Сумма сопротивлений при параллельном соединении: 1.9. Последовательное и параллельное соединение проводников

Назад в оглавление

Сайт создан в системе uCoz

Соединение проводников. Школьный курс физики

Главная | Физика 11 класс | Соединение проводников

Электрические цепи. Разветвлённые цепи.

Энергия передаётся от источника тока к потребителям (лампам, электродвигателям, радиоприёмникам и т. д.) по проводам. Источник тока, потребители (как правило, их несколько), соединительные провода и выключатели образуют электрическую цепь. Часто в цепь включают измерительные приборы — амперметры и вольтметры. Все элементы электрической цепи определённым образом соединяют между собой. На практике проводники чаще всего соединяют последовательно или параллельно.

Очень часто в электрических цепях в одной точке сходится несколько (больше двух) проводников. Например, при включении вольтметра для измерения напряжения на зажимах лампы (рис. 1.16) в точках 1 и 2 сходится по три проводника. Такие точки называются точками разветвления или узлами.

Рис. 1.16

На рисунке 1.17 в точке разветвления А цепи сходятся пять проводников.

Рис. 1.17

Обозначим силу тока в них через I₁, I₂, I₃, I₄ и I₅. Из рисунка видно, что токи I₁, I₂ и I₃ направлены к узлу и за произвольный промежуток времени Δt приносят в этот узел суммарный заряд (I₁ + I₂ + I₃)Δt. Токи I₄ и I₅ направлены от узла и уносят за это же время заряд (I₁ + I₃)Δt. Полное изменение заряда в узле за промежуток времени Δt равно

В цепи постоянного тока потенциалы всех точек цепи, а следовательно, и узлов должны оставаться неизменными. Следовательно, в них не могут накапливаться ни положительные, ни отрицательные заряды. В частности, для узла А изменение заряда Δq должно равняться нулю для любого интервала времени, т. е.

Рассматривая силу тока как алгебраическую величину, имеющую знак «плюс», если ток подходит к узлу, и знак «минус», если ток направлен от узла, последнее равенство можно записать в виде

Если в узле сходятся N токов, то

Алгебраическая сумма сил токов в проводниках, сходящихся в узле, равна нулю.

Это утверждение называют первым правилом Кирхгофа в честь немецкого физика Густава Кирхгофа (1824—1897), который в 1847 г. установил правила расчёта электрических цепей.

Последовательное соединение проводников.

Последовательным соединением проводников называют соединение, при котором конец первого проводника соединяется с началом второго проводника, конец второго проводника — с началом третьего и т. д.

Рис. 1.18

На рисунке 1.18 показано последовательное соединение трёх проводников, имеющих сопротивления R₁, R₂ и R₃.

При последовательном соединении проводников выполняются следующие соотношения.

1. Сила тока во всех последовательно соединённых проводниках одинакова:

I₁ = I₂ = I₃ = I.

2. Напряжение (или разность потенциалов) на концах рассматриваемого участка цепи равно сумме напряжений на отдельных проводниках:

U = U₁ + U₂ + U₃.          (1)

Действительно: U₁ = φ₀ — φ₁; U₂ = φ₁ — φ₂ и U₃ = φ₂ — φ₃. Складывая U₁, U₂ и U₃, получим φ₀ — φ₃ = U. В справедливости равенства (1) можно убедиться и непосредственным измерением при помощи вольтметра напряжений на всём участке цепи и на отдельных проводниках.

3. Согласно закону Ома, напряжения на отдельных проводниках равны: U₁ = IR₁, U₂ = IR₂, U₃ = IR₃.

Отсюда следует, что

При последовательном соединении напряжения на проводниках пропорциональны их сопротивлениям.

4. Разделив равенство (1) почленно на силу тока I, получим

где R — сопротивление всего рассматриваемого участка цепи.

Сопротивление участка цепи, состоящего из нескольких последовательно соединённых проводников (общее сопротивление), равно сумме сопротивлений отдельных проводников.

Параллельное соединение проводников.

Параллельным соединением проводников называют соединение, когда одни концы всех проводников соединяются в один узел (А), а другие концы — в другой узел (В) (рис. 1.19).

