Зависимость сечения кабеля от длины и нагрузки. Расчет сечения кабеля: методика, формулы и примеры

Поток заряда по проводам часто сравнивают с потоком воды по трубам. Сопротивление потоку заряда в электрической цепи аналогично эффектам трения между водой и поверхностями трубы, а также сопротивлению, создаваемому препятствиями на ее пути.Именно это сопротивление препятствует потоку воды и снижает как скорость потока, так и скорость дрейфа . Подобно сопротивлению потоку воды, общее сопротивление потоку заряда в проводе электрической цепи зависит от некоторых четко идентифицируемых переменных.

Во-первых, общая длина проводов влияет на величину сопротивления. Чем длиннее провод, тем большее сопротивление будет. Существует прямая зависимость между величиной сопротивления, с которым сталкивается заряд, и длиной провода, который он должен пройти.В конце концов, если сопротивление возникает в результате столкновений между носителями заряда и атомами провода, то в более длинном проводе, вероятно, будет больше столкновений. Больше столкновений означает большее сопротивление.

Во-вторых, на величину сопротивления влияет площадь поперечного сечения проводов. Более широкие провода имеют большую площадь поперечного сечения. Вода будет течь по более широкой трубе с большей скоростью, чем по узкой. Это можно объяснить меньшим сопротивлением, которое присутствует в более широкой трубе.Таким же образом, чем шире провод, тем меньше будет сопротивление прохождению электрического заряда. Когда все другие переменные одинаковы, заряд будет течь с большей скоростью через более широкие провода с большей площадью поперечного сечения, чем через более тонкие провода.

Третья переменная, которая, как известно, влияет на сопротивление потоку заряда, — это материал, из которого сделан провод. Не все материалы одинаковы с точки зрения их проводящей способности. Некоторые материалы являются лучшими проводниками, чем другие, и обладают меньшим сопротивлением потоку заряда.Серебро — один из лучших проводников, но никогда не используется в проводах бытовых цепей из-за своей стоимости. Медь и алюминий являются одними из наименее дорогих материалов с подходящей проводящей способностью, позволяющей использовать их в проводах бытовых цепей. На проводящую способность материала часто указывает его удельное сопротивление . Удельное сопротивление материала зависит от электронной структуры материала и его температуры. Для большинства (но не для всех) материалов удельное сопротивление увеличивается с повышением температуры.В таблице ниже приведены значения удельного сопротивления для различных материалов при температуре 20 градусов Цельсия.

Как видно из таблицы, существует широкий диапазон значений удельного сопротивления для различных материалов.Материалы с более низким сопротивлением обладают меньшим сопротивлением потоку заряда; они лучше дирижеры. Материалы, показанные в последних четырех строках вышеприведенной таблицы, обладают таким высоким удельным сопротивлением, что их даже нельзя рассматривать как проводники.

Сопротивление — это числовая величина, которую можно измерить и выразить математически. Стандартной метрической единицей измерения сопротивления является ом, представленный греческой буквой омега -. Электрическое устройство с сопротивлением 5 Ом будет представлено как R = 5 . Уравнение, представляющее зависимость сопротивления ( R ) проводника цилиндрической формы (например,, провод) от влияющих на него переменных равно

, где L представляет длину провода (в метрах), A представляет площадь поперечного сечения провода (в метрах ² ) и представляет удельное сопротивление материала (в Ом • метр). В соответствии с обсуждением выше, это уравнение показывает, что сопротивление провода прямо пропорционально длине провода и обратно пропорционально площади поперечного сечения провода.Как показано в уравнении, знание длины, площади поперечного сечения и материала, из которого изготовлен провод (и, следовательно, его удельного сопротивления), позволяет определить сопротивление провода.

Резисторы — один из наиболее распространенных компонентов в электрических цепях. На большинстве резисторов нанесены цветные полосы или полосы. Цвета отображают информацию о значении сопротивления.Возможно, вы работаете в лаборатории и вам нужно знать сопротивление резистора, используемого в лаборатории. Используйте виджет ниже , чтобы определить значение сопротивления по цветным полосам.

