Таблица истинности это. Таблицы истинности в математической логике: принципы построения и применение

Что такое таблица истинности в логике. Как построить таблицу истинности для логического выражения. Какие правила нужно соблюдать при составлении таблиц истинности. Для чего используются таблицы истинности в математике и информатике.

Что такое таблица истинности и для чего она нужна

Таблица истинности — это таблица, которая показывает значения сложного логического выражения при всех возможных комбинациях значений входящих в него простых высказываний. Таблицы истинности используются в математической логике и информатике для анализа и упрощения логических выражений.

Основные цели использования таблиц истинности:

• Определение истинности сложного логического выражения
• Сравнение логических выражений на эквивалентность
• Упрощение сложных логических формул
• Проверка правильности логических рассуждений
• Анализ работы логических схем в электронике

Основные принципы построения таблиц истинности

При составлении таблицы истинности необходимо соблюдать следующие правила:

1. Определить все простые высказывания, входящие в логическое выражение
2. Записать все возможные комбинации значений истинности простых высказываний
3. Вычислить значения всех промежуточных логических операций
4. Определить итоговое значение всего выражения для каждой комбинации

Количество строк в таблице истинности равно 2^n, где n — число простых высказываний. Например, для выражения с 3 переменными таблица будет содержать 8 строк.

Пошаговый алгоритм построения таблицы истинности

Рассмотрим пошаговый процесс создания таблицы истинности на конкретном примере. Возьмем логическое выражение: (A ∧ B) ∨ ¬C

1. Определяем простые высказывания: A, B, C
2. Записываем все комбинации их значений (0 — ложь, 1 — истина):

   A B C
   0 0 0
   0 0 1
   0 1 0
   0 1 1
   1 0 0
   1 0 1 
   1 1 0
   1 1 1
   

3. Вычисляем промежуточные операции:

   A B C | A ∧ B | ¬C 
   0 0 0 |   0   |  1
   0 0 1 |   0   |  0
   0 1 0 |   0   |  1
   0 1 1 |   0   |  0
   1 0 0 |   0   |  1
   1 0 1 |   0   |  0
   1 1 0 |   1   |  1
   1 1 1 |   1   |  0
   

4. Определяем итоговое значение выражения:

   A B C | A ∧ B | ¬C | (A ∧ B) ∨ ¬C
   0 0 0 |   0   |  1 |      1
   0 0 1 |   0   |  0 |      0
   0 1 0 |   0   |  1 |      1
   0 1 1 |   0   |  0 |      0
   1 0 0 |   0   |  1 |      1
   1 0 1 |   0   |  0 |      0
   1 1 0 |   1   |  1 |      1
   1 1 1 |   1   |  0 |      1
   

Типы логических операций в таблицах истинности

В таблицах истинности используются следующие основные логические операции:

• Отрицание (¬) — изменяет значение высказывания на противоположное
• Конъюнкция (∧) — логическое «И», истинна только если оба операнда истинны
• Дизъюнкция (∨) — логическое «ИЛИ», истинна если хотя бы один операнд истинен
• Импликация (→) — логическое следование
• Эквиваленция (↔) — логическое равенство

Применение таблиц истинности для анализа логических выражений

Таблицы истинности позволяют проводить различные виды анализа логических формул:

Проверка тождественности выражений

Если таблицы истинности двух выражений полностью совпадают, то эти выражения тождественны. Например, можно доказать, что A ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ∨ B.

Определение выполнимости формулы

Формула считается выполнимой, если существует хотя бы одна комбинация значений переменных, при которой она истинна. Это можно проверить по таблице истинности.

Нахождение противоречий

Если формула ложна при всех наборах значений переменных, то она является противоречием. Это также видно из таблицы истинности.

Таблицы истинности в проектировании цифровых схем

В электронике таблицы истинности используются для описания работы логических элементов и цифровых схем. Они показывают, какие выходные сигналы будут получены при различных комбинациях входных сигналов.

Например, таблица истинности для логического элемента «И» (AND):

A B | A ∧ B
0 0 |   0
0 1 |   0
1 0 |   0
1 1 |   1

На основе таких таблиц разрабатываются более сложные цифровые устройства — сумматоры, шифраторы, триггеры и т.д.

Преимущества и ограничения таблиц истинности

Основные преимущества использования таблиц истинности:

• Наглядность представления работы логических выражений
• Простота проверки правильности логических рассуждений
• Возможность анализа всех возможных комбинаций входных данных

Однако у этого метода есть и ограничения:

• При большом количестве переменных таблицы становятся громоздкими
• Не подходят для анализа выражений с бесконечным множеством значений переменных
• Сложно применять для очень длинных и сложных логических формул

Заключение

Таблицы истинности являются мощным инструментом для анализа логических выражений и цифровых схем. Они позволяют наглядно представить работу сложных логических конструкций и проверить правильность логических рассуждений. Несмотря на некоторые ограничения, таблицы истинности широко используются в математической логике, информатике и электронике.

для логических операций и выражений, как строить

Содержание:

• Что такое таблицы истинности
• Логические операции
• Логические выражения
• Инверсия
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Правила составления таблицы истинности
• Примеры построения таблицы истинности

Содержание

• Что такое таблицы истинности
• Логические операции
• Логические выражения
• Инверсия
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Правила составления таблицы истинности
• Примеры построения таблицы истинности

Что такое таблицы истинности

Определение

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов.

Таблица истинности необходима для совершения логических операций. Она включает в себя n+1 столбцы и 2ⁿ строки, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах представлены разные значения аргументов функции, а в n+1 столбце представлены значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Набором называется совокупность значений переменных. А = 0, В = 1. В случае, когда количество переменных n, число различных наборов будет равно 2^N. Например, для трех переменных число разных наборов будет равно 2³ = 8.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице  в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции.

Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.

Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.

Логические операции

Определение

Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.

Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний. 

К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.

Логические выражения

Определение

Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».

Их можно разделить на два типа:

• выражения, использующие операции сравнения и принимающие логические значения. Например, выражение a < b, где a = 12, а b = 9, равно значению «ложь»;
• логические выражения, которые связаны с логическими величинами и операциями. Например, A ∨ В ∧ С, где А = истина, B = ложь и C = истина.

В логические выражения могут входить функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. Для таких случаев существует алгоритм выполнения действий. За исключением тех случаев, когда в логическом выражении присутствуют скобки, влияющие на порядок выполнения операций.

• вычисляется существующие функциональные зависимости;
• вычисляются алгебраические операции в обычном порядке;
• вычисляются операции сравнения в любом порядке;
• вычисляются логические операции начиная с операции отрицания. Следом вычисляется операция логического умножения, логического сложения, в последнюю очередь выполняются операции импликации и эквивалентности.

Инверсия

Определение

Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.

Если данное высказывание обозначается буквой A, то отрицание исходного высказывания обозначается следующим образом \([\overline{A}]\). Кроме этого возможно использование условного обозначения \(\neg A\). Читаться это будет как «не А», «А ложно», «неверно, что А», «отрицание А».

Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.

Конъюнкция

Определение

Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.

Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.

Дизъюнкция

Определение

Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.

Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.

Правила составления таблицы истинности

Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.

Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:

1. Вычислить число переменных в выражении (n).
2. Вычислить общее количество логических операций в выражении.
3. Определить последовательность, в которой будут выполняться логические операции.
4. Установить количество столбцов в таблице — количество переменных и количество операций.
5. Внести в шапку таблицы переменные и операции, соблюдая последовательность, определенную в пункте 3.
6. Высчитать количество строк в таблице, используя формулу m = 2ⁿ
7. Занести в таблицу наборы входных переменных. Они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2ⁿ−1.
8. Заполнить таблицу, совершая логические операции.

Примеры построения таблицы истинности

Задача

Построим таблицу истинности и решим выражение\( F = (A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\). Будем пользоваться приведенным выше алгоритмом.

1. Число переменных в выражении n = 2.
2. Общее количество логических операций в выражении — 5.
3. Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 2, 4, 3.
4. Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции \(\vee\), \(\wedge\), \(¬\), \(\vee\) , \(¬\) = 2 +5 = 7.
5. Количество строк — 5, исходя из m =2ⁿ, таким образом 2² = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5.
6. Заполним таблицу.

Решение

А	В	\(А \vee В\)	¬А	¬В	\(¬А \vee ¬В\)	\((A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\)
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1

Задача

Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение \(F = X \vee Y \wedge ¬Z\)

1. Число переменных в выражении n = 3.
2. Общее количество логических операций в выражении — 3.
3. Последовательность выполнения логических операций — 3, 2, 1.
4. Количество столбцов — 6. Логические переменные (X, Y, Z) + логические операции\( \vee\), \(\wedge\), ¬ = 3 + 3 = 6.
5. Количество строк — 9, исходя из m =2ⁿ, таким образом 2³ = 8, 8+1 (строка заголовков столбцов) = 9.
6. Заполним таблицу.

Решение

X	Y	Z	¬Z	\(Y \wedge ¬Z\)	\(X \vee Y \wedge ¬Z\)
0	0	0	q	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.50 (Голосов: 28)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Принципы построения таблиц истинности

Оглавление

Время чтения:  5 минут

667

Логическая функция одно из основополагающих понятий математической логики. Она зависит от логических переменных и принимает значения из множества, от которого находится в зависимости. Логические функции булевых переменных могут принимать только два значения – 1 или 0.

Понятие таблиц истинности

Задаваться логическая функция может числовым способом, словесным описанием, картами Карно, аналитическим выражением и с помощью таблиц истинности. В последнем случае все аргументы функции следует записать в левой части таблицы, а значения, которые им соответствуют, в правой.

Определения 1 — 2

Таблица истинности – это таблица, просто и наглядно показывающая, какие значения будут у логического выражения при всевозможных наборах переменных функции.

Равносильными именуют те логические выражения с совпадающими последними столбцами таблицы истинности. Обозначают равносильные функции знаком «=».

Правила того, как следует проводить построение таблицы истинности

Несоблюдение хотя бы одного из них ведёт к очень грубой ошибке. Вот эти правила:

• Число строк таблицы должно совпадать с числом комбинаций всевозможных n логических переменных, то есть быть равным 2ⁿ;
• Количество столбцов таблицы должно равняться сумме числа логических переменных и числа логических операций;
• В построенный шаблон таблицы истинности должны вписываться все значения исходных переменных;
• Построение таблицы истинности выражения происходит по её столбцам, при этом обязательно учитываются правила логических операций.

Порядок действий при построении таблицы истинности для логических выражений

Порядок действий при построении таблицы истинности, какой бы ни была логическая функция, следующий:

1. Определить, какое число строк и столбцов будет в будущей таблице. Делается подобное по формулам
   X = n + m, Y = 2ⁿ+1.
   Где n – число переменных, m – чило логических операций.
2. Заполнить самую верхнюю строку таблицы переменными и логическими операциями, идя слева направо. При этом приоритетность логических операций следует учитывать обязательно, иначе получится совсем не то, что нужно;
3. В первых столбцах перечислить всевозможные комбинации входных значений;
4. Выполняя заданные логические операции, заполнить все оставшиеся ячейки;

Ответом следует считать последний заполненный столбец таблицы.

О порядке логических операций

Лучше его представить списком. Логические операции выполняют в следующей последовательности: сначала идёт инверсия, затем конъюнкция, после этого дизъюнкция, после неё импликация, по её выполнении эквиваленция.

После них идут Штрих Шеффера и Стрелка Пирса. Первым может быть выполнено как то, так и другое.

Далее приведём несколько поучительных задач на построение таблиц истинности

Задачи 1 — 3

Сделать построение таблицы истинности для функции ((A→B) ∧ A) ↔ B

Решение:

1. 1. Определяем сколько будет у нас столбцов. Количество переменных у нас 2, логических операций 4, число столбцов равно сумме 2+4 = 6.
   2. Определяем, сколько будет у на строк. Оно равно 2ⁿ, плюс ещё одна строка для обозначения переменных и логических операций. У нас будет 2ⁿ+1 = 2² + 1= 5;
   3. Заполняем первую строку. Прописываем символы переменные и логических операций;
   4. В двух первых столбцах записываем возможные значения переменных;
   5. В далее идущих столбцах записываем, какие значения принимают промежуточные функции;
   6. В самом последнем из столбцов записываем итоговые значения функции.

В результате всего этого у нас должно получиться:

---

Провести построение таблицы истинности функции (A ∨ B) ∧ – C

Решение:

1. Определяем сколько будет столбцов. Количество переменных у нас 3, количество логических операций 3. Складываем то и другое: 3+3 = 5.
2. Определяем, количество строк. Оно равно 2n, плюс ещё одна строка для обозначения переменных и логических операций.В итоге будет 2n+1 = 2³ + 1= 9;
3. Заполняем первую строку. Прописываем символы переменные и логических операций;
4. В два первые столбца вносим возможные значения наших переменных;
5. В далее следующие столбцы записываем, какие значения принимают промежуточные функции;
6. В последнем столбце записываем итоговые значения функции.

В итоге получим таблицу:

---

Сделать таблицу истинности для

(A ∧ B ↔ B ∧ C) ∨ (C → A)

Функция посложнее и таблица получится значительно больше, чем предыдущая.

1. Считаем столбцы. Количество переменных 3, количество логических операций 6. Значит столбцов будет 3+6=9;
2. Считаем строки. Их количество будет 2³+1= 9;
3. Заполняем первую строку таблицы;
4. В первых столбцах записываем все допустимые значения наших переменных;
5. В остающихся столбцах пишем, какие наша функция принимает промежуточные значения
6. В последний столбец пишем итоговые значения данной нам функции.

В итоге у нас получается таблица:

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Построения функции, если известна её таблица истинности

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой считают такую нормальную форму, в которой отсутствуют одинаковые элементарные конъюкции и все конъюкции включают один и тот же набор переменных, куда каждая из них входит не более одного раза.

Алгоритм действий для получения СДНФ по таблице истинности:

1. Отметьте в таблице строки, в которых значение функции равняется 1
2. Выпишете для каждой отмеченной строки конъюкцию всех переменных. Если переменная равна 1, в конъюкцию следует включить саму эту переменную. Если переменная равняется 0, то её отрицание;
3. Все полученные конъюкции свяжите в дизъюкцию.

Аналогичным образом определяется СКНФ

В строках, в последнем столбце которых функция равна 0, запишите дизъюкции всех переменных. Если значение переменной в данной строке будет 0, в дизъюкцию следует включить саму эту переменную. Если значение функции равно 1, то включить нужно её отрицание.

Правило + задача

СДНФ всегда равно СКНФ. СДНФ = СКНФ.

Дана таблица истинности:

Выделяем в ней цветом строку

Заполняем столбцы с СДНФ и с СКНФ

Записываем СДНФ

СДНФ = A & B

Записываем СКНФ

СКНФ = (A ∨ B) & (A ∨ B) & (A ∨ B)

Оценить статью (79 оценок):

Поделиться

Жанна Ивановна Конева — Магистр прикладной информатики

Популярные статьи

Выполнение любых работ по информатике

Таблица истинности | логика | Британика

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история
• Этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт
• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история
• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
• Спасение Земли
  Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
• SpaceNext50
  Britannica представляет SpaceNext50. От полета на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые питают наше любопытство к космосу!

Содержание

• Введение

Краткие факты

• Связанный контент

О таблицах истинности — Таблицы истинности

• Обновлено 16 июня 2022 г.
• 2 Минуты на чтение

• Распечатать

• Поделиться

• Темный

  Свет

---

Обзор

A Таблица истинности — это тип правила, которое сравнивает пользовательские данные с несколькими комбинациями входных данных, используемых в условиях, для вывода правильного результата или результата. Каждая строка настроена с несколькими правилами операторов на основе входных данных, используемых в таблице истинности. Эти Правила операторов затем приводят к набору результатов. Если в таблице истинности возвращено несколько строк, будут разные комбинации, которые логика будет оценивать при сравнении входных данных пользователя.

Столбцы представляют данные ввода/вывода в каждой строке. Например, таблица истинности с именем и адресом электронной почты в качестве входных данных будет иметь один столбец для правила утверждения имени и другой для адреса электронной почты, а затем столбец результата для этой строки.

На приведенном ниже снимке экрана Марка, Модель и Год являются входными данными для Правила с условиями, настроенными для каждой строки. Вводимые пользователем данные сравниваются с каждой строкой, чтобы найти строку, в которой данные соответствуют критериям, которые затем выводят соответствующие данные.

Дополнительные сведения о создании таблицы истинности см. в следующей статье: Создание таблицы истинности.

Типы поведения вывода

• Правило возврата данных (одиночное) : возвращает одну переменную в поток.
• Правило действия : Передает значение и выполняет поток.
• Правило возврата данных (множественный, составной тип) : Создает новый тип данных на основе полей, указанных в возвращаемых данных. Это позволяет разработчику динамически создавать типы данных для вывода таблицы истинности на основе определенных полей.
• Правило возврата данных (несколько) : Возвращает несколько переменных в поток.

Варианты использования

Таблицы истинности можно использовать для самых разных вариантов использования. Таблицы истинности лучше всего использовать в случаях, когда используются правила , в которых используются вложенные операторы «если».