Зануление матрицы: методы, примеры и практическое применение

Что такое зануление матрицы. Как выполнить зануление строки или столбца матрицы. Какие методы используются для понижения порядка определителя. Как применяется зануление матрицы на практике.

Что такое зануление матрицы и зачем оно нужно

Зануление матрицы — это процесс обращения в ноль определенных элементов матрицы с целью упрощения дальнейших вычислений. Наиболее часто зануление применяется при вычислении определителей матриц высоких порядков.

Основные цели зануления матрицы:

• Упрощение структуры матрицы для облегчения вычислений
• Понижение порядка определителя матрицы
• Приведение матрицы к треугольному виду
• Подготовка матрицы к применению метода Гаусса

Зануление позволяет значительно сократить объем вычислений при работе с матрицами больших размерностей. Это делает его незаменимым инструментом в линейной алгебре и ее приложениях.

Методы зануления элементов матрицы

Существует несколько основных методов зануления элементов матрицы:

1. Зануление строки или столбца

При этом методе обнуляются все элементы выбранной строки или столбца, кроме одного. Это позволяет в дальнейшем разложить определитель по данной строке/столбцу.

2. Приведение к треугольному виду

Последовательное зануление элементов под главной диагональю матрицы, в результате чего матрица приводится к верхнетреугольному виду.

3. Метод Гаусса

Пошаговое зануление элементов матрицы с помощью элементарных преобразований строк. Позволяет привести матрицу к ступенчатому виду.

Алгоритм зануления строки матрицы

Рассмотрим пошаговый алгоритм зануления строки матрицы на примере:

1. Выбираем строку для зануления (обычно с наибольшим числом нулей)
2. Выбираем ненулевой элемент этой строки в качестве ведущего
3. Выполняем элементарные преобразования других строк, вычитая из них выбранную строку с нужным коэффициентом
4. В результате все элементы выбранной строки, кроме ведущего, обращаются в ноль

Пример зануления первой строки матрицы 3×3:

|2  1  3|    |2  1  3|
|4  3  5| -> |0  1 -1|
|6  5  7|    |0  3 -3|

Понижение порядка определителя с помощью зануления

Зануление позволяет эффективно понижать порядок определителя матрицы. Алгоритм:

1. Выполняем зануление строки/столбца матрицы
2. Разлагаем определитель по занулённой строке/столбцу
3. Получаем сумму произведений элементов на миноры меньшего порядка
4. Повторяем процесс для полученных миноров при необходимости

Этот метод особенно эффективен для определителей высоких порядков, позволяя свести вычисление к определителям меньших размерностей.

Практическое применение зануления матриц

Зануление матриц находит широкое применение в различных областях:

• Решение систем линейных уравнений методом Крамера
• Нахождение обратных матриц
• Приведение квадратичных форм к каноническому виду
• Решение задач линейного программирования
• Анализ электрических цепей
• Расчеты в строительной механике

Во всех этих случаях зануление позволяет упростить структуру матриц и сократить объем вычислений.

Зануление матриц в компьютерных вычислениях

В современных компьютерных системах зануление матриц широко используется в различных алгоритмах линейной алгебры. Основные преимущества:

• Уменьшение числа арифметических операций
• Снижение погрешностей округления
• Возможность распараллеливания вычислений
• Экономия памяти при хранении разреженных матриц

Многие математические пакеты и библиотеки реализуют оптимизированные алгоритмы зануления для эффективной работы с большими матрицами.

Типичные ошибки при занулении матриц

При выполнении зануления матриц важно избегать следующих распространенных ошибок:

• Неправильный выбор ведущего элемента (близкого к нулю)
• Потеря значащих цифр из-за вычитания близких чисел
• Накопление погрешностей округления
• Зацикливание алгоритма при наличии линейно зависимых строк

Для минимизации ошибок рекомендуется использовать масштабирование, выбор оптимального ведущего элемента и контроль точности вычислений.

Заключение

Зануление матриц является мощным инструментом линейной алгебры, позволяющим упростить многие вычислительные задачи. Освоение различных методов зануления и понимание их особенностей позволяет эффективно решать широкий спектр практических задач, связанных с матричными вычислениями.

Зануление строки матрицы онлайн. Понижение порядка определителя

Матрицы применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов – количеству неизвестных. Как результат – решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (к примеру, целых, комплексных или действительных чисел). Является совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Размер матрицы задается количеством строк и столбцов.

Важным значением любой матрицы является её определитель, который вычисляется по определённой формуле. Вручную необходимо проделать ряд операций с матрицей, чтобы вычислить её определитель. Определитель может быть как положительным, так отрицательным, так и равен нулю. Чтобы проверить свои вычисления определителя матрицы, Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Онлайн калькулятор мгновенно посчитает определитель матрицы и выдаст точное значение.

Определитель матрицы – это своеобразная характеристика матрицы, а точнее с помощью него можно определить имеет ли соответствующая система уравнений решение. Определитель матрицы широко используется в науке, такой как физика, с помощью которого вычисляется физический смысл многих величин.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Также с помощью нашего калькулятора вы сможете решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе.

Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных — возможность получения подробного решения. Наш сервис при

вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т. е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду . Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по i -той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по j -той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3

Сделаем ноль вместо элемента a 4 3 =9 . Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3 .
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a 1 3 = 3 в столбце № 3 . Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.

Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1 . Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2 , и результат запишем в столбце №3 , от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a 1 2 =4 . Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4 . Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.

Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3 , то и весь определитель увеличится в 3 . А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3 .

Определитель рассчитывается только для квадратных матриц и является сумой слагаемых n-ого порядка. Подробный алгоритм его вычисления будет описан в готовом решении, которое вы сможете получить сразу после ввода условия в данный онлайн калькулятор. Это доступная и простая возможность получить детальную теорию, поскольку решение будет представлено с подробной расшифровкой каждого шага.

Инструкция пользования данным калькулятором проста. Чтобы найти определитель матрицы онлайн сначала вам нужно определиться с размером матрицы и выбрать количество столбцов и, соответственно, строк в ней. Для этого кликните на иконку «+» или «-». Далее остаётся только ввести нужные числа и нажать «Вычислить». Можно вводить как целые, так и дробные числа. Калькулятор сделает всю требуемую работу и выдаст вам готовый результат.

Чтобы стать экспертом в математике, нужно много и упорно тренироваться. A ещё никогда не помешает дополнительный раз себя перепроверить. Поэтому, когда перед вами поставлена задача вычислить определитель матрицы, целесообразно воспользоваться онлайн калькулятором. Он справится очень быстро, и в течение нескольких секунд на мониторе появится, готовое решение. Это не предполагает, что онлайн калькулятор должен заменять вам традиционные расчёты. Но он является превосходным помощником, если вам интересно понять алгоритм вычисления определителя матрицы. K тому же, это превосходная возможность проверить, правильно ли выполнена контрольная, подстраховаться от неудачной оценки.

Вычислить определитель матрицы с примерами решения

Содержание:

1. Примеры с решением

Выбирается строка (или столбец) определителя, содержащие больше всего нулей. Используя свойство 6, зануляют в этой строке (или столбце) все элементы, кроме одного. После чего разлагают oт разделителя по этой строке (или столбцу). К полученному определителю применяют эту же схему.

Примеры с решением

Пример 1.

Вычислим определитель Мы видим, что все элементы отличны от нуля.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

В таком случае можно начать с любой строки или любого столбца. Например, с 1-го столбца. Наша цель — занулить все элементы, кроме одного, в 1-м столбце.

Прибавим 2-ю строку поэлементно к 4-й строке, а из 3-й строки вычтем поэлементно 1-ю строку, умноженную на 2:

Вынесем из последней строки общий множитель (2) за знак определителя

Мы получили в 1-м столбце два нуля. Также два нуля получены в 3-й строке. Прибавим 2-й столбец поэлементно к 4-му столбцу: Разложим определитель по 3-й строке: Вынесем из 1-й строки общий множитель (2) за знак определителя:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Матрица перехода

Действия над матрицами

Сложение матриц: примеры решения

Вычитание матриц: примеры решения

По одному нулю в 1-м столбце и 3-й строке. Вычтем из 2-й строки 1-ю строку, умноженную на 3:

Разложим определитель по 1-му столбцу:

Пример 2.

Вычислим определитель Основные методы вычисления определителей -го порядка. Метод понижения порядка определителя основан на следующем соотношении ( фиксировано):

где называется алгебраическим дополнением элемента и представляет собой (с точностью до знака ) определитель -го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием -й строки и -ro столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Соотношение (4) называется разложением определителя по -й строке. Аналогично определяется разложение определителя по столбцу.

Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно, используя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца).

Пример 3.

Вычислить определитель Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью. Полученный определитель разложим по первому столбцу. Имеем Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме элемента в левом верхнем углу, и затем вычисляем определитель второго порядка:

Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.

Пример 4.

Вычислить определитель

Вычитая первую строку из всех остальных, получаем

Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.

Пример 5.

Вычислить определитель Вандермонда

Покажем, что при любом определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей .Доказательство проведем по индукции, используя метод рекуррентных соотношений.

Действительно, при имеем

Пусть наше утверждение доказано для определителей Вандермонда порядка , т.е.

Преобразуем определитель следующим образом: из последней -й строки вычитаем -ю, умноженную на и, вообще, последовательно вычитаем из -Vi строки -ю, умноженную на . Получаем Разложим последний определитель по первому столбцу и вынесем из всех столбцов общие множители. Определитель принимает вид Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение индукции, окончательно выводим:

python — вся строка и столбец обнуляются для нулевого элемента в матрице

Я попытался выполнить код, следуя методу в colab, но он не работает по неизвестной причине.

 def convertMatrix (матрица):
    матрицаc=матрица
      для i в диапазоне (len (матрица)):
        для j в диапазоне (len (матрица [0])):
          если (матрица [я] [j] == 0):
            
            для k в диапазоне (len (matrixc)):
              матрицаc[k][j] = 0
              
            для l в диапазоне (len (matrixc [0])):
              матрицаc[i][l] = 0
              
            
      возврат (matrixc)
  печать (преобразовать матрицу ([[1,1,1], [1,0,1], [1,1,1]]))
 

, который в основном изменяет все строки и столбцы указанного элемента матрицы копирования на ноль и возвращает его.

Результат оказался: [[1, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]] когда результат должен быть: [[1,0,1],[0,0,0],[1,0,1]]

Пожалуйста, помогите с любым предложением по этому поводу.

• питон

4

Как только вы найдете свой первый. «0» означает, что вы не прекращаете сканировать матрицу в поисках большего количества нулей с помощью i, j: элементы, установленные в «0» при первом совпадении, вызовут добавление дополнительных «0 крестиков».

Если вы хотите воздействовать только на первый найденный «0», просто остановите сканирование, как только найдете его. В противном случае вам придется работать с двумя матрицами: одним источником и одной целью, и искать в источнике «0» при работе с целью.

Ах, читая код: вы пытались это сделать, но присваивание matrixc = matrix не создает новый объект — обе переменные ссылаются на один и тот же объект в памяти.

Вы можете использовать copy. deepcopy для создания нового «экземпляра» вашей матрицы:

 из копии импорта глубокой копии
def convertMatrix (матрица):
    matrixc = глубокая копия (матрица)
      для i в диапазоне (len (матрица)):
        для j в диапазоне (len (матрица [0])):
          если (матрица [я] [j] == 0):
            
            для k в диапазоне (len (matrixc)):
              матрицаc[k][j] = 0
              
            для l в диапазоне (len (matrixc [0])):
              матрицаc[i][l] = 0
              
            
      возврат (matrixc)
  печать (преобразовать матрицу ([[1,1,1], [1,0,1], [1,1,1]]))
 

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нулевые матрицы — Mathonline

Нулевые матрицы

Сложить Содержание Нулевые матрицы

Определение Матрица $m \times n$ $A$ является нулевой матрицей , если все элементы в матрице равны $0$, то есть $a_{ij} = 0$ для всех $1 ≤ i ≤ m$ и $1 ≤ j ≤ n$, $i, j \in \mathbb{N}$.

Определение нулевой матрицы не требует пояснений. Например, если $A$ является нулевой матрицей $2 \times 3$, она будет выглядеть так: $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.

Часто нулевые матрицы размера $m \times n$ обозначаются просто $0_{m \times n }$.

Теперь рассмотрим довольно простую теорему о различных операциях с нулевой матрицей.

Теорема 1: Пусть $A$ — матрица $m \times n$, а $0$ — нулевая матрица $m \times n$. Тогда: а) $A + 0 = 0 + A = A$. б) $0 — A = -A$. в) $А — А = 0$. г) $A \cdot 0 = 0$.

• Доказательство (a): Предположим, что $A$ и $0$ — матрицы размера $m \times n$. Таким образом:

(1)

\begin{align} \quad A + 0 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots& a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11}+0 & a_{12}+0 & \cdots & a_{1n}+0\\ a_{21}+0 & a_{22}+0 & \cdots & a_{2n }+0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}+0 & a_{m2}+0 & \cdots& a_{mn}+0 \end{bmatrix} = A \\ \ черный квадрат \end{align}

• Доказательство (b): Мы знаем, что по (a) $A + 0 = 0 + A = A$. Отсюда следует, что $0 — A = 0 + (-A) = -A$. $\blacksquare$

• Доказательство (c): Предположим, что $A$ — матрица размера $m \times n$, тогда:

(2)

\begin{align} \quad A — A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots& a_{mn} \end{bmatrix} — \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1 } & a_{m2} & \cdots& a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} — a_{11} & a_{12} — a_{12} & \cdots & a_{1n } — a_{1n}\\ a_{21} — a_{21} & a_{22} — a_{22} & \cdots & a_{2n} — a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} — a_{m1} & a_{m2} — a_{m2} & \cdots& a_{mn} — a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_{m \times n} = 0 \\ \blacksquare \end{align}

• Доказательство (d): Напомним, что любой элемент произведения двух матриц можно определить по формуле $(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_ {2j} + .