1. В бытовых цепях часто используются провода двух разной ширины: 12-го и 14-го калибра. Проволока 12-го калибра имеет диаметр 1/12 дюйма, а проволока 14-го калибра — 1/14 дюйма.Таким образом, провод 12-го калибра имеет более широкое сечение, чем провод 14-го калибра. Цепь на 20 А, используемая для настенных розеток, должна быть подключена с использованием провода 12-го калибра, а цепь на 15 А, используемая для цепей освещения и вентиляторов, должна быть подключена с помощью провода 14-го калибра. Объясните физику, лежащую в основе такого электрического кода.

2. Основываясь на информации, изложенной в предыдущем вопросе, объясните риск, связанный с использованием провода 14-го калибра в цепи, которая будет использоваться для питания 16-амперной пилы.

3. Определите сопротивление медного провода 12 калибра длиной 1 милю. Дано: 1 миля = 1609 метров и диаметр = 0,2117 см.

4. Два провода — A и B — круглого сечения имеют одинаковую длину и изготовлены из одного материала. Тем не менее, сопротивление провода A в четыре раза больше, чем у провода B.Во сколько раз диаметр проволоки B больше диаметра проволоки A?

Сопротивление и удельное сопротивление | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Объясните понятие удельного сопротивления.
• Используйте удельное сопротивление для расчета сопротивления материала указанной конфигурации.
• Используйте термический коэффициент удельного сопротивления для расчета изменения сопротивления в зависимости от температуры.

Зависимость сопротивления от материала и формы

Сопротивление объекта зависит от его формы и материала, из которого он сделан. Цилиндрический резистор на Рисунке 1 легко анализировать, и таким образом мы можем получить представление о сопротивлении более сложных форм. Как и следовало ожидать, электрическое сопротивление цилиндра R прямо пропорционально его длине L , подобно сопротивлению трубы потоку жидкости.Чем длиннее цилиндр, тем больше зарядов соударяется с его атомами. Чем больше диаметр цилиндра, тем больше тока он может пропускать (опять же, как поток жидкости по трубе). Фактически, R обратно пропорционален площади поперечного сечения цилиндра A .

Рис. 1. Однородный цилиндр длиной L и площадью поперечного сечения A. Его сопротивление потоку тока аналогично сопротивлению, которое труба оказывает потоку жидкости. Чем длиннее цилиндр, тем больше его сопротивление.Чем больше площадь его поперечного сечения A, тем меньше его сопротивление.

Для данной формы сопротивление зависит от материала, из которого изготовлен объект. Различные материалы обладают разным сопротивлением потоку заряда. Мы определяем удельное сопротивление ρ вещества так, чтобы сопротивление R объекта было прямо пропорционально ρ . Удельное сопротивление ρ — это внутреннее свойство материала, независимо от его формы или размера.Сопротивление R однородного цилиндра длиной L , площадью поперечного сечения A , изготовленного из материала с удельным сопротивлением ρ , составляет

[латекс] R = \ frac {\ rho L} {A} \\ [/ латекс].

В таблице 1 приведены репрезентативные значения ρ . Материалы, перечисленные в таблице, разделены на категории проводников, полупроводников и изоляторов на основе широких групп удельных сопротивлений. У проводников наименьшее удельное сопротивление, а у изоляторов наибольшее; полупроводники имеют промежуточное удельное сопротивление.Проводники имеют различную, но большую плотность свободных зарядов, тогда как большинство зарядов в изоляторах связаны с атомами и не могут двигаться. Полупроводники являются промежуточными, имеют гораздо меньше свободных зарядов, чем проводники, но обладают свойствами, из-за которых количество свободных зарядов сильно зависит от типа и количества примесей в полупроводнике. Эти уникальные свойства полупроводников находят применение в современной электронике, о чем мы поговорим в следующих главах.

Пример 1.Расчет диаметра резистора: нить накала фары

Нить накала автомобильной фары изготовлена ​​из вольфрама и имеет сопротивление холоду 0,350 Ом. Если нить представляет собой цилиндр длиной 4,00 см (ее можно свернуть в бухту для экономии места), каков ее диаметр?

