется звездообразным соединением.Но эти звездообразные и дельта-соединения могут трансформироваться из одной формы в другую. Для упрощения сложной сети часто требуется преобразование из треугольника в звезду или из звезды в дельта .

Преобразование треугольника в звезду

Замена треугольника или сетки эквивалентным соединением звездой известна как преобразование «треугольник — звезда » . Эти два соединения эквивалентны или идентичны друг другу, если импеданс измеряется между любой парой линий. Это означает, что значение импеданса будет одинаковым, если оно измеряется между любой парой линий, независимо от того, соединена ли дельта между линиями или ее эквивалентная звезда соединена между этими линиями.

Рассмотрим дельта-систему с тремя угловыми точками: A, B и C, как показано на рисунке. Электрическое сопротивление ответвления между точками A и B, B и C и C и A составляет 1 R, 2 R и 3 R R соответственно.
Сопротивление между точками A и B будет равно

Теперь одна звездная система подключена к этим точкам A, B и C, как показано на рисунке. Три плеча R A , R B и R C звездной системы соединены с A, B и C соответственно.Теперь, если мы измерим значение сопротивления между точками A и B, мы получим

Поскольку две системы идентичны, сопротивление, измеренное между клеммами A и B в обеих системах, должно быть одинаковым.

Аналогично, сопротивление между точками B и C одинаково в двух системах,

И сопротивление между точками C и A одинаково в двух системах,

Складывая уравнения (I), (II) и (III), получаем ,

Вычитая уравнения (I), (II) и (III) из уравнения (IV), мы получаем,

Связь преобразования дельта-звезда можно выразить следующим образом.
Эквивалентное сопротивление звезды, подключенное к данной клемме, равно произведению двух сопротивлений треугольника, подключенных к одной и той же клемме, на сумму сопротивлений, подключенных треугольником.
Если система, соединенная треугольником, имеет одинаковое сопротивление R на трех сторонах, то эквивалентное сопротивление звезды r будет равным

Преобразование звезды в треугольник

Для преобразования звезда-треугольник мы просто умножаем уравнения (v), (VI) и (VI), (VII) и (VII), (V), то есть, выполняя (v) × (VI) + (VI) × (VII) + (VII) × (V), мы получаем,

Теперь разделив уравнение (VIII) уравнениями (V), (VI) и уравнениями (VII) по отдельности получаем,

Видео-презентация преобразования дельты в звезду

Преобразование звезды в дельту и преобразование дельты в звезду

Мы можем соединить три ветви электрической сети по-разному.Но эта система, обычно встречающаяся на рынке, представляет собой звезду или дельту. Три ветви дельта-соединения соединены друг с другом в замкнутом контуре, поэтому чертеж формы известен как дельта-соединение.

Когда выводы этих трех ветвей соединены с общей точкой и образуют Y-образную форму при соединении звездой, это называется соединением звездой. Но эти звездообразные и дельта-соединения можно легко изменить из одной формы в другую. Преобразование из дельты в звезду или из звезды в дельту становится неизбежным.В сегодняшней статье вы увидите, почему звезду можно преобразовать в дельту, а дельту — в звезду.

Преобразование дельты в звезду:

Замена контура треугольник или треугольник идентичным соединением звезды называется преобразованием треугольник-звезда. Если барьер измеряется между любой парой барьерных линий, то эти два соединения равны или равны друг другу.

Это означает, что значение импеданса остается неизменным независимо от того, измеряется ли оно между любыми двумя парами линий, независимо от того, соединено ли оно между линиями треугольника или эквивалентной звездой, соединенной между этими линиями.

Треугольники называются A, B и C соответственно, как показано на рисунке. Сопротивление между точками A и B называется R1, так же как сопротивление между точками B и C называется R2, ​​а сопротивление между точками A и C называется R3.

Как показано на рисунке, соединение звездой подключается к точкам с именами A, B и C. соответственно. В этой звездообразной системе сопротивления RA, RB и RC подключены к A, B и C соответственно. Теперь, если мы измерим значение сопротивления между точками A и B, мы получим это.

Поскольку системы звезды и треугольника аналогичны, сопротивление, измеренное между клеммами A и B этих двух систем, должно быть одинаковым.

Как сопротивление между A и B одинаково, так и сопротивление между B и C.

Аналогично сопротивление между точками C и A будет одинаковым.

Складывая уравнения, получаем (I), (II) и (III),

Вычитание уравнений (I), (II) и (III) из уравнения (IV),

Соотношение изменения треугольника-звезды может быть показано следующим образом:

То же самое сопротивление звезды, подключенное к данной клемме, равно произведению двух сопротивлений треугольника, подключенных к одной и той же клемме, на сумму сопротивлений, подключенных к треугольнику.

Если система, подключенная по схеме треугольника, имеет одинаковое сопротивление R с трех сторон, то такое же сопротивление звезды будет равно r.

Также читайте: Стартер звезда треугольник: принцип работы | Типы пускателей звезда-треугольник | Теория стартера звезда-треугольник

Преобразование звезды в треугольник:

Для преобразования звезды в дельту мы просто умножаем (v), (VI) и (VI), (VII) и (VI), (V), что составляет (v) VI (VI) + (VI) (VII) Готово)) + (VII) × (V) получаем,

Теперь мы получаем уравнение деления по Уравнениям (V), (VI) и Уравнениям (VIII) по отдельности,

Понравился этот пост? Не могли бы вы поделиться им со своими друзьями?

Рекомендуемое чтение —

звезд в дельту и из дельты в звезду.Преобразование Y-Δ

Преобразование звезды в треугольник и преобразование из треугольника в звезду — преобразование Y-Δ

В электрической сети сопротивление может быть подключено в различных конфигурациях. Наиболее распространенными из этих конфигураций являются сети, соединенные звездой или треугольником. Чтобы решить сложные электрические сети или упростить их, мы используем метод преобразования звезда-треугольник. Он заменяет любую сеть, соединенную звездой, на эквивалентную сеть, соединенную треугольником, и наоборот. Мы собираемся предоставить краткий вывод формулы для преобразования нагрузки между нагрузкой, подключенной по схеме звезды и треугольника.

Преобразование звезда-треугольник

Мы знаем основы последовательного, параллельного или комбинированного последовательного и параллельного соединения, но Y-Δ — это еще одна немного сложная конфигурация компонентов. Трехфазные сети имеют три провода, и обычно сети соединяются по схеме звезда-треугольник . Трехфазный источник питания или нагрузка, подключенная в любом из этих образований, может быть преобразована в его эквивалентную аналог. Мы используем такое преобразование для упрощения математических расчетов, необходимых для анализа схем сложной электрической сети.

Сеть с дельта-соединением

Сеть с дельта-соединением образуется, когда три ветви сети или сопротивления соединяются для образования петли таким образом, что их головки соединяются с хвостами соседней ветви. Результирующая сеть образует треугольную форму, напоминающую греческую букву дельта «Δ», поэтому она названа в ее честь. Она также известна как сеть π (pi), потому что она напоминает букву после перестановки ветвей. Узнайте больше о Delta Connection в предыдущем посте.

Сеть, соединенная звездой

Сеть, соединенная звездой, образуется, когда три ветви или сопротивления соединяются вместе в общей точке. Остальные концы филиальных сетей свободны. Получившаяся форма напоминает букву «Y», поэтому ее также называют сетью с соединением «Y» или «звезда». Она также известна как сеть с Т-образным соединением из-за ее формы после перестановки ветвей сети. Узнайте больше о Star Connection в предыдущем посте.Приведенные выше схемы можно преобразовать с помощью следующего преобразования. Во время преобразования клеммы A, B, C должны оставаться в том же положении, изменяется только импеданс и их расположение. Следующий рисунок иллюстрирует приведенное выше утверждение.

Преобразование треугольника в звезду

Сеть, соединенная треугольником, может быть преобразована в конфигурацию звезды с использованием набора электрических формул. Выведем уравнение для каждого импеданса. На данном рисунке показана дельта-схема с выводами A, B, C с импедансами R 1 , R 2 , R 3 .Эквивалентная сеть, соединенная звездой, с R A , R B и R C , где они подключены к своим соответствующим клеммам, как показано на рисунке.

Как упоминалось ранее, клеммы A, B, C остаются прежними, а также полное сопротивление между ними должно оставаться неизменным.

Полный импеданс между A-B в дельта-сети; Аналогично импеданс между клеммами B-CS; Аналогично импеданс между A-CA по схеме звезды;

R AB = R A + R B

R BC = R B + R C

R AC = R A + R C

Теперь сложите уравнение (i), (ii) и (iii) вместе. Теперь вычтите уравнение (i), (ii), & (iii) одно за другим из уравнения (iv)

Сначала вычтите (ii) из (iv) аналогичным образом. вычитание (i) и (iii) из (iv) приводит к полученным уравнениям для импедансов звездного эквивалента R A , R B и R C , мы можем заключить связь между преобразованиями дельты в звезду как ; Эквивалентный импеданс звезды равен произведению импедансов соседних треугольников с конечным делением на сумму всех трех импедансов треугольника.

В случае, если все три импеданса равны в дельта-сети, эквивалентное сопротивление звезды будет равно

Поскольку все импедансы во всей дельта-сети равны, каждое три эквивалентных сопротивления звезды будет в 1/3 раза больше импеданса дельта.

Преобразование звезды в треугольник

Теперь мы собираемся преобразовать полное сопротивление звезды в полное сопротивление треугольника. Давайте выведем уравнения, используемые для преобразования звезды в дельту.

На данном рисунке показан импеданс при соединении звездой R A , R B и R C. В то время как требуемый импеданс в дельта-эквиваленте составляет R 1 , R 2 и R 3 , как показано на рисунке .

Чтобы найти эквивалентное дельта-сопротивление, умножьте предыдущее уравнение (v) и (vi), а также (vi) и (vii) & (v) и (vii) вместе.

Умножение (v) и (vi) Аналогичным образом умножение (vi) на (vii) и (v) на (vii)

Теперь сложите уравнение (viii), (ix) и (x) вместе, чтобы получить индивидуальный эквивалент дельта импеданса, мы разделим уравнение (xi) на (v), (vi) и (vii) отдельно, например,.

Деление (xi) на (v) Подобное деление уравнения (xi) на (vi) и (vii) по отдельности дает

Соотношение между импедансом в эквиваленте звезды и дельта ясно из данного уравнения. Сумма двух произведений всех импедансов звезды, деленных на импеданс звезды соответствующей клеммы, равна импедансу треугольника, подключенному к противоположной клемме.

Упрощение уравнений приведет к тому, что если все импедансы звезды равны, эквивалентное дельта-импеданс будет;

Используя предыдущее уравнение,

Это уравнение предполагает, что каждое эквивалентное дельта-полное сопротивление равно трехкратному импедансу звезды.

Похожие сообщения:

Преобразование звезды в дельту

Преобразование звезды в дельту
Трехпроводный, почему (Y) подключена нагрузка
Комплексное соединение звездой

Illustrator Как создать треугольник

Самыми основными строительными блоками в Adobe Illustrator являются многоугольники.Чтобы продемонстрировать в Illustrator, как создать треугольник (самый примитивный многоугольник), самым быстрым и простым местом для начала будет инструмент «Многоугольник» на главной панели инструментов. Использование инструмента «Многоугольник», безусловно, не единственный способ создать треугольник, но это наиболее логичное место для начала. Эта статья написана с помощью Adobe Illustrator CS6, но шаги одинаковы независимо от того, какую версию вы используете.

Иллюстратор: Как сделать треугольник — Урок Ника Бересфорда Дэвиса

Использование инструмента «Многоугольник» для создания треугольника

Если вы щелкнете по инструменту «Многоугольник», появится всплывающее меню, показывающее:

  • Инструмент «Прямоугольник»
  • Инструмент прямоугольника со скругленными углами
  • Инструмент Elipse
  • Инструмент многоугольника
  • Инструмент Star
  • Инструмент для развальцовки

Выберите инструмент «Многоугольник».Если вы хотите начать с треугольника, щелкните один раз на монтажной области в том месте, где должна появиться фигура. Появится диалоговое окно с вопросом, какой радиус вы хотите, чтобы форма была и сколько сторон вы хотите, чтобы она имела. Вы не можете опускаться ниже 3, поэтому введите 3 стороны с радиусом 60 мм и нажмите OK.

Появится треугольник.

Illustrator запомнит последние введенные вами настройки, поэтому, если вы хотите создать еще один треугольник, возможно, под другим углом, перетащите курсор по монтажной области (все еще с выбранным инструментом «Многоугольник»), и вы увидите форму треугольника. появляются и вращаются при перемещении курсора по экрану.Ширина и высота фигуры будут меняться по мере изменения масштаба треугольника. Отпустите, чтобы зафиксировать форму.

По умолчанию треугольник создается из центра фигуры. Если вы хотите, чтобы исходная точка была другой, с выделенным треугольником, который вы только что создали, и с активным инструментом «Многоугольник», перейдите на панель управления Illustrator в верхней части экрана — «Окно / Управление». Здесь вы увидите небольшой квадратный каркас опорной точки с девятью маленькими ручками, равномерно распределенными по краям и в центре.

Центральный маркер будет выбран, если треугольник создается из центральной исходной точки. Щелкните одну из других маленьких ручек, чтобы изменить исходную точку отсчета, и перетащите / создайте новый треугольник. На этот раз он будет создан с другой точки отсчета.

Если вы хотите, чтобы треугольник был привязан к оси, когда вы создаете его таким образом, нажмите клавишу SHIFT при перетаскивании / создании его, и он будет привязан к оси x.

Равносторонние треугольники

Создание треугольника с использованием вышеуказанных методов всегда приводит к созданию равностороннего треугольника (со всеми сторонами равной длины и всеми тремя углами, равными 60 °).

Равнобедренные треугольники

Если вы хотите масштабировать размер треугольника, просто выберите инструмент выделения с черным указателем, выберите треугольник, удерживайте нажатой клавишу SHIFT и перетащите один из маркеров ограничивающей рамки, таким образом изменив размер формы на необходимый размер. Если вы хотите преобразовать форму в форму равнобедренного треугольника (две стороны остаются равными), отпустите клавишу SHIFT при изменении размера.

Чешуйчатые треугольники

Если вы хотите преобразовать треугольник в треугольник Scalene (со всеми сторонами и углами), выберите инструмент прямого выбора с белым указателем.Выберите одну из трех точек треугольника и перетащите ее в любом направлении. Это сделает стороны и углы неровными.

Инструмент «Многоугольник» можно использовать для создания фигуры с любым желаемым количеством сторон, а не только треугольников. Если вы выполните те же шаги, описанные выше, и просто увеличите необходимое количество сторон, вы создадите многоугольники с разными атрибутами.

Illustrator Как создать треугольник с помощью инструмента «Перо»

Есть много способов снять шкуру с кошки и много способов создать треугольник в Illustrator.Другой способ — использовать инструмент «Перо» и создать форму, четыре раза щелкнув артборд. Первые три щелчка создают первые три точки, а четвертый щелчок закрывает фигуру, если вы щелкаете по первой созданной точке.

В качестве альтернативы вы можете создать три точки, а затем выбрать две открытые конечные точки с помощью инструмента прямого выбора. Объект / Путь / Соединение (Control J) закроют форму.

Если вы удерживаете нажатой клавишу SHIFT при создании треугольника таким образом, углы сторон будут ограничены с шагом 45 °.

Illustrator Как сделать треугольник из квадрата

Еще один способ создать треугольник в Illustrator — сначала создать квадрат или прямоугольник с помощью инструмента «Прямоугольник» (находится в том же подсписке, что и инструмент «Многоугольник» на панели инструментов). Перетащите по монтажной области, чтобы создать прямоугольник, или перетащите с помощью SHIFT, чтобы создать идеальный квадрат.

Затем, с выделенным квадратом / прямоугольником, перейдите в Object / Path / Add Anchor Points. На фигуре появятся четыре новые опорные точки, расположенные точно посередине между существующими угловыми опорными точками.

Теперь выберите инструмент «Перо» и наведите указатель мыши на верхний левый угол, пока рядом со значком «Перо» не появится маленький символ «-». Нажмите, когда увидите это, и привязка в верхнем левом углу будет удалена. Повторите это для новой опорной точки на полпути вниз по левой стороне, затем вверху справа, затем посередине справа.

После удаления этих четырех опорных точек у вас будет новый равнобедренный треугольник, хотя вы, вероятно, захотите удалить последнюю разделяющую опорную точку на нижнем среднем крае, чтобы получить непрерывные стороны по всему периметру.Теперь вы можете редактировать этот треугольник так же, как любой, созданный другими способами.

Ресурсы и дополнительная информация



Преобразование звезды в треугольник и из треугольника в звезду — Анализ несбалансированной нагрузки, подключенной по схеме треугольник

Преобразование или преобразование или замена сети нагрузки, соединенной звездой, в сеть, соединенную треугольником, и аналогично, сеть, соединенная треугольником, в сеть звездой выполняется с помощью Преобразование звезды в треугольник или преобразование из треугольника в звезду.

Состав:

Преобразование звезды в треугольник

При преобразовании звезды в треугольник нагрузку, подключенную звездой, необходимо преобразовать в подключение по схеме треугольник. Предположим, что у нас есть нагрузка, подключенная по схеме звезды, как показано на рисунке выше, и ее необходимо преобразовать в подключение по схеме треугольник, как показано на рисунке B.

Следующие значения дельты следующие:

Следовательно, если значения Z A , Z B и Z C известны, поэтому, зная эти значения и поместив их в приведенные выше уравнения, вы можете преобразовать соединение звезды в соединение треугольником.

Преобразование дельты в звезду

Аналогичным образом, сеть с соединением по схеме «треугольник» дается, как показано выше, на рисунке B, и ее необходимо преобразовать в соединение по схеме «звезда», как показано выше на рисунке A. Для преобразования используются следующие формулы, приведенные ниже:

Если заданы значения Z 1 , Z 2 и Z 3 , то, подставив эти значения импедансов в приведенные выше уравнения, можно выполнить преобразование соединения треугольником в соединение звездой.

Поскольку импеданс (Z) является векторной величиной, поэтому все вычисления выполняются в полярной и прямоугольной форме.

Этапы анализа трехфазной несимметричной нагрузки, подключенной по схеме треугольника

Давайте рассмотрим пример несимметричной нагрузки, подключенной треугольником, подключенной к трехфазному источнику питания 400 В, как показано на рисунке ниже:

Следующие шаги приведены ниже для решения проблемы трехфазных несимметричных нагрузок, подключенных по схеме треугольник.

Шаг 1 — Решите, ток каждой фазы I 1 , I 2 и I 3 как в однофазной цепи.

Как

Шаг 2 — Вычислите линейные токи I L1 , I L2 и I L3 в прямоугольной форме.

Шаг 3 — Теперь вычислим мощность различных фаз.

Шаг 4 — Рассчитайте полную мощность по приведенному ниже уравнению.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.