Таблица истинности элемента или: Логические элементы и таблицы истинности

alexxlabРазное

Содержание

2.Логические элементы и, или, не. Таблицы истинности, принципиальные схемы.

Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис.1, а таблица истинности в таблице 1.

Таблица 1

х

у

х * у

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается отношением z = х * у (читается как «х и у»).

Операция конъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком & (читается как «амперсэнд»), являющимся сокращенной записью английского слова and.

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.

Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на ее выходе также будет единица.

Условное обозначение схемы ИЛИ знак «1». Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением z = х + у (читается как «х или у»). Рис.2 и таблица 2.

Таблица 2

х

у

х + у

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания.

Связь между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = , где читается как «не х» или «инверсия х».

Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение инвертора — на рис.3, а таблица истинности – в таблице 3

.

Таблица 3

x

0

1

1

0

3.Логические элементы и — не, или — не. Таблицы истинности. Графическое представление элементов. Графики работы.

Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом:

z = , где читается как «инверсия х и у».

рис. 4

Таблица 4

х

у

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Условное обозначение схемы И-НЕ представлено на рис. 4, а таблица истинности схемы И-НЕ – в таблице 4.

Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.

Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом:

z = , где читается как «инверсия х или у».

Таблица 5

х

у

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

Условное обозначение схемы ИЛИ-НЕ представлено на рис. 5, а таблица истинности схемы ИЛИ-НЕ – в таблице 5

4.Исключающие или, исключающие или — не. Таблицы истинности. Графическое представление элементов.

лементы Исключающее ИЛИ (по-английски — Exclusive-OR) также можно было бы отнести к простейшим элементам, но функция, выполняемая ими, несколько сложнее, чем в случае элемента И или элемента ИЛИ. Все входы элементов Исключающее ИЛИ равноправны, однако ни один из входов не может заблокировать другие входы, установив выходной сигнал в уровень единицы или нуля.

 

Таблица 4.1. Таблица истинности двухвходовых элементов И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ

Вход 1

Вход 2

Выход

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Рис. 4.1.  Обозначения элементов Исключающее ИЛИ: зарубежные (слева) и отечественные (справа)

Под функцией Исключающее ИЛИ понимается следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше, или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль. Таблица истинности двухвходового элемента Исключающее ИЛИ приведена в табл. 4.1. Обозначения, принятые в отечественных и зарубежных схемах, показаны на рис. 4.1. Надпись на отечественном обозначении элемента Исключающее ИЛИ “=1″ как раз и обозначает, что выделяется ситуация, когда на входах одна и только одна единица.

Элементов Исключающее ИЛИ в стандартных сериях немного. Отечественные серии предлагают микросхемы ЛП5 (четыре двухвходовых элемента с выходом 2С), ЛЛ3 и ЛП12, отличающиеся от ЛП5 выходом ОК. Слишком уж специфическая функция реализуется этими элементами.

С точки зрения математики, элемент Исключающее ИЛИ выполняет операцию так называемого суммирования по модулю 4. Поэтому эти элементы также называются сумматорами по модулю два. Как уже отмечалось в предыдущей лекции, обозначается суммирование по модулю 2 знаком плюса, заключенного в кружок.

Основное применение элементов Исключающее ИЛИ, прямо следующее из таблицы истинности, состоит в сравнении двух входных сигналов. В случае, когда на входы приходят две единицы или два нуля (сигналы совпадают), на выходе формируется нуль (см. табл. 4.1). Обычно при таком применении на один вход элемента подается постоянный уровень, с которым сравнивается изменяющийся во времени сигнал, приходящий на другой вход. Но значительно чаще для сравнения сигналов и кодов применяются специальные микросхемы компараторов кодов, которые будут рассмотрены в следующей лекции.

В качестве сумматора по модулю 2 элемент Исключающее ИЛИ используется также в параллельных и последовательных делителях по модулю 2, служащих для вычисления циклических контрольных сумм. Но подробно эти схемы будут рассмотрены в лекциях 14,15.

Важное применение элементов Исключающее ИЛИ — это управляемый инвертор (рис. 4.2). В этом случае один из входов элемента используется в качестве управляющего, а на другой вход элемента поступает информационный сигнал. Если на управляющем входе единица, то входной сигнал инвертируется, если же нуль — не инвертируется. Чаще всего управляющий сигнал задается постоянным уровнем, определяя режим работы элемента, а информационный сигнал является импульсным. То есть элемент Исключающее ИЛИ может изменять полярность входного сигнала или фронта, а может и не изменять в зависимости от управляющего сигнала.

Рис. 4.2.  Элемент Исключающее ИЛИ как управляемый инвертор

В случае, когда имеется два сигнала одинаковой полярности (положительные или отрицательные), и при этом их одновременный приход исключается, элемент Исключающее ИЛИ может быть использован для смешивания этих сигналов (рис. 4.3). При любой полярности входных сигналов выходные сигналы элемента будут положительными.

При положительных входных сигналах элемент Исключающее ИЛИ будет работать как элемент 2ИЛИ, а при отрицательных он будет заменять элемент 2И-НЕ. Такие замены могут быть полезны в тех случаях, когда в схеме остаются неиспользованными некоторые элементы Исключающее ИЛИ. Правда, при этом надо учитывать, что задержка распространения сигнала в элементе Исключающее ИЛИ обычно несколько больше (примерно в 1,5 раза), чем задержка в простейших элементах И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ.

Рис. 4.3.  Применение элемента Исключающее ИЛИ для смешивания двух неодновременных сигналов

Рис. 4.4.  Выделение фронтов входного сигнала с помощью элемента Исключающее ИЛИ

Еще одно важнейшее применение элемента Исключающее ИЛИ — формирование коротких импульсов по любому фронту входного сигнала (рис. 4.4). В данном случае не важно, положительный фронт входного сигнала или отрицательный, на выходе все равно формируется положительный импульс. Входной сигнал задерживается с помощью конденсатора или цепочки элементов, а затем исходный сигнал и его задержанная копия поступают на входы элемента Исключающее ИЛИ. В обеих схемах в качестве элементов задержки используются также двувходовые элементы Исключающее ИЛИ в неинвертирующем включении (на неиспользуемый вход подается нуль). В результате такого преобразования можно говорить об удвоении частоты входного сигнала, так как выходные импульсы следуют вдвое чаще, чем входные.

Данную особенность элементов Исключающее ИЛИ надо учитывать в том случае, когда на оба входа элемента поступают изменяющиеся одновременно сигналы. При этом на выходе элемента возможно появление коротких паразитных импульсов по любому из фронтов входных сигналов. Исключить их влияние на дальнейшую схему можно, например, с помощью синхронизации, подобной рассмотренной в предыдущем разделе.