Мы можем переписать уравнение [латекс] R = \ frac {\ rho L} {A} \\ [/ latex], чтобы найти площадь поперечного сечения A нити на основе данной информации. Тогда его диаметр можно определить, предположив, что он имеет круглое поперечное сечение.{-5} \ text {m} \ end {array} \\ [/ latex].

Диаметр чуть меньше десятой миллиметра. Он состоит только из двух цифр, потому что ρ известен только из двух цифр.

Температурное изменение сопротивления

Удельное сопротивление всех материалов зависит от температуры. Некоторые даже становятся сверхпроводниками (нулевое сопротивление) при очень низких температурах. (См. Рисунок 2.)

Рис. 2. Сопротивление образца ртути равно нулю при очень низких температурах — это сверхпроводник до примерно 4.2 К. Выше этой критической температуры его сопротивление резко возрастает, а затем увеличивается почти линейно с температурой.

И наоборот, удельное сопротивление проводников увеличивается с увеличением температуры. Поскольку атомы колеблются быстрее и на больших расстояниях при более высоких температурах, электроны, движущиеся через металл, совершают больше столкновений, эффективно увеличивая удельное сопротивление. При относительно небольших изменениях температуры (около 100 ° C или менее) удельное сопротивление ρ изменяется с изменением температуры Δ T , как выражается в следующем уравнении

ρ = ρ ₀ (1 + α Δ T ),

, где ρ ₀ — исходное удельное сопротивление, а α — температурный коэффициент удельного сопротивления .(См. Значения α в Таблице 2 ниже.) Для более значительных изменений температуры α может изменяться или может потребоваться нелинейное уравнение, чтобы найти ρ . Обратите внимание, что α положительно для металлов, что означает, что их удельное сопротивление увеличивается с температурой. Некоторые сплавы были разработаны специально, чтобы иметь небольшую температурную зависимость. Например, манганин (который состоит из меди, марганца и никеля) имеет α , близкое к нулю (до трех знаков на шкале в Таблице 2), и поэтому его удельное сопротивление незначительно изменяется с температурой.Это полезно, например, для создания не зависящего от температуры эталона сопротивления.

Отметим также, что α отрицательно для полупроводников, перечисленных в таблице 2, что означает, что их удельное сопротивление уменьшается с увеличением температуры.Они становятся лучшими проводниками при более высоких температурах, потому что повышенное тепловое перемешивание увеличивает количество свободных зарядов, доступных для переноса тока. Это свойство уменьшения ρ с температурой также связано с типом и количеством примесей, присутствующих в полупроводниках. Сопротивление объекта также зависит от температуры, поскольку R ₀ прямо пропорционально ρ . Для цилиндра мы знаем, что R = ρL / A , и поэтому, если L и A не сильно изменяются с температурой, R будет иметь такую ​​же температурную зависимость, как ρ .(Исследование коэффициентов линейного расширения показывает, что они примерно на два порядка меньше типичных температурных коэффициентов удельного сопротивления, поэтому влияние температуры на L и A примерно на два порядка меньше, чем на ρ .) Таким образом,

R = R ₀ (1 + α Δ T )

— это температурная зависимость сопротивления объекта, где R ₀ — исходное сопротивление, а R — сопротивление после изменения температуры Δ T .Многие термометры основаны на влиянии температуры на сопротивление. (См. Рис. 3.) Одним из наиболее распространенных является термистор, полупроводниковый кристалл с сильной температурной зависимостью, сопротивление которого измеряется для определения его температуры. Устройство небольшое, поэтому быстро приходит в тепловое равновесие с той частью человека, к которой прикасается.

Рис. 3. Эти знакомые термометры основаны на автоматическом измерении сопротивления термистора в зависимости от температуры.(Источник: Biol, Wikimedia Commons)

Пример 2. Расчет сопротивления: сопротивление горячей нити

Хотя следует соблюдать осторожность при применении ρ = ρ ₀ (1 + α Δ T ) и R = R ₀ (1 + α Δ T ) для изменений температуры более 100 ° C, для вольфрама уравнения достаточно хорошо работают при очень больших изменениях температуры. Каково же тогда сопротивление вольфрамовой нити в предыдущем примере, если ее температура повышается с комнатной температуры (20ºC) до типичной рабочей температуры 2850ºC?