Рис. 1.19

При параллельном соединении различают ветви — отдельные проводники между узлами, разветвление — часть цепи между двумя узлами и неразветвлённую часть цепи, лежащую вне разветвления.

При параллельном соединении выполняются следующие соотношения.

1. Напряжения на всех ветвях и на разветвлении одинаковы, так как все они равны разности потенциалов точек А и В цепи:

U₁ = U₂ = U₃ = U = φ_A — φ_B

2. Согласно первому правилу Кирхгофа, можно записать:

I = I₁ + I₂ + I₃.          (2)

Сила тока в неразветвлённой части цепи равна сумме сил токов в ветвях.

3. Согласно закону Ома для участка цепи,

Отсюда следует, что

Силы токов в ветвях обратно пропорциональны сопротивлениям этих ветвей.

4. Сопротивлением разветвления R называют сопротивление такого проводника, которым можно заменить разветвление без изменения силы тока в неразветвлённой части цепи и напряжения между узлами. Используя закон Ома, заменим в равенстве (2) значения сил токов:

Разделив обе части равенства на U, получим

Величина, обратная сопротивлению разветвления, равна сумме величин, обратных сопротивлениям отдельных ветвей.

Учитывая, что 1/R = G, можно записать:

G = G₁ + G₂ + G₃.

Проводимость разветвления равна сумме проводимостей отдельных ветвей.

Отметим, что сопротивление разветвления меньше наименьшего из сопротивлений его ветвей. В самом деле, пусть сопротивление і-й ветви является наименьшим, тогда из равенства

следует, что (сумма больше каждого из отдельных слагаемых).

Отсюда R < R₁.

Если разветвление состоит из двух ветвей, то

Если сопротивления отдельных ветвей равны между собой:

Общее сопротивление п одинаковых, параллельно соединённых проводников равно сопротивлению одного проводника, делённому на их число.

Смешанное соединение проводников.

Смешанным соединением проводников называют соединение в цепи, в которой имеются и последовательное, и параллельное соединения проводников. На рисунке 1.20 в качестве примера приведена схема смешанного соединения проводников.

Рис. 1.20

В цени имеются два последовательно соединённых участка: участок АВ, состоящий из одного резистора R_l, и участок ВС, состоящий из двух параллельных ветвей.

Так как одна параллельная ветвь имеет сопротивление R₂ + R₃ (ветвь содержит два последовательно соединённых резистора R₂ и R₃), а вторая — R₄, то сопротивление участка BC равно

а общее сопротивление всех участков цепи

Вопросы:

1. Какие точки цепи называют разветвлениями или узлами?

2. В чём заключается первое правило Кирхгофа?

3. Какое соединение проводников в цепи называют:

а) последовательным;

б) параллельным;

в) смешанным?

4. Запишите основные соотношения, которые выполняются для:

а) последовательного соединения;

б) параллельного соединения трёх проводников в цепи.

Вопросы для обсуждения:

1. В ёлочной гирлянде электрические лампочки соединены последовательно. К ней последовательно подключили ещё две лампочки.

Как изменится сила тока в цепи, если напряжение на концах гирлянды осталось тем же?

2. Три одинаковых резистора, сопротивлением R каждый, включены в цепь так, как показано на рисунке 1.21. Каким будет сопротивление между точками А и В?

Рис. 1.21

Пример решения задачи

Напряжение между точками А и В участка цепи, схема которого изображена на рисунке 1.22, составляет 90 В.

Рис. 1.22

Сопротивление лампы Л₂ равно сопротивлению лампы Л_l, а сопротивление лампы Л₃ в 4 раза больше сопротивления лампы Л_l. Сила тока, текущего через лампу Л_l, равна 0,5 А. Найдите сопротивление каждой лампы, напряжение на лампах Л₂ и Л₃ и силу тока в них.

Упражнения:

1. Четыре электрические лампы, рассчитанные на напряжение 3 В и силу тока 0,1 А, нужно включить параллельно к источнику с напряжением 5,4 В. Резистор какого сопротивления следует подключить последовательно лампам?

2. В сеть с напряжением 220 В включены последовательно десять электрических ламп с сопротивлением по 24 Ом, рассчитанных на напряжение 12 В. Определите силу тока в цепи и сопротивление реостата, который необходимо включить в цепь.

3. Электрическую лампу с сопротивлением 240 Ом, рассчитанную на напряжение 120 В, нужно подключить к сети с напряжением 220 В. Какой длины нихромовый проводник с площадью поперечного сечения 0,55 мм² следует подключить последовательно с лампой?

4. Чему равно сопротивление цепи, схема которой показана на рисунке 1. 24, если сопротивление каждого резистора R?

Рис. 1.24

Предыдущая страницаСледующая страница

Подробная информация – Lambda Geeks

Существует множество методов поиска параллельного сопротивления, которые мы рассмотрим в этой статье. В отличие от последовательных резисторов, резисторы, соединенные параллельно, имеют разные методы расчета эквивалентного сопротивления.

Предположим, у нас есть два резистора R ₁ и R ₂ , как показано на рисунке 1. Мы знаем, что общий ток в параллельной цепи = сумма токов ветвей.

Следовательно, [Latex] i = \frac{V} {R_{1}}+ \frac{V} {R_{2}} [/Latex] (потенциалы A и B одинаковы) 9{-1} [/Latex]

Метод расчета эквивалентного сопротивления для более чем двух резисторов аналогичен. На рисунке 2 изображена цепь, состоящая из n параллельно расположенных резисторов. Найдем эквивалентное сопротивление в этом случае.

Мы знаем из закона Ома, 

1. Каждая ветвь имеет одинаковое напряжение = В 9{-1} [/Latex]

   Мы можем заменить значения в соответствии с требованиями схемы и получить желаемое эквивалентное сопротивление.

   Каковы особенности параллельного сопротивления?

   Параллельные сопротивления имеют несколько свойств в цепи. Наиболее важной особенностью параллельного сопротивления является то, что обратное эквивалентное сопротивление представляет собой сумму всех отдельных обратных сопротивлений.

   Другие особенности параллельного сопротивления:

   1. Все резисторы имеют одинаковое напряжение, и оно равно напряжению узла
   2. Токи через резисторы суммируют чистый ток вне всего параллельного соединения.
   3. Значение эквивалентного сопротивления меньше любого резистора, присутствующего в цепи.

   Подробнее….Одинаков ли ток при параллельном подключении: полная информация и ответы на часто задаваемые вопросы

   Как параллельное сопротивление влияет на напряжение и ток?

   Нам известен тот факт, что эквивалентное сопротивление в параллельной схеме получается путем суммирования всех сопротивлений, обратных величине, и их обратного действия. Это сопротивление определяет ток в цепи.

   Предположим, мы строим электрическую цепь с параллельным соединением резисторов R _A и R _B с источником напряжения V. Напряжение источника будет общим для обоих резисторов и падение напряжения на обоих из них будет V. Ток на пути R _A будет V/R _A , а ток на пути R _A будет V/R _B .

   Подробнее….Одинаково ли напряжение при параллельном подключении: полная информация и ответы на часто задаваемые вопросы

   Почему эквивалентное сопротивление при параллельном подключении меньше, чем отдельные сопротивления?

   Параллельно заряд, вытекающий из источника, когда он достигает узла, имеет возможность двигаться в любую ветвь. Так что от источника течет большое количество зарядов. Поэтому ток увеличивается.

   Из закона Ома мы знаем, что V = IR

   Напряжение будет одинаковым для всех параллельных ветвей. Таким образом, ток растет с ростом ветвей (т.е. при подключении большего сопротивления). Единственный способ, при котором напряжение может оставаться неизменным при уменьшении сопротивления. Поэтому сопротивление снижается.

   Читайте также… Что такое падение напряжения в параллельной цепи: как найти, примеры проблем и подробные факты

   Численные задачи
   Рассчитайте эквивалентное параллельное сопротивление для этой бесконечной лестницы, показанной на рисунке 3

   Для этой бесконечной лестницы сопротивлений мы можем сказать, что эквивалентное сопротивление Req между точками P и Q равно сопротивлению остальной цепи. Поэтому [Latex]R_{eq} = 2+ 1|| R_{eq}[/Latex] 

   Итак, [Latex] R_{eq} = 2+ \frac {1\times R_{eq}}{1 + R_{eq}} = \frac{ 2 + 3R_{ eq} }{1 + R_{eq} } [/Latex]

   Или [Latex] R_{eq} + R_{eq}^{2} = 2 + 3R_{eq} [/Latex] 9{2} – 2R_{eq} -2 = 0 [/Latex]

   Решая приведенное выше уравнение, мы получаем [Latex] R_{eq} = 1 \pm \sqrt{3}\; ом [/Latex]

   Пренебрегая отрицательной величиной, мы можем сказать [Latex] R_{eq} = 1 + \sqrt{3}\; Ом [/Latex]

   Это требуемое эквивалентное сопротивление .

   Если эквивалентное сопротивление для цепи на рисунке 4 равно 15 Ом, найдите недостающее значение R.

   На первом этапе вычислим эквивалентное сопротивление самой правой сетки. Итак, [Latex] R_{eq} = \frac{ 15R }{ 15 + R} [/Latex]. Итак, схема теперь уменьшена до изображения 4.1. Теперь рассчитаем следующую сетку из трех последовательных резисторов.

   Теперь [латекс] R_{eq} = 4 + 4 + \frac{ 15R }{ 15 + R} = 8 + \frac{ 15R } { 15 + R} = \frac{ 120 + 23 R} { 15+R}[/Latex]. Далее у нас снова параллельная сетка. Таким образом, R _eq теперь [Latex] 14\; ||\; \frac{ 120 + 23 R}{ 15 + R} = \frac{ 14 \times \frac{ 120 + 23 R}{ 15 + R} }{ 14 + \frac{ 120 + 23 R}{ 15 + R} } = \frac{ 14 \left (120 + 23 R \right )}{ 330 + 37R} [/Latex]. Окончательная сетка представляет собой еще одно последовательное соединение, которое дает R _eq как [Latex] 5 + 3 + \frac{ 14 \left (120 + 23 R \right )}{ 330 + 37R} = 15 [/Latex] Ом. Решив это, мы получим R = 10 Ом.

   Каково будет эквивалентное сопротивление Req для цепи, изображенной на рисунке 5.

   Мы можем перерисовать приведенную выше схему как изображение 5. Таким образом, для крайне правой сетки R _eq = 4+6 = 10 Ом. Теперь у нас есть 3 параллельных резистора для правой сетки и 2 параллельных резистора для верхней сетки, как показано на 5.1.

   Эквивалентное сопротивление для правой сетки [Latex] = \frac{10 \times 15\times 30}{ 10\times 15 +15\times 30 + 10\times 30} = 6\; ом[/латекс].

   Эквивалентное сопротивление для верхней сетки [Latex] = \frac{ 20\times 5}{ 20 + 5} = 4\; ом[/латекс]. Теперь мы сократили систему до простой последовательной цепи с тремя резисторами 1 Ом, 4 Ом и 6 Ом, как показано в 5.2. Таким образом, окончательный R _eq равен [Latex] 1 + 4 + 6 = 11 \; ом[/латекс].

   Найдите эквивалентное сопротивление в приведенной ниже цепи: V _S = 12 В, R ₁ = 2,5 Ом, R ₂ = 2 Ом, R ₃ = 1,5 Ом, R ₄ = 3 Ом, R ₅ = 5 Ом и R ₆ = 3,25 Ом.

   Упрощенная схема для изображения 6 показана на 6.1. Найдем эквивалентное сопротивление самой внутренней сетки. Таким образом, R _eq для сетки с R ₄ и R ₅ равно [Latex] \frac{ R_{4} \times R_{5} }{ R_{4} + R_{5} } = \ frac{5 \times 3}{5 + 3} = 1,875\; ом[/латекс].

   Теперь у нас есть R ₃ и 1,875 Ом последовательно. Итак, [латекс] R_{экв} = 1,5+ 1,875 = 3,375\; ом[/латекс]. Это сопротивление параллельно R ₂ . Итак, теперь [Latex] R_{eq} = \frac{2\times 3,375}{2 + 3,375} = 1,25\; ом[/латекс]. Наконец, у нас есть это сопротивление последовательно с R ₁ и R ₆ . Следовательно, [Latex] R_{eq} = \left ( 2,5 + 3,25 + 1,25 \right ) = 7\; ом[/латекс]. Это эквивалентное сопротивление цепи.