Применение исключающее или. Элементы исключающее или. Приоритет логических операций

В Булевой алгебре, на которой базируется вся цифровая техника, электронные элементы должны выполнять ряд определённых действий. Это так называемый логический базис. Вот три основных действия:

    ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция ) — OR ;

    И — логическое умножение (конъюнкция ) — AND ;

    НЕ — логическое отрицание (инверсия ) — NOT .

Примем за основу позитивную логику, где высокий уровень будет «1», а низкий уровень примем за «0». Чтобы можно было более наглядно рассмотреть выполнение логических операций, существуют таблицы истинности для каждой логической функции. Сразу нетрудно понять, что выполнение логических функций «и» и «или» подразумевают количество входных сигналов не менее двух, но их может быть и больше.

Логический элемент И.

На рисунке представлена таблица истинности элемента «И » с двумя входами. Хорошо видно, что логическая единица появляется на выходе элемента только при наличии единицы на первом входе и на втором. В трёх остальных случаях на выходе будут нули.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 1 1

На принципиальных схемах логический элемент «И» обозначают так.

На зарубежных схемах обозначение элемента «И» имеет другое начертание. Его кратко называют AND .

Логический элемент ИЛИ.

Элемент «ИЛИ » с двумя входами работает несколько по-другому. Достаточно логической единицы на первом входе или на втором как на выходе будет логическая единица. Две единицы так же дадут единицу на выходе.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1

На схемах элемент «ИЛИ» изображают так.

На зарубежных схемах его изображают чуть по-другому и называют элементом OR .

Логический элемент НЕ.

Элемент, выполняющий функцию инверсии «НЕ » имеет один вход и один выход. Он меняет уровень сигнала на противоположный. Низкий потенциал на входе даёт высокий потенциал на выходе и наоборот.

Вход X Выход Y
0 1
1 0

Вот таким образом его показывают на схемах.

В зарубежной документации элемент «НЕ» изображают следующим образом. Сокращённо называют его NOT .

Все эти элементы в интегральных микросхемах могут объединяться в различных сочетаниях. Это элементы: И-НЕ, ИЛИ-НЕ, и более сложные конфигурации. Пришло время поговорить и о них.

Логический элемент 2И-НЕ.

Рассмотрим несколько реальных логических элементов на примере серии транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ) К155 с малой степенью интеграции. На рисунке когда-то очень популярная микросхема К155ЛА3, которая содержит четыре независимых элемента 2И — НЕ . Кстати, с помощью её можно собрать простейший маячок на микросхеме .

Цифра всегда обозначает число входов логического элемента. В данном случае это двухвходовой элемент «И» выходной сигнал которого инвертируется. Инвертируется, это значит «0» превращается в «1», а «1» превращается в «0». Обратим внимание на кружочек на выходах — это символ инверсии . В той же серии существуют элементы 3И-НЕ, 4И-НЕ, что означает элементы «И» с различным числом входов (3, 4 и т.д.).

Как вы уже поняли, один элемент 2И-НЕ изображается вот так.

По сути это упрощённое изображение двух объёдинённых элементов: элемента 2И и элемента НЕ на выходе.

Зарубежное обозначение элемента И-НЕ (в данном случае 2И-НЕ). Называется NAND .

Таблица истинности для элемента 2И-НЕ.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0 0 1
1 0 1
0 1 1
1 1 0

В таблице истинности элемента 2И — НЕ мы видим, что благодаря инвертору получается картина противоположная элементу «И». В отличие от трёх нулей и одной единицы мы имеем три единицы и ноль. Элемент «И — НЕ» часто называют элементом Шеффера.

Логический элемент 2ИЛИ-НЕ.

Логический элемент 2ИЛИ — НЕ представлен в серии К155 микросхемой 155ЛЕ1. Она содержит в одном корпусе четыре независимых элемента. Таблица истинности так же отличается от схемы «ИЛИ» применением инвертирования выходного сигнала.

Таблица истинности для логического элемента 2ИЛИ-НЕ.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 0

Изображение на схеме.

На зарубежный лад изображается так. Называют как NOR .

Мы имеем только один высокий потенциал на выходе, обусловленный подачей на оба входа одновременно низкого потенциала. Здесь, как и на любых других принципиальных схемах, кружочек на выходе подразумевает инвертирование сигнала. Так как схемы И — НЕ и ИЛИ — НЕ встречаются очень часто, то для каждой функции имеется своё условное обозначение. Функция И — НЕ обозначается значком «& «, а функция ИЛИ — НЕ значком «1 «.

Для отдельного инвертора таблица истинности уже приведена выше. Можно добавить, что количество инверторов в одном корпусе может достигать шести.

Логический элемент «исключающее ИЛИ».

К числу базовых логических элементов принято относить элемент реализующий функцию «исключающее ИЛИ». Иначе эта функция называется «неравнозначность».

Высокий потенциал на выходе возникает только в том случае, если входные сигналы не равны. То есть на одном из входов должна быть единица, а на другом ноль. Если на выходе логического элемента имеется инвертор, то функция выполняется противоположная — «равнозначность». Высокий потенциал на выходе будет появляться при одинаковых сигналах на обоих входах.

Таблица истинности.

Вход X1 Вход X2 Выход Y
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 0

Эти логические элементы находят своё применение в сумматорах. «Исключающее ИЛИ» изображается на схемах знаком равенства перед единицей «=1 «.

На зарубежный манер «исключающее ИЛИ» называют XOR и на схемах рисуют вот так.

Кроме вышеперечисленных логических элементов, которые выполняют базовые логические функции очень часто, используются элементы, объединённые в различных сочетаниях. Вот, например, К555ЛР4. Она называется очень серьёзно 2-4И-2ИЛИ-НЕ.

Её таблица истинности не приводится, так как микросхема не является базовым логическим элементом. Такие микросхемы выполняют специальные функции и бывают намного сложнее, чем приведённый пример. Так же в логический базис входят и простые элементы «И» и «ИЛИ». Но они используются гораздо реже. Может возникнуть вопрос, почему эта логика называется транзисторно-транзисторной.

Если посмотреть в справочной литературе схему, допустим, элемента 2И — НЕ из микросхемы К155ЛА3, то там можно увидеть несколько транзисторов и резисторов. На самом деле ни резисторов, ни диодов в этих микросхемах нет. На кристалл кремния через трафарет напыляются только транзисторы, а функции резисторов и диодов выполняют эмиттерные переходы транзисторов. Кроме того в ТТЛ логике широко используются многоэмиттерные транзисторы. Например, на входе элемента 4И стоит четырёхэмиттерный

Электрическая схема, предназначенная для выполнения какой-либо логической операции с входными данными, называется логическим элементом. Входные данные представляются здесь в виде напряжений различных уровней, и результат логической операции на выходе — также получается в виде напряжения определенного уровня.

Операнды в данном случае подаются — на вход логического элемента поступают сигналы в форме напряжения высокого или низкого уровня, которые и служат по сути входными данными. Так, напряжение высокого уровня — это логическая единица 1 — обозначает истинное значение операнда, а напряжение низкого уровня 0 — значение ложное. 1 — ИСТИНА, 0 — ЛОЖЬ.