Это прямое приложение R = R ₀ (1 + α Δ T ), поскольку исходное сопротивление нити было задано равным R ₀ = 0.{-3} / º \ text {C} \ right) \ left (2830º \ text {C} \ right) \ right] \\ & = & {4.8 \ Omega} \ end {array} \\ [/ latex] .

Это значение соответствует примеру сопротивления фары в Законе Ома: сопротивление и простые цепи.

Узнайте о физике сопротивления в проводе. Измените его удельное сопротивление, длину и площадь, чтобы увидеть, как они влияют на сопротивление провода. Размеры символов в уравнении меняются вместе со схемой провода.

Щелкните, чтобы запустить моделирование.

Сводка раздела

• Сопротивление R цилиндра длиной L и площадью поперечного сечения A составляет [латекс] R = \ frac {\ rho L} {A} \ [/ латекс], где ρ — удельное сопротивление материала.
• Значения ρ в таблице 1 показывают, что материалы делятся на три группы: проводников, полупроводников и изоляторов .
• Температура влияет на удельное сопротивление; для относительно небольших изменений температуры Δ T удельное сопротивление равно [латекс] \ rho = {\ rho} _ {0} \ left (\ text {1} + \ alpha \ Delta T \ right) \\ [/ latex], где ρ ₀ — исходное удельное сопротивление, а [латекс] \ text {\ alpha} [/ latex] — температурный коэффициент удельного сопротивления.
• В таблице 2 приведены значения температурного коэффициента удельного сопротивления α .
• Сопротивление R объекта также зависит от температуры: [латекс] R = {R} _ {0} \ left (\ text {1} + \ alpha \ Delta T \ right) \\ [/ latex], где R ₀ — исходное сопротивление, а R — сопротивление после изменения температуры.

Концептуальные вопросы

1. В каком из трех полупроводниковых материалов, перечисленных в таблице 1, примеси дают свободные заряды? (Подсказка: изучите диапазон удельного сопротивления для каждого из них и определите, имеет ли чистый полупроводник большую или меньшую проводимость.)

2. Зависит ли сопротивление объекта от пути тока, проходящего через него? Рассмотрим, например, прямоугольный стержень — одинаково ли его сопротивление по длине и по ширине? (См. Рисунок 5.)

Рис. 5. Встречается ли ток, проходящий двумя разными путями через один и тот же объект, с разным сопротивлением?

3. Если алюминиевый и медный провода одинаковой длины имеют одинаковое сопротивление, какой из них имеет больший диаметр? Почему?

4. Объясните, почему [латекс] R = {R} _ {0} \ left (1+ \ alpha \ Delta T \ right) \\ [/ latex] для температурного изменения сопротивления R объекта равно не так точен, как [латекс] \ rho = {\ rho} _ {0} \ left ({1} + \ alpha \ Delta T \ right) \\ [/ latex], что дает температурное изменение удельного сопротивления ρ .

Задачи и упражнения

1. Каково сопротивление отрезка медного провода 12-го калибра длиной 20,0 м и диаметром 2,053 мм?

2. Диаметр медного провода нулевого сечения — 8,252 мм. Найдите сопротивление такого провода длиной 1,00 км, используемого для передачи энергии.

3. Если вольфрамовая нить диаметром 0,100 мм в лампочке должна иметь сопротивление 0,200 Ом при 20 ° C, какой длины она должна быть?

4. Найдите отношение диаметра алюминиевого провода к медному, если они имеют одинаковое сопротивление на единицу длины (как в бытовой электропроводке).

5. Какой ток протекает через стержень из чистого кремния диаметром 2,54 см и длиной 20,0 см при приложении к нему 1,00 × 10 ³ В? (Такой стержень может быть использован, например, для изготовления детекторов ядерных частиц.)

6. (a) До какой температуры нужно нагреть медный провод, изначально равный 20,0 ° C, чтобы удвоить его сопротивление, не обращая внимания на любые изменения в размерах? (б) Происходит ли это в бытовой электропроводке при обычных обстоятельствах?

7. Резистор из нихромовой проволоки используется там, где его сопротивление не может изменяться более чем на 1.00% от его значения при 20,0ºC. В каком температурном диапазоне его можно использовать?

8. Из какого материала изготовлен резистор, если его сопротивление на 40,0% больше при 100 ° C, чем при 20,0 ° C?

9. Электронное устройство, предназначенное для работы при любой температуре в диапазоне от –10,0 ° C до 55,0 ° C, содержит резисторы из чистого углерода. В какой степени их сопротивление увеличивается в этом диапазоне?

10. (a) Из какого материала изготовлена ​​проволока, если она имеет длину 25,0 м, диаметр 0,100 мм и сопротивление 77.7 Ом при 20,0 ° C? (б) Каково его сопротивление при 150 ° C?

11. При условии постоянного температурного коэффициента удельного сопротивления, каков максимальный процент уменьшения сопротивления константановой проволоки, начиная с 20,0 ° C?

12. Через матрицу протягивают проволоку, растягивая ее в четыре раза по сравнению с исходной длиной. По какому фактору увеличивается его сопротивляемость?

13. Медный провод имеет сопротивление 0,500 Ом при 20,0 ° C, а железный провод имеет сопротивление 0,525 Ом при той же температуре.При какой температуре их сопротивления равны?

14. (a) Цифровые медицинские термометры определяют температуру путем измерения сопротивления полупроводникового устройства, называемого термистором (который имеет α = –0,0600 / ºC), когда он находится при той же температуре, что и пациент. Какова температура пациента, если сопротивление термистора при этой температуре составляет 82,0% от его значения при 37,0 ° C (нормальная температура тела)? (b) Отрицательное значение для α может не поддерживаться при очень низких температурах.Обсудите, почему и так ли здесь. (Подсказка: сопротивление не может стать отрицательным.)

15. Integrated Concepts (a) Повторите упражнение 2 с учетом теплового расширения вольфрамовой нити. Вы можете принять коэффициент теплового расширения 12 × 10 ⁻⁶ / ºC. б) На какой процент ваш ответ отличается от приведенного в примере?

16. Необоснованные результаты (a) До какой температуры нужно нагреть резистор из константана, чтобы удвоить его сопротивление, при условии постоянного температурного коэффициента удельного сопротивления? б) разрезать пополам? (c) Что необоснованного в этих результатах? (d) Какие предположения необоснованны или какие посылки несовместимы?

Сноски

1. 1 Значения сильно зависят от количества и типа примесей
2. 2 значения при 20 ° C.

Глоссарий

удельное сопротивление:

внутреннее свойство материала, независимо от его формы или размера, прямо пропорциональное сопротивлению, обозначаемое как ρ

температурный коэффициент удельного сопротивления:

эмпирическая величина, обозначаемая α , которая описывает изменение сопротивления или удельного сопротивления материала при температуре

Избранные решения проблем и упражнения

1.0,104 Ом

3. 2,8 × 10 ⁻² м

5. 1,10 × 10 ⁻³ A

7. от −5ºC до 45ºC

9. 1.03

11. 0,06%

13. −17ºC

15. (a) 4,7 Ом (всего) (b) уменьшение на 3,0%

Эластичность: напряжение и деформация | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Закон штата Гука.
• Объясните закон Гука, используя графическое представление между деформацией и приложенной силой.
• Обсудите три типа деформаций, такие как изменение длины, сдвиг в сторону и изменение объема.
• Опишите на примерах модуль Юнга, модуль сдвига и модуль объемной упругости.
• Определите изменение длины с учетом массы, длины и радиуса.

Теперь мы переходим от рассмотрения сил, влияющих на движение объекта (таких как трение и сопротивление), к тем, которые влияют на форму объекта. Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не двинется с места, но заметно изменит форму.Изменение формы из-за приложения силы — это деформация . Известно, что даже очень небольшие силы вызывают некоторую деформацию. При малых деформациях наблюдаются две важные характеристики. Во-первых, объект возвращается к своей исходной форме, когда сила снимается, то есть деформация является упругой для небольших деформаций. Во-вторых, размер деформации пропорционален силе, то есть при малых деформациях соблюдается закон Гука. В форме уравнения Закон Гука равен

F = k Δ L ,

, где Δ L — величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k — константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также от направления движения. сила.Обратите внимание, что эта сила является функцией деформации Δ L — она ​​не постоянна, как кинетическая сила трения. Переставляем это на

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {F} {k} [/ latex]

дает понять, что деформация пропорциональна приложенной силе. На рисунке 1 показано соотношение по закону Гука между удлинением Δ L пружины или человеческой кости. Для металлов или пружин область прямой линии, к которой относится закон Гука, намного больше.Кости хрупкие, эластичная область небольшая, а перелом резкий. В конце концов, достаточно большое напряжение материала приведет к его разрушению или разрушению.

Закон Гука

F = kΔL ,

, где Δ L — величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k — константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также от направления движения. сила.

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {F} {k} [/ latex]

Рис. 1. График зависимости деформации ΔL от приложенной силы F. Прямой сегмент — это линейная область, в которой соблюдается закон Гука. Наклон прямой области [латекс] \ frac {1} {k} [/ latex]. Для больших сил график изогнут, но деформация остается упругой — ΔL вернется к нулю, если сила будет устранена. Еще большие силы деформируют объект до тех пор, пока он не сломается.Форма кривой возле трещины зависит от нескольких факторов, в том числе от того, как прикладывается сила F . Обратите внимание, что на этом графике наклон увеличивается непосредственно перед трещиной, указывая на то, что небольшое увеличение F дает большое увеличение L рядом с трещиной.

Константа пропорциональности k зависит от ряда факторов материала. Например, гитарная струна из нейлона растягивается при затягивании, а удлинение Δ L пропорционально приложенной силе (по крайней мере, для небольших деформаций).Более толстые нейлоновые и стальные струны меньше растягиваются при одной и той же приложенной силе, что означает, что они имеют большее значение k (см. Рисунок 2). Наконец, все три струны возвращаются к своей нормальной длине, когда сила снимается, при условии, что деформация мала. Большинство материалов будут вести себя таким образом, если деформация будет меньше примерно 0,1% или примерно 1 часть на 10 ³ .

Рис. 2. Одна и та же сила, в данном случае груз (w), приложенная к трем различным гитарным струнам одинаковой длины, вызывает три различных деформации, показанные заштрихованными сегментами.Левая нить из тонкого нейлона, посередине — из более толстого нейлона, а правая — из стали.

Растянись немного

Как бы вы измерили константу пропорциональности k резиновой ленты? Если резинка растянулась на 3 см, когда к ней была прикреплена 100-граммовая масса, то насколько она растянулась бы, если бы две одинаковые резинки были прикреплены к одной и той же массе — даже если соединить их параллельно или, наоборот, если связать вместе последовательно?

Теперь мы рассмотрим три конкретных типа деформаций: изменение длины (растяжение и сжатие), сдвиг в сторону (напряжение) и изменения объема.Все деформации считаются небольшими, если не указано иное.

Изменения длины — растяжение и сжатие: модуль упругости

Изменение длины Δ L происходит, когда к проволоке или стержню прилагается сила, параллельная ее длине L ₀ , либо растягивая (натяжение), либо сжимая. (См. Рисунок 3.)

Рис. 3. (a) Напряжение. Стержень растягивается на длину ΔL , когда сила прилагается параллельно его длине. (б) Сжатие.Тот же стержень сжимается силами той же величины в противоположном направлении. Для очень малых деформаций и однородных материалов ΔL примерно одинаково для одинаковой величины растяжения или сжатия. При больших деформациях площадь поперечного сечения изменяется при сжатии или растяжении стержня.

Эксперименты показали, что изменение длины (Δ L ) зависит только от нескольких переменных. Как уже отмечалось, Δ L пропорциональна силе F и зависит от вещества, из которого изготовлен объект.Кроме того, изменение длины пропорционально исходной длине L ₀ и обратно пропорционально площади поперечного сечения проволоки или стержня. Например, длинная гитарная струна растягивается больше, чем короткая, а толстая струна растягивается меньше, чем тонкая. Мы можем объединить все эти факторы в одно уравнение для Δ L :

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex],

, где Δ L — изменение длины, F — приложенная сила, Y — коэффициент, называемый модулем упругости или модулем Юнга, который зависит от вещества, A — площадь поперечного сечения, L ₀ — исходная длина.В таблице 1 перечислены значения Y для нескольких материалов — те, которые имеют большой Y , как говорят, имеют большую прочность на разрыв , потому что они меньше деформируются при заданном растяжении или сжатии.

Модули Юнга не указаны для жидкостей и газов в таблице 1, потому что они не могут быть растянуты или сжаты только в одном направлении. Обратите внимание, что предполагается, что объект не ускоряется, поэтому на самом деле существуют две приложенные силы величиной F , действующие в противоположных направлениях.Например, струны на рисунке 3 тянут вниз силой величиной w и удерживаются за потолок, который также оказывает силу величиной w .

Пример 1. Растяжение длинного кабеля

Подвесные тросы используются для перевозки гондол на горнолыжных курортах. (См. Рис. 4). Рассмотрим подвесной трос, длина которого без опоры составляет 3 км. Рассчитайте степень растяжения стального троса. Предположим, что кабель имеет диаметр 5,6 см и максимальное натяжение, которое он может выдержать, равно 3.0 × 10 ⁶ Н.

Рис. 4. Гондолы перемещаются по подвесным тросам на горнолыжном курорте Гала Юдзава в Японии. (Источник: Руди Херман, Flickr)

Стратегия

Сила равна максимальному натяжению, или F = 3,0 × 10 ⁶ Н. Площадь поперечного сечения π r ² = 2,46 × 10 ^–3 м ² . Уравнение [latex] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] можно использовать для определения изменения длины.{2}} \ right) \ left (\ text {3020 m} \ right) \\ & = & \ text {18 m}. \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Это довольно большая длина, но только около 0,6% от длины без опоры. В этих условиях влияние температуры на длину может быть важным.

Кости в целом не ломаются от растяжения или сжатия. Скорее они обычно ломаются из-за бокового удара или изгиба, что приводит к срезанию или разрыву кости. Поведение костей при растяжении и сжатии важно, поскольку оно определяет нагрузку, которую кости могут нести.Кости классифицируются как несущие конструкции, такие как колонны в зданиях и деревья. Несущие конструкции обладают особенностями; колонны в здании имеют стальные арматурные стержни, а деревья и кости — волокнистые. Кости в разных частях тела выполняют разные структурные функции и подвержены разным нагрузкам. Таким образом, кость в верхней части бедренной кости расположена в виде тонких пластин, разделенных костным мозгом, в то время как в других местах кости могут быть цилиндрическими и заполненными костным мозгом или просто твердыми.Люди с избыточным весом имеют тенденцию к повреждению костей из-за длительного сжатия костных суставов и сухожилий.

Другой биологический пример закона Гука встречается в сухожилиях. Функционально сухожилие (ткань, соединяющая мышцу с костью) должно сначала легко растягиваться при приложении силы, но обеспечивать гораздо большую восстанавливающую силу для большего напряжения. На рисунке 5 показана зависимость напряжения от деформации человеческого сухожилия. Некоторые сухожилия имеют высокое содержание коллагена, поэтому деформация или изменение длины относительно невелико; другие, например, опорные сухожилия (например, в ноге), могут изменять длину до 10%.Обратите внимание, что эта кривая напряжения-деформации является нелинейной, поскольку наклон линии изменяется в разных областях. В первой части растяжения, называемой областью пальца, волокна в сухожилии начинают выравниваться в направлении напряжения — это называется разжатым . В линейной области фибриллы будут растянуты, а в области разрушения отдельные волокна начнут разрываться. Простую модель этой взаимосвязи можно проиллюстрировать параллельными пружинами: разные пружины активируются при разной длине растяжения.Примеры этого приведены в задачах в конце этой главы. Связки (ткань, соединяющая кость с костью) ведут себя аналогичным образом.

Рис. 5. Типичная кривая «напряжение-деформация» для сухожилия млекопитающих. Показаны три области: (1) область пальца ноги (2) линейная область и (3) область разрушения.

В отличие от костей и сухожилий, которые должны быть прочными и эластичными, артерии и легкие должны быть легко растяжимыми. Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Когда кровь выкачивается из сердца, давление в артериях увеличивается, и стенки артерий растягиваются.Когда аортальный клапан закрывается, давление в артериях падает, и артериальные стенки расслабляются, чтобы поддерживать кровоток. Когда вы чувствуете свой пульс, вы чувствуете именно это — эластичное поведение артерий, когда кровь хлынет через каждый насос сердца. Если бы артерии были жесткими, вы бы не почувствовали пульс. Сердце также является органом с особыми эластичными свойствами. Легкие расширяются за счет мышечного усилия, когда мы вдыхаем, но расслабляемся свободно и эластично, когда мы выдыхаем. Наша кожа особенно эластична, особенно для молодых.Молодой человек может подняться от 100 кг до 60 кг без видимого провисания кожи. С возрастом снижается эластичность всех органов. Постепенное физиологическое старение за счет снижения эластичности начинается в начале 20-х годов.

Пример 2. Расчет деформации: насколько укорачивается нога, когда вы стоите на ней?

Рассчитайте изменение длины кости верхней части ноги (бедренной кости), когда мужчина весом 70,0 кг поддерживает на ней 62,0 кг своей массы, предполагая, что эта кость эквивалентна стержню, равному 40.0 см в длину и 2,00 см в радиусе.

Стратегия

Сила равна поддерживаемому весу, или F = мг = (62,0 кг) (9,80 м / с ² ) = 607,6 Н, а площадь поперечного сечения равна π r ² = 1,257 × 10 ^–3 м ² . Уравнение [latex] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] можно использовать для определения изменения длины.

Решение

Все величины, кроме Δ L , известны.{-5} \ text {m.} \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Это небольшое изменение длины кажется разумным, поскольку, по нашему опыту, кости жесткие. Фактически, даже довольно большие силы, возникающие при напряженных физических нагрузках, не сжимают и не сгибают кости в больших количествах. Хотя кость более жесткая по сравнению с жиром или мышцами, некоторые из веществ, перечисленных в таблице 1, имеют более высокие значения модуля Юнга Y . Другими словами, они более жесткие и обладают большей прочностью на разрыв.

Уравнение изменения длины традиционно перестраивается и записывается в следующем виде:

[латекс] \ displaystyle \ frac {F} {A} = Y \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex].

Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ latex], определяется как напряжение (измеряется в Н / м ² ), а отношение изменения длины к длина, [латекс] \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, напряжение = Y × деформация.

В этой форме уравнение аналогично закону Гука с напряжением, аналогичным силе, и деформацией, аналогичной деформации. Если снова переписать это уравнение к виду

[латекс] \ displaystyle {F} = YA \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex],

мы видим, что он совпадает с законом Гука с константой пропорциональности

[латекс] \ displaystyle {k} = \ frac {YA} {L_0} [/ latex].

Эта общая идея о том, что сила и вызываемая ею деформация пропорциональны небольшим деформациям, применима к изменениям длины, боковому изгибу и изменениям объема.

Напряжение

Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение, измеренное в Н / м. ² .

Штамм

Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, напряжение = Y × деформация.

Боковое напряжение: модуль сдвига

На рис. 6 показано, что подразумевается под боковым напряжением или сдвигающей силой .Здесь деформация называется Δ x , и она перпендикулярна L ₀ , а не параллельна, как при растяжении и сжатии. Деформация сдвига аналогична растяжению и сжатию и может быть описана аналогичными уравнениями. Выражение для деформации сдвига : [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