   Серия

   против параллельного | Сравнение последовательных и параллельных цепей

   Существует три основных типа электрических цепей: последовательные, параллельные и комбинированные. Понимание этих схемных конфигураций поможет вам в анализе цепей, и с помощью нескольких основных правил вы сможете легко рассчитать ток и напряжение каждого компонента. Итак, в этом руководстве давайте более подробно рассмотрим основы последовательной и параллельной цепей, сравним серию с параллельной, а также перечислим некоторые области применения последовательной и параллельной цепей.

   Краткое описание

   Что такое последовательная цепь?

   Простая цепь постоянного тока состоит из замкнутого пути, по которому течет постоянный ток. Простейшим источником постоянного тока является батарея, и если мы подключим небольшую лампу к клеммам батареи, то получится простая цепь постоянного тока.

   Но практические схемы состоят из большего количества компонентов, чем одна лампа. Если цепь состоит из более чем одного компонента и если все они соединены встык, так что через них протекает один и тот же ток, то такая цепь называется последовательной цепью.

   Если мы возьмем в качестве примера простейший электрический компонент, т. е. резистор, то следующая схема показывает три резистора, соединенных последовательно с источником напряжения. В последовательной цепи ток может течь только одним путем.

   Изображение

   Поскольку ток во всех резисторах одинаков, мы можем легко рассчитать напряжение на отдельных резисторах, используя закон Ома.

   Если V — напряжение питания, I — ток в цепи, R ₁ , R ₂ , R ₃ — сопротивления, а V _R1 , V _R2 и V _R3 — напряжения на соответствующих резисторах, то применив закон Ома, получим.

   V _R1 = I X R ₁ , V _R2 = I X R ₂ и V _R3 = I X R ₃

   V = V _R1 + V _R2 + V _R3 = IR ₁ + IR ₂ + IR ₃

   Если R — полное сопротивление цепи, то V = IR и, следовательно,

   IR = IR ₁ + IR ₂ + IR ₃

   R = R ₁ + R ₂ + R ₃

   Таким к сумме индивидуальных сопротивлений.

   Делитель напряжения

   Из приведенного выше объяснения последовательной схемы вы могли заметить интересный момент, касающийся напряжений на отдельных резисторах. Давайте упростим это обсуждение, рассмотрев всего два последовательно соединенных резистора.

   Изображение

   Здесь V — напряжение питания, R ₁ и R ₂ — резисторы, а V _R1 и V _R2 — напряжения на R ₁ и R 2 _{соответственно.}

   из закона о Ом

   V = IR = V _R1 + V _R2 = IR ₁ + IR ₂

   Если мы рассчитываем напряжение через r ₂ ,

   V. _R2 = В * R ₂ / (R ₁ + R ₂ )

   Напряжение на R ₂ является частью входного напряжения. Это известно как схема делителя напряжения или схема делителя потенциала.

   Закон Кирхгофа  Закон о напряжении (KVL)

   Из предыдущей серии Цепь, состоящая из трех резисторов, мы установили, что напряжение источника равно сумме напряжений на отдельных резисторах.

   В = В _R1 + В _R2 + V _R3

   Преобразовывая это уравнение, мы получаем закон Кирхгофа для напряжения.

   В – В _R1 – В _R2 – В _R3 = 0

   Согласно Закону Кирхгофа о напряжениях (KVL), алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

   Применение последовательной схемы

   Одним из самых известных применений последовательной схемы являются наши праздничные огни серии. Во время Рождества и праздников мы украшаем наши дома разноцветными огнями, состоящими из нескольких последовательно соединенных ламп.

   Image

   Основная проблема праздничных светильников этой серии заключается в том, что даже если одна лампочка перегорает, это прерывает подачу тока, и вся серия не загорается.

   Что такое параллельная цепь?

   В последовательной цепи есть только один путь прохождения тока. При переходе к параллельной цепи будет более одного пути для протекания тока. Если еще раз взять три резистора, то на следующих изображениях показаны разные конфигурации трех элементов схемы, соединенных параллельно.

   Изображение

   Схемы на изображении выше могут выглядеть по-разному, но на самом деле они одинаковы. Если присмотреться, то один конец всех элементов схемы (в данном случае резисторов) общий, а другой конец тоже. Итак, параллельная цепь из двух элементов состоит из двух общих точек.

   Чтобы больше узнать о параллельных цепях, рассмотрим следующую схему, в которой у нас есть три резистора, подключенных параллельно к источнику напряжения. Поскольку все три резистора подключены к источнику напряжения, напряжение на всех резисторах одинаково.

   Изображение

   Но то же самое нельзя сказать о токе, поскольку он имеет несколько путей для протекания. Если I — общий ток, а I _R1 , I _R2 и I _R3 — токи, протекающие через соответствующие резисторы, то общий ток равен сумме отдельных токов.

   I = I _R1 + I _R2 + I _R3

   0007 = V / R ₂ и I _R3 = V / R ₃

   Если R — общее сопротивление цепи, I = V / R. Используя все это в приведенном выше уравнении, мы получаем

   V / R = V / R ₁ + V / R ₂ + V / R ₃

   Итак, 1/R = 1/R ₁ + 1/R ₂ + 1/R ₃

   Для параллельно соединенных резисторов обратная величина общего сопротивления равна сумме обратных величин отдельных сопротивлений.

   Кирхгоф Текущий закон (KCL)

   Из приведенного выше обсуждения мы получаем общий ток в цепи как сумму отдельных токов в соответствующих резисторах.

   I = I _R1 + I _R2 + I _R3

   Мы можем изменить приведенное выше уравнение и получить закон тока Кирхгофа.

   I – I _R1 – I _R2 – I _R3 = 0.

   Согласно закону токов Кирхгофа (KCL) алгебраическая сумма токов, входящих в узел и выходящих из узла, равна нулю.

   Цепь делителя тока

   Точно так же, как последовательная цепь резисторов может быть сконфигурирована как цепь делителя напряжения, параллельная цепь резисторов может привести к цепи делителя тока.

   Хотя делитель напряжения довольно популярен, использование делителя тока зависит от приложения.

   Применение параллельной схемы

   Важным применением параллельной схемы является наша домашняя электропроводка. Базовая проводка во всех домах на самом деле является параллельной конфигурацией. Таким образом, все параллельные ветви получают полные 120 В (или 240 В), а ток зависит от нагрузки.

   Изображение

   Даже если возникает проблема/неисправность в одной параллельной ветви или цепи, затрагиваются только приборы или устройства, подключенные к этой цепи, в то время как остальные ветви работают нормально.

   Последовательные и параллельные цепи: сравнение

   В следующей таблице показано простое сравнение последовательных и параллельных цепей.

   Серийная цепь	Параллельная цепь
   В последовательной цепи через все компоненты протекает одинаковый ток.	В параллельной цепи ток может иметь более одного пути.
   Все компоненты соединены встык с одной общей точкой между компонентами.	Один конец всех компонентов в параллели соединен с общей точкой, а другой конец с другой общей точкой. Итак, параллельная цепь имеет две общие точки.
   Напряжение на компонентах неодинаково и зависит от индивидуального сопротивления.	Напряжение на всех компонентах в параллельной цепи одинаковое и равно напряжению питания.
   Если один компонент в последовательной цепи выходит из строя, то вся цепь перестает функционировать, так как существует только один путь тока.	Даже если одна из параллельных ветвей выходит из строя, остальные ветки продолжают нормально работать.
   Ток одинаков во всех компонентах, а сумма отдельных напряжений равна напряжению питания.	Напряжение одинаково для всех компонентов, включенных параллельно, а сумма отдельных токов равна общему току в цепи.
   Если у нас есть три последовательно соединенных резистора, то эквивалентное сопротивление представляет собой сумму отдельных сопротивлений (R = R 1 + R 2 + R 3 ).	Если мы соединили три резистора параллельно, то обратная величина эквивалентного сопротивления равна сумме обратных величин отдельных сопротивлений (1/R = 1/R 1 + 1/р 2 + 1/р 3 )
   Праздничные серийные светильники являются примером последовательной цепи.	Жилая электропроводка имплантирована как параллельная конфигурация.

   Заключение

   Последовательные и параллельные цепи — две основные формы электрических цепей.