Логический элемент — элемент, осуществляющий определенные логические зависимость между входными и выходными сигналами. Логические элементы обычно используются для построения логических схем вычислительных машин, дискретных схем автоматического контроля и управления. Для всех видов логических элементов, независимо от их физической природы, характерны дискретные значения входных и выходных сигналов.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один или два (обычно инверсных друг другу) выхода. Значения «нулей» и «единиц» выходных сигналов логических элементов определяются логической функцией, которую выполняет элемент, и значениями «нулей» и «единиц» входных сигналов, играющих роль независимых переменных. Существуют элементарные логические функции, из которых можно составить любую сложную логическую функцию.

В зависимости от устройства схемы элемента, от ее электрических параметров, логические уровни (высокие и низкие уровни напряжения) входа и выхода имеют одинаковые значения для высокого и низкого (истинного и ложного) состояний.

Традиционно логические элементы выпускаются в виде специальных радиодеталей — интегральных микросхем. Логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и сложение по модулю (И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ) — являются основными операциями, выполняемыми на логических элементах основных типов. Далее рассмотрим каждый из этих типов логических элементов более внимательно.

Логический элемент «И» — конъюнкция, логическое умножение, AND


«И» — логический элемент, выполняющий над входными данными операцию конъюнкции или логического умножения. Данный элемент может иметь от 2 до 8 (наиболее распространены в производстве элементы «И» с 2, 3, 4 и 8 входами) входов и один выход.

Условные обозначения логических элементов «И» с разным количеством входов приведены на рисунке. В тексте логический элемент «И» с тем или иным числом входов обозначается как «2И», «4И» и т. д. — элемент «И» с двумя входами, с четырьмя входами и т. д.


Таблица истинности для элемента 2И показывает, что на выходе элемента будет логическая единица лишь в том случае, если логические единицы будут одновременно на первом входе И на втором входе. В остальных трех возможных случаях на выходе будет ноль.

На западных схемах значок элемента «И» имеет прямую черту на входе и закругление на выходе. На отечественных схемах — прямоугольник с символом «&».

Логический элемент «ИЛИ» — дизъюнкция, логическое сложение, OR


«ИЛИ» — логический элемент, выполняющий над входными данными операцию дизъюнкции или логического сложения. Он так же как и элемент «И» выпускается с двумя, тремя, четырьмя и т. д. входами и с одним выходом. Условные обозначения логических элементов «ИЛИ» с различным количеством входов показаны на рисунке. Обозначаются данные элементы так: 2ИЛИ, 3ИЛИ, 4ИЛИ и т. д.


Таблица истинности для элемента «2ИЛИ» показывает, что для появления на выходе логической единицы, достаточно чтобы логическая единица была на первом входе ИЛИ на втором входе. Если логические единицы будут сразу на двух входах, на выходе также будет единица.

На западных схемах значок элемента «ИЛИ» имеет закругление на входе и закругление с заострением на выходе. На отечественных схемах — прямоугольник с символом «1».

Логический элемент «НЕ» — отрицание, инвертор, NOT

«НЕ» — логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического отрицания. Данный элемент, имеющий один выход и только один вход, называют еще инвертором, поскольку он на самом деле инвертирует (обращает) входной сигнал. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «НЕ».

Таблица истинности для инвертора показывает, что высокий потенциал на входе даёт низкий потенциал на выходе и наоборот.

На западных схемах значок элемента «НЕ» имеет форму треугольника с кружочком на выходе. На отечественных схемах — прямоугольник с символом «1», с кружком на выходе.

Логический элемент «И-НЕ» — конъюнкция (логическое умножение) с отрицанием, NAND

«И-НЕ» — логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Другими словами, это в принципе элемент «И», дополненный элементом «НЕ». На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2И-НЕ».


Таблица истинности для элемента «И-НЕ» противоположна таблице для элемента «И». Вместо трех нулей и единицы — три единицы и ноль. Элемент «И-НЕ» называют еще «элемент Шеффера» в честь математика Генри Мориса Шеффера, впервые отметившего значимость этой в 1913 году. Обозначается как «И», только с кружочком на выходе.

Логический элемент «ИЛИ-НЕ» — дизъюнкция (логическое сложение) с отрицанием, NOR

«ИЛИ-НЕ» — логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения, и затем операцию логического отрицания, результат подается на выход. Иначе говоря, это элемент «ИЛИ», дополненный элементом «НЕ» — инвертором. На рисунке приведено условное обозначение логического элемента «2ИЛИ-НЕ».


Таблица истинности для элемента «ИЛИ-НЕ» противоположна таблице для элемента «ИЛИ». Высокий потенциал на выходе получается лишь в одном случае — на оба входа подаются одновременно низкие потенциалы. Обозначается как «ИЛИ», только с кружочком на выходе, обозначающим инверсию.

Логический элемент «исключающее ИЛИ» — сложение по модулю 2, XOR

«исключающее ИЛИ» — логический элемент, выполняющий над входными данными операцию логического сложения по модулю 2, имеет два входа и один выход. Часто данные элементы применяют в схемах контроля. На рисунке приведено условное обозначение данного элемента.

Изображение в западных схемах — как у «ИЛИ» с дополнительной изогнутой полоской на стороне входа, в отечественной — как «ИЛИ», только вместо «1» будет написано «=1».


Этот логический элемент еще называют «неравнозначность». Высокий уровень напряжения будет на выходе лишь тогда, когда сигналы на входе не равны (на одном единица, на другом ноль или на одном ноль, а на другом единица) если даже на входе будут одновременно две единицы, на выходе будет ноль — в этом отличие от «ИЛИ». Данные элементы логики широко применяются в сумматорах.

Поведение

Элементы Исключающее ИЛИ, Исключающее ИЛИ-НЕ, Нечётность и Чётность вычисляют соответствующую функцию от значений на входах и выдают результат на выход.

По умолчанию, неподключенные входы игнорируются — то есть, если входы действительно не имеют ничего подключенного к ним — даже провода. Таким образом, вы можете добавить 5-входовый элемент, но подключить только два входа, и он будет работать как 2-входовый элемент; это избавляет вас от необходимости беспокоиться о настройке количества входов каждый раз при создании элемента. (Если все входы не подключены, то на выходе значение ошибки X .) Некоторые пользователи, однако, предпочитают, чтобы Logisim настаивал, чтобы все входы были подключены, поскольку это соответствует реальным элементам. Вы можете включить это поведение, выбрав меню Проект > Параметры…, перейдя на вкладку Моделирование, и выбрав вариант Ошибка для неопределённых входов для Выход элемента при неопределённости.

Двухвходовая таблица истинности для элементов следующая.

x y Исключающее ИЛИ Исключающее ИЛИ-НЕ Нечётность Чётность
0 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1

Как вы можете видеть, элементы Нечётность и Исключающее ИЛИ ведут себя одинаково в случае двух входов; аналогично, элементы Чётность и Исключающее ИЛИ-НЕ ведут себя одинаково. Но если входов с определённым значением больше двух, то элемент Исключающее ИЛИ будет давать на выходе 1, когда единица строго на одном входе, тогда как элемент Нечётность даст на выходе 1, когда единица на нечётном количестве входов. Элемент Исключающее ИЛИ-НЕ будет давать на выходе 1, когда входов с единицей строго не один, тогда как элемент Чётность даст 1, когда входов с единицей чётное количество. Элементы Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ имеют атрибут, названный Многовходовое поведение, который позволяет настроить их на использование поведения элементов Нечётность и Чётность.

Если на каких-либо входах значение ошибки (например, если противоречивые значения поступают на один и тот же провод) или плавающее значение, то на выходе будет значение ошибки.

Многобитные версии каждого элемента будут выполнять свои однобитные преобразования над входами поразрядно.

Примечание: многие специалисты утверждают, что поведение фигурного элемента Исключающее ИЛИ должно соответствовать поведению элемента Нечётность, но по этому вопросу нет согласия. Поведение Logisim по умолчанию для элемента Исключающее ИЛИ основано на стандарте IEEE 91. Это также согласуется с интуитивным пониманием термина Исключающее ИЛИ : официант, спрашивающий, хотите вы гарнир из картофельного пюре, моркови, зеленого горошка, или шинкованной капусты, примет только один выбор, а не три, независимо от того, что вам могут сказать некоторые специалисты. (Должен признать, однако, что я не подвергал это заявление серьезным испытаниям.) Вы можете настроить элементы Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ на использование одного из вариантов, меняя его атрибут Многовходовое поведение.

Контакты (предполагается, что компонент направлен на восток)

Западный край (входы, разрядность соответствует атрибуту Биты данных)

Входы компонента. Их будет столько, сколько указано в атрибуте Количество входов.

Заметьте, что если вы используете фигурные элементы, то западный край элементов Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ будет искривлён. Тем не менее, входные контакты расположены вряд. Logisim отрисовывает короткие отрезки чтобы показать это; если вы перекроете отрезок, программа будет без предупреждений предполагать, что вы не хотели перекрыть его. При использовании «Вида для печати», эти отрезки не будут отрисованы, если не подключены к проводам.

Восточный край (выход, разрядность соответствует атрибуту Биты данных)

Выход элемента, значение на котором вычисляется на основании текущих значений на входах, как описано выше.

Атрибуты

Когда компонент выбран, или уже добавлен, клавиши от 0 до 9 меняют его атрибут Количество входов, комбинации от Alt-0 до Alt-9 меняют его атрибут Биты данных, а клавиши со стрелками меняют его атрибут Направление.

Направление Направление компонента (его выхода относительно его входов). Биты данных Разрядность входов и выходов компонента. Размер элемента Определяет, следует отрисовывать широкую или узкую версию компонента. Это не влияет на количество входов, которое определяется атрибутом Количество входов; правда, если количество входов превышает 3 (для узкого компонента) или 5 (для широкого), то элемент будет отрисовываться с «крыльями», чтобы вместить запрошенное количество входов. Количество входов Определяет, сколько контактов на западном крае будет иметь компонент. Многовходовое поведение (только для Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ) Когда входов три или более, то значение на выходе элементов Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-НЕ будет основано или на том, что 1 строго на одном входе (по умолчанию), или на нечётном количестве входов.

Бит — это минимальная единица измерения объёма информации, так как она хранит одно из двух значений — 0 (False) или 1 (True). False и True в переводе на русский ложь и истина соответственно. То есть одна битовая ячейка может находиться одновременно лишь в одном состоянии из возможных двух. Напомню, два возможных состояния битовой ячейки равны — 1 и 0.
Есть определённые операции, для манипуляций с битами. Эти операции называются логическими или булевыми операциями, названные в честь одного из математиков — Джорджа Буля (1815-1864), который способствовал развитию этой области науки.
Все эти операции могут быть применены к любому биту, независимо от того, какое он имеет значение — 0(нуль) или 1(единицу). Ниже приведены основные логические операции и примеры их использования.

Логическая операция И (AND)

Обозначение AND: &

Логическая операция И выполняется с двумя битами, назовем их a и b. Результат выполнения логической операции И будет равен 1, если a и b равны 1, а во всех остальных (других) случаях, результат будет равен 0. Смотрим таблицу истинности логической операции and.

a(бит 1) b(бит 2) a(бит 1) & b(бит 2)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Логическая операция ИЛИ (OR)

Обозначение OR: |

Логическая операция ИЛИ выполняется с двумя битами (a и b). Результат выполнения логической операции ИЛИ будет равен 0, если a и b равны 0 (нулю), а во всех остальных (других) случаях, результат равен 1 (единице). Смотрим таблицу истинности логической операции OR. b(бит 2) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Логическая операция НЕ (not)

Обозначение NOT: ~
Логическая операция НЕ выполняется с одним битом. Результат выполнения этой логической операции напрямую зависит от состояния бита. Если бит находился в нулевом состоянии, то результат выполнения NOT будет равен единице и наоборот. Смотрим таблицу истинности логической операции НЕ.

a(бит 1) ~a(отрицание бита)
0 1
1 0

Запомните эти 4 логические операции. Используя эти логические операции, мы можем получить любой возможный результат. Подробно об использовании логических операций в С++ читаем .

Элементы Исключающее ИЛИ (по-английски — Exclusive-OR) также можно было бы отнести к простейшим элементам, но функция, выполняемая ими, несколько сложнее, чем в случае элемента И или элемента ИЛИ. Все входы элементов Исключающее ИЛИ равноправны, однако ни один из входов не может заблокировать другие входы, установив выходной сигнал в уровень единицы или нуля.

Рис. 4.1. Обозначения элементов Исключающее ИЛИ: зарубежные (слева) и отечественные (справа)

Под функцией Исключающее ИЛИ понимается следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше, или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль. Таблица истинности двухвходового элемента Исключающее ИЛИ приведена в табл. 4.1. Обозначения, принятые в отечественных и зарубежных схемах, показаны на рис. 4.1. Надпись на отечественном обозначении элемента Исключающее ИЛИ «=1» как раз и обозначает, что выделяется ситуация, когда на входах одна и только одна единица.

Элементов Исключающее ИЛИ в стандартных сериях немного. Отечественные серии предлагают микросхемы ЛП5 (четыре двухвходовых элемента с выходом 2С), ЛЛ3 и ЛП12, отличающиеся от ЛП5 выходом ОК. Слишком уж специфическая функция реализуется этими элементами.

С точки зрения математики, элемент Исключающее ИЛИ выполняет операцию так называемого суммирования по модулю 2. Поэтому эти элементы также называются сумматорами по модулю два. Как уже отмечалось в предыдущей лекции, обозначается суммирование по модулю 2 знаком плюса, заключенного в кружок.

Основное применение элементов Исключающее ИЛИ, прямо следующее из таблицы истинности, состоит в сравнении двух входных сигналов. В случае, когда на входы приходят две единицы или два нуля (сигналы совпадают), на выходе формируется нуль (см. табл. 4.1). Обычно при таком применении на один вход элемента подается постоянный уровень, с которым сравнивается изменяющийся во времени сигнал, приходящий на другой вход. Но значительно чаще для сравнения сигналов и кодов применяются специальные микросхемы компараторов кодов, которые будут рассмотрены в следующей лекции.

В качестве сумматора по модулю 2 элемент Исключающее ИЛИ используется также в параллельных и последовательных делителях по модулю 2, служащих для вычисления циклических контрольных сумм. Но подробно эти схемы будут рассмотрены в лекциях 14,15.

Важное применение элементов Исключающее ИЛИ — это управляемый инвертор (рис. 4.2). В этом случае один из входов элемента используется в качестве управляющего, а на другой вход элемента поступает информационный сигнал. Если на управляющем входе единица, то входной сигнал инвертируется, если же нуль — не инвертируется. Чаще всего управляющий сигнал задается постоянным уровнем, определяя режим работы элемента, а информационный сигнал является импульсным. То есть элемент Исключающее ИЛИ может изменять полярность входного сигнала или фронта, а может и не изменять в зависимости от управляющего сигнала.

Рис. 4.2. Элемент Исключающее ИЛИ как управляемый инвертор

В случае, когда имеется два сигнала одинаковой полярности (положительные или отрицательные), и при этом их одновременный приход исключается, элемент Исключающее ИЛИ может быть использован для смешивания этих сигналов (рис. 4.3). При любой полярности входных сигналов выходные сигналы элемента будут положительными. При положительных входных сигналах элемент Исключающее ИЛИ будет работать как элемент 2ИЛИ, а при отрицательных он будет заменять элемент 2И-НЕ. Такие замены могут быть полезны в тех случаях, когда в схеме остаются неиспользованными некоторые элементы Исключающее ИЛИ. Правда, при этом надо учитывать, что задержка распространения сигнала в элементе Исключающее ИЛИ обычно несколько больше (примерно в 1,5 раза), чем задержка в простейших элементах И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ.

Рис. 4.3. Применение элемента Исключающее ИЛИ для смешивания двух неодновременных сигналов

Рис. 4.4. Выделение фронтов входного сигнала с помощью элемента Исключающее ИЛИ

Еще одно важнейшее применение элемента Исключающее ИЛИ — формирование коротких импульсов по любому фронту входного сигнала (рис. 4.4). В данном случае не важно, положительный фронт входного сигнала или отрицательный, на выходе все равно формируется положительный импульс. Входной сигнал задерживается с помощью конденсатора или цепочки элементов, а затем исходный сигнал и его задержанная копия поступают на входы элемента Исключающее ИЛИ. В обеих схемах в качестве элементов задержки используются также двувходовые элементы Исключающее ИЛИ в неинвертирующем включении (на неиспользуемый вход подается нуль). В результате такого преобразования можно говорить об удвоении частоты входного сигнала, так как выходные импульсы следуют вдвое чаще, чем входные.

Основные логические функции и элементы, их таблицы истинности, схемы и условно-графические обозначения.

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву



Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Основные логические функции и элементы, их таблицы истинности, схемы и условно-графические обозначения.

Основные законы и правила булевой алгебры логики.

Логические схемы и их таблицы истинности, правила минимизации.

4. Основные термины и определения цифровой схемной логики.

 

Основные логические функции и элементы, их таблицы истинности, схемы и условно-графические обозначения

 

Уровни логических сигналов

 

Любая цифровая вычислительная машина состоит из логических схем – таких схем, которые могут находиться только в одном из двух возможных состояний – либо «логический ноль«, либо «логическая единица». За логический 0 и логическую 1 можно принять любое выражение, в том числе и словесное, которое можно характеризовать как «истина» и «ложь«. В вычислительной технике логические 0 и 1 – это состояние электрических схем с определенными параметрами. Так, для логических элементов и схем, выполненных по технологии транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ-схемы), логический 0 – это напряжение в диапазоне 0 + 0,4 В, а логическая 1 – это напряжение в диапазоне + 2,4…+5 В (рисунок 3.1). Работа логических схем описывается посредством специального математического аппарата, который называется логической (булевой) алгеброй или алгеброй логики. Булева алгебра была разработана Джорджем Булем (1815 – 1864 гг.), она является основой всех методов упрощения булевых выражений.


 

Рисунок 3.1 – Уровни логических сигналов на выходе цифровых

ТТЛ-микросхем

 

Логические переменные и логические функции– это такие переменные и функции, которые могут принимать только два значения — либо логический 0, либо логическая 1.

 

Если на вход логического элемента И-НЕ подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логическая 1.

В логических выражениях применяются обозначения:

— либо , но при этом из контекста должно быть ясно, что данное умножение именно логическое;

— либо ;

— либо ;

— либо .

Логическая функция и элемент ИЛИ-НЕ

 

В логических схемах этот элемент независимо от того, на какой элементной базе он реализован, обозначается так, как показано на рисунке 3.6,а. Таблица истинности приведена на рисунке 3.6,б.

 

Рисунок 3.6 – Логический элемент ИЛИ-НЕ на два входа

 

Если на вход логического элемента ИЛИ-НЕ подается хотя бы одна логическая 1, то на его выходе будет логический 0. В логических выражениях применяются обозначения:

— либо , но при этом из контекста должно быть ясно, что данное сложение именно логическое;

— либо .

 

Логические схемы и их таблицы истинности,

Правила минимизации

 

Х переменных

Рисунок 3.10 – Таблица истинности (а) и примеры заполнения карты Карно

(б, в, г, д) для логической функции 3 переменных

 

Для функции четырех переменных карта Карно – это квадрат 4×4 клетки. В этих клетках размещаются 16 значений функции из последнего столбца таблицы истинности (рисунок 3.11). При разметке обеих осей нужно также четко придерживаться последнего, четвертого правила разметки и следить за тем, чтобы по одной оси соседними не оказались сочетания 00 и 11, либо 01 и 10, в которых одновременно меняются обе переменные.

Для функции пяти переменных карта Карно представляет собой уже объемную фигуру – куб 4×4×4 клетки, поэтому для минимизации логических выражений она не применяется.

В конкретных случаях вместо значений функций в общем виде в клетки карты проставляются конкретные значения (логические 0 и 1) из соответствующих строк таблицы истинности. Затем рассматриваются только те клетки, которые заполнены единицами. Все эти единицы должны быть обведены контурами по следующим правилам составления контуров:

1. Контуры должны быть прямоугольными и содержать количество единиц, равное 2 n , где n – целое число. Таким образом, в контуре может быть либо одна, либо две, либо четыре, либо восемь единиц.

2. Количество единиц в контуре должно быть максимальным , при этом контуры могут пересекаться между собой. Нужно учитывать, что крайние строки являются соседними и крайние столбцы также являются соседними, поэтому контуры могут быть » разорванными «.

3. Количество контуров должно быть минимальным , но все единицы должны быть охвачены контурами. Нельзя забывать об отдельно стоящих единицах. Каждая такая единица – это контур, которому соответствует полное логическое произведение всех переменных.

4. После обведения контуров нужно записать минимальное выражение как логическую сумму логических произведений. Каждому произведению соответствует один контур карты Карно. В произведение входят только те переменные, которые остаются в данном контуре неизменными. При этом переменная входит в произведение с инверсией, если ее значение в данном контуре равно 0, и без инверсии, если ее значение равно 1.

 

Рисунок 3.11 – Таблица истинности (а) и примеры заполнения

карты Карно (б, в) для логической функции 4 переменных

 

Пример 1. Написать минимальное выражение для таблицы истинности, представленной на рисунке 3.12,а и нарисовать по нему логическую схему.

При одном варианте разметки осей (рисунок 3.12,б) первый контур, состоящий из четырех единиц, получается разорванным. Если же принять разметку, показанную на рисунке 3.12в, то контур будет иметь нормальные очертания, а выражение, ему соответствующее, останется без изменений. Учитывая, что при данном горизонтальном начертании карты Карно крайние столбцы являются соседними, ее можно представить себе как цилиндр, развернутый на плоскости. На рисунке 3.12б представлена развертка такого цилиндра, «разрезанная» между комбинациями «bc», равными 10 и 11. А на рисунке 3.12в представлена развертка этого же цилиндра, «разрезанная» между произведениями «bc», равными 11 и 01.

Первый контур охватывает четыре единицы, ему соответствует сумма минтермов: , в которой не изменяется только переменная «b». Второй контур охватывает две единицы. Ему соответствует сумма минтермов , в которой переменная «b» принимает оба возможных значения, а произведение  остается неизменным. Таким образом, получаем минимальное выражение:

                                                 (3.3)

 

Ему соответствует логическая схема на рисунке 3.12,г.

 

 

Рисунок 3.12 – Минимизация функции трех переменных

 

Для сравнения запишем максимальное выражение:

 

                  (3. 4)

 

Разница между (3.3) и (3.4) очевидна и в комментариях не нуждается, за исключением того, что схема, реализованная по (3.4), будет на порядок сложнее и, соответственно, менее надежна, чем схема, показанная на рисунке 3.12,г.

Пример 2. Написать минимальное выражение для таблицы истинности, представленной на рисунке 3.13,а, и нарисовать по нему логическую схему.

 

Рисунок 3.13 – Минимизация функции четырех переменных

 

При первоначально выбранной разметке осей (рисунок 3.13,б) первый контур, состоящий из четырех единиц с номерами 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4, расположенных по углам карты, получается разорванным.

Если же принять разметку, показанную на рисунке 3.14, то контур будет иметь очертания квадрата, а выражение, ему соответствующее, останется без изменений. Учитывая, что крайние столбцы являются соседними и крайние строки являются соседними, карту Карно для функции четырех переменных можно представить себе как торроид, развернутый на плоскости. Проще представить себе обратный процесс получения торроида из плоской фигуры – квадрата. Для этого надо сначала соединить мысленно крайние строки – получим цилиндр. После этого основания цилиндров надо мысленно соединить. Получится торроид. На рисунке 3.136 б представлена развертка такого торроида, «разрезанная» между комбинациями , равными 01 и 00 и между сочетаниями , равными 10 и 00. А на рисунке 3.14 представлена развертка этого же торроида, «разрезанная» между комбинациями , равными 11 и 10 и между произведениями , равными 11 и 01. После анализа контуров получим минимальное выражение

 

 

Рисунок 3.14 – К минимизации логической функции четырех переменных

 

Соответствующая ему схема приведена на рисунке 3.15.

Рисунок 3.15 – Логическая схема для минимизированного

Логического выражения

4. Основные термины и определения цифровой

схемной логики.

 

ДНФ – дизъюнктивно-нормальная форма – представление логического выражения в виде суммы произведений.

Инверсия – операция НЕ – логическое действие, при котором появление хотя бы одного логического нуля на входе даёт логический нуль на выходе.

Инвертор – логический элемент, реализующий операцию НЕ.

КНФ – конъюктивно-нормальная форма – представление логического выражения в виде произведения сумм.

Логическая переменная – переменная, значение которой может быть равно либо логическому нулю, либо логической единице.

Логическая схема – схема, состоящая из логических элементов.

Логическая функция – функция, включающая в себя логические переменные, значение которой может быть равно либо логическому нулю, либо логической единице.

Логический элемент – графическое представление элементарной логической функции.

Логическое отрицание – операция НЕ, инверсия – логическое действие, при котором происходит изменение состояния на противоположное.

Логическое сложение – операция ИЛИ, дизъюнкция – логическое действие, при котором появление хотя бы одной логической единицы на входе даёт логическую единицу на выходе.

Логическое умножение – операция И, конъюнкция – логическое действие, при котором появление хотя бы одного логического нуля на входе даёт логический нуль на выходе.

Таблица истинности – таблица, содержащая все возможные комбинации входных логических переменных и соответствующие им значения логической функции.

ДНФ– дизъюнктивно-нормальная форма – представление логического выражения в виде произведения сумм.

КНФ– конъюнктивно-нормальная форма – представление логического выражения в виде суммы произведений.

Минтерм– это полное произведение всех входных переменных, соответствующее одной строке таблицы истинности, в которой значение выходной переменной (значение функции) равно логической 1. Переменная входит в минтерм с инверсией, если её значение в строке истинности равно 0.

Каноническая сумма минтермов – это логическая сумма всех минтермов, которая представляет собой максимальное логическое выражение, соответствующее таблице истинности.

Карта Карно– графическое представление таблицы истинности.

Макстерм– это сумма всех входных переменных, соответствующее одной строке таблицы истинности, в которой значение выходной переменной (значение функции) равно 0. Переменная входит в макстерм с инверсией, если её значение в строке истинности равно 1.

Каноническое произведение макстермов– это логическая сумма всех макстермов, которая представляет собой максимальное логическое выражение, соответствующее таблице истинности.

 

Краткие итоги

 

Любая цифровая вычислительная машина состоит из логических схем. Логические схемы, в свою очередь, состоят из логических элементов. Самыми простыми логическими элементами являются элементы И, ИЛИ и НЕ. Им соответствуют функции логического умножения, сложения и инверсии.

Работа логической схемы наиболее наглядно может быть описана с помощью таблицы истинности. Возможно и решение обратной задачи – по известной таблице истинности синтезировать логическое выражение и логическую схему. Для синтеза схем применяется метод минимизации с помощью карт Карно. Наиболее рациональная логическая схема может быть синтезирована по минимизированному логическому выражению.

 

Набор для практики

Вопросы для самопроверки

1. Нарисуйте элементы И на два, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.

2. Нарисуйте элементы ИЛИ на три, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.

3. Нарисуйте элементы И-НЕ на два, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.

4. Нарисуйте элементы ИЛИ-НЕ на три, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.

5. Какой уровень сигнала является решающим для логического сложения? для логического умножения? для функции И-НЕ? для функции ИЛИ-НЕ?

 

Для логического сложения решающим является уровень логической 1.

Уровень логического 0 является решающим для логического умножения.

Если на вход логического элемента И-НЕ подается хотя бы один логический 0, то на его выходе будет логическая 1.

Если на вход логического элемента ИЛИ-НЕ подается хотя бы одна логическая 1, то на его выходе будет логический 0.

 

6. Что такое таблица истинности?

 

Таблица истинности – это таблица, содержащая все возможные комбинации входных логических переменных и соответствующие им значения логической функции.

7. Сколько строк в таблице истинности для 5-входовой логической схемы? для 4-входовой? для 2-входовой?

32, 16, 4

 

8. Функция скольких переменных описывается таблицей истинности длиной 4 строки? 64 строки? 512 строк?

2, 6, 9

 

 

Основные логические функции и элементы, их таблицы истинности, схемы и условно-графические обозначения.

12345Следующая ⇒



Читайте также:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии



Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 582; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.02 с.)

таблиц истинности | Математика для гуманитарных наук

Результаты обучения

  • Объединение наборов с использованием булевой логики и соответствующих обозначений
  • Использование операторов и условий для написания и интерпретации выражений
  • Используйте таблицу истинности для интерпретации сложных утверждений или условий
  • Напишите таблицы истинности с учетом логического следствия и связанных с ним утверждений — обратных, обратных и контрапозитивных
  • Определить, являются ли два оператора логически эквивалентными
  • Использовать законы ДеМоргана для определения логических эквивалентностей утверждения

Поскольку сложно представить сложные логические утверждения, мы можем создать таблицу истинности , чтобы разбить сложное утверждение на простые утверждения и определить, истинны они или ложны. Таблица поможет отслеживать все значения истинности простых утверждений, составляющих сложное утверждение, что приведет к анализу всего утверждения.

Таблица истинности

Таблица, показывающая результирующее значение истинности сложного утверждения для всех возможных значений истинности для простых утверждений.

Пример

Предположим, вы выбираете новый диван, и ваша вторая половинка говорит: «Купите секционный или что-нибудь с шезлонгом». Постройте таблицу истинности, описывающую элементы условий этого утверждения и соблюдение условий.

Показать раствор

Некоторые символы, которые обычно используются для и , или и , а не , облегчают использование таблицы истинности.

Символы

Символ [латекс]\клин[/латекс] используется для и : A и B обозначается как [латекс]А\клин {В}[/латекс].

Символ [латекс]\vee[/латекс] используется для или : A или B обозначается [латекс]A\vee{B}[/латекс]

Символ [латекс]\ sim[/latex] используется для не : не A обозначается как [latex]\sim{A}[/latex]

Вы можете запомнить первые два символа, связав их с фигурами для объединения и пересечения . [latex]A\wedge{B}[/latex] – это элементы, существующие в обоих наборах, в [latex]A\cap{B}[/latex]. Точно так же [latex]A\vee{B}[/latex] будет элементами, которые существуют в любом наборе, в [latex]A\cup{B}[/latex].
В предыдущем примере таблица истинности просто обобщала то, что мы уже знаем о том, как работают операторы или . Ниже показаны таблицы истинности для основных утверждений и , или и , а не .

Основные таблицы истинности

А Б [латекс]A\клин {B}[/латекс]
Т Т Т
Т Ф Ф
Ф Т Ф
Ф Ф Ф
А Б [латекс]A\vee{B}[/латекс]
Т Т Т
Т Ф Т
Ф Т Т
Ф Ф Ф
А [латекс]\sim{A}[/латекс]
Т Ф
Ф Т

Попробуйте

Таблицы истинности очень полезны при анализе более сложных логических выражений.

Пример

Создать таблицу истинности для утверждения [latex]A\wedge\sim\left(B\vee{C}\right)[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Когда мы обсуждали условия ранее, мы обсуждали тип, при котором мы предпринимаем действие на основе значения условия. Теперь мы поговорим о более общей версии условного предложения, иногда называемой импликацией .

Импликации

Импликации — это логические условные предложения, утверждающие, что утверждение p , называемое антецедентом, подразумевает следствие q .

Импликации обычно записываются как [latex]p\rightarrow{q}[/latex]

Импликации аналогичны условным операторам, которые мы рассматривали ранее; [latex]p\rightarrow{q}[/latex] обычно записывается как «если p, то q» или «p, следовательно, q». Разница между импликациями и условными предложениями заключается в том, что условные предложения, которые мы обсуждали ранее, предполагают действие — если условие истинно, то в результате мы предпринимаем какое-то действие. Импликации — это логическое утверждение, предполагающее, что следствие должно логически следовать, если антецедент истинен.

Пример

Английское высказывание «Если идет дождь, то облака — это небо» является логическим следствием. Является ли это веским аргументом, почему или почему нет?

Показать раствор

Обратите внимание, что это утверждение ничего не говорит нам о том, чего ожидать, если не идет дождь. Если антецедент ложен, то импликация становится нерелевантной.

Пример

Друг говорит вам, что «если вы загрузите это изображение на Facebook, вы потеряете работу». Опишите возможные результаты, связанные с этим утверждением, и определите, является ли утверждение вашего друга недействительным.

Показать раствор

В традиционной логике импликация считается достоверной (истинной), если нет случаев, в которых антецедент истинен, а следствие ложно. Важно помнить, что символическая логика не может охватить все тонкости английского языка.

Значения истинности для следствий

р q р → q
Т Т Т
Т Ф Ф
Ф Т Т
Ф Ф Т

Пример

Построить таблицу истинности для утверждения [latex]\left(m\wedge\sim{p}\right)\rightarrow{r}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Для любого следствия есть три связанных утверждения: обратное, обратное и противоположное.

Связанные операторы

Первоначальный вывод: «если p , то q »: [latex]q\rightarrow{p}[/latex]

Обратное: «если не p , то не q »: [latex]\sim{p}\rightarrow\sim{q}[/latex]

Противоположный вариант «если не q , то не p »: [latex]\sim{q}\rightarrow{p}[/latex]

Пример

Рассмотрим еще раз верный вывод: «Если идет дождь, значит, в небе облака».

Напишите соответствующие обратные, обратные и противоположные утверждения.

Показать раствор

Попробуйте

Глядя на таблицы истинности, мы видим, что исходное условное и контрапозитивное логически эквивалентны, а обратное и обратное логически эквивалентны.

Значение Конверс Инверсия Противоположный
р q [латекс]p\стрелка вправо{q}[/латекс] [латекс] q {\ rightarrow} р [/латекс] [латекс]\sim{p}\стрелка вправо\sim{q}[/латекс] [латекс]\sim{q}\стрелка вправо\sim{p}[/латекс]
Т Т Т Т Т Т
Т Ф Ф Т Т Ф
Ф Т Т Ф Ф Т
Ф Ф Т Т Т Т

Эквивалентность

Условное утверждение и его противоположность логически эквивалентны.

Обратное и обратное утверждения логически эквивалентны.

Булева логика и таблицы истинности

Последнее изменение: 09 августа 2021 г.

И используется, чтобы найти, где несколько условий верны

ИЛИ используется, чтобы найти, где хотя бы одно из нескольких условий верно

Если говорить более подробно, булева логика — это способ представления того, как обрабатываются биты в компьютере. Давайте больше изучим эти условные операторы (например, операторы if-else, where или case-when) с таблицами истинности, чтобы понять, как именно работает логическая логика.

Таблицы истинности

Например, давайте посмотрим на следующее условное выражение:

Если: А и В

Затем: C

Это возвращает значение C, когда значения A и B верны. Мы можем представить это с помощью так называемой таблицы истинности. Таблица истинности — это способ представления всех возможных входных данных и соответствующих им выходных данных. Таблица истинности для этого оператора И выглядит так:

А Б С
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
     

В таблице истинности 1 соответствует истине, а 0 представляет ложь. Глядя на эту таблицу, становится очевидным, что единственный случай, когда С истинно, — это когда истинны и А, и В.

Существует также оператор ИЛИ. Оператор ИЛИ верен, когда верно A OR B:

Если: А или В

Затем: C

Таблица истинности:

А Б С
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
     

Эта таблица истинности может немного отличаться от ожидаемой. Это связано с тем, что оператор ИЛИ является ложным только тогда, когда оба входных значения (A и B) имеют значение False.

93 или 8 ряд.

Далее нам нужно решить, сколько столбцов использовать. В этом случае у нас будет один столбец для каждого входа, один для вывода и один для значений A и B. Таблица истинности будет выглядеть так:

А Б С А или В Д
1 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 1 1
0 1 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
         

Как и ожидалось, когда таблица заполнена, единственный верный вывод — это когда верны все 3 входа.

Логика короткого замыкания

Из-за того, как работает логика И и ИЛИ , языки программирования могут использовать так называемую «логику короткого замыкания». Это когда оцениваются не все входные данные, потому что компьютер может угадать ответ по первому проверенному вводу. Чтобы увидеть, как это работает, снова взгляните на таблицу истинности AND:

.
А Б С
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
     

Обратите внимание, что, когда A равно False ( 0 ), C также всегда False. Это связано с тем, что C истинно только тогда, когда оба входа истинны, поэтому одно ложное значение C ложно.

Если компьютер использует условие И и первое входное значение ложно, то второе входное значение B никогда не будет проверяться. ИЛИ будет оцениваться как истина без проверки второго ввода, когда первый ввод верен. Эта способность компьютера аннулировать более поздние шаги логической логики может сэкономить много ненужной вычислительной мощности для вашего запроса.

Примеры в SQL

Пример условия WHERE : 

ВЫБЕРИТЕ * ИЗ [таблицы]
КУДА
[столбец A]=5 И [столбец B]=22;

Пример оператора CASE-WHEN 

КЕЙС
КОГДА [столбец A]=21 ИЛИ [столбец B]=7 ТО [Действие]
КОНЕЦ

Резюме

  • Булева логика И/ИЛИ может быть визуализирована с помощью таблицы истинности
    • Таблицы истинности две по количеству входных строк в них
    • 1 — правда
    • 0 — ложь
  • Логика короткого замыкания
    • Если первый ввод гарантирует конкретный результат, то второй вывод не будет прочитан
    • И — первый ввод false приведет к короткому замыканию на false
    • ИЛИ — первый ввод true приведет к короткому замыканию на true

Написано: Мэтью Лейн
Отзыв: Мэтт Дэвид

Оставьте отзыв о нашем Документе Google Далее – Условная логика

  • Дом
  • Веб-книги
  • Авторы
  • Миссия
  • Пожертвовать
  • Slack-сообщество

Наши веб-книги

  • Обмен данными
  • Управление облачными данными
  • Как спроектировать информационную панель
  • Как учить людей SQL
  • Изучите SQL
  • Избегайте искажения данных
  • Оптимизация SQL
  • Основы анализа

Как составить таблицу истинности

Как составить таблицу истинности

Philosophy. lander.edu

Домашняя страница > Логика > Символическая логика > Таблицы истинности        

 

Викторины
Тесты
Часто задаваемые вопросы
Звенья
Поиск
Показания
Архивы
Учебный план

 

Философия 103: Введение в логику
Как составить таблицу истинности

Аннотация: Объясняются и иллюстрируются общие принципы построения таблиц истинности.

  1. Как построить направляющие колонны:
    1. Запишите количество переменных (соответствующее количеству утверждений) в алфавитном порядке.
    2. Необходимое количество строк: 2 n , где n — количество переменных. ( Например, , с тремя переменными, 2 3 = 8).
    3. Начните с правой колонки и чередуйте T s и F , пока не закончатся линии.
    4. Затем перейдите влево к следующему столбцу и чередуйте пары Т и F , пока не закончатся линии.
    5. Затем перейдите к следующему левому столбцу и удвойте номера T и F до завершения.
  2. Пример: составить таблицу истинности для p (к р )

    Строка
    №
      ↓

    		Я, А переменные в алфавитном порядке

      ↓
    III, A
    Первая
    линия
    все T
    →
    		р q р q   r р (к р)
    1 Т Т Т Т Т
    I, B
    количество строк
    = 2 n
    →
    III, D
    половина T
    половина F     		2 Т Т Ф Т Т
    3 Т Ф Т Т Т
    4 Т Ф Ф Ф Т
    5 Ф Т Т Т Т
    6 Ф Т Ф Т Т
    7 Ф Ф Т Т Т
    8 Ф Ф Ф Ф Ф
    III, B
    последняя
    строка
    все F     		↑
    I, E
    альтернативный
    двойной по сравнению с предыдущим
    T и F     		↑
    I, D
    альтернативные
    пары
    T и F     		↑
    I, C
    альтернативный
    T и F
  3. В качестве проверки правильности выполнения направляющих столбцов:
    1. Первая горизонтальная линия будет состоять из всех T х.

      Похожие записи

      05.09.2023 0

      Coocox: CooCox. Текущее состояние дел. / CoIDE / Pluslab

      05.09.2023 0

      Приборы для измерения давления жидкости: Манометр — из чего состоит? Виды и типы

      05.09.2023 0

      Регулируемая индуктивность: Регулируемая катушка индуктивности на кольцевом сердечнике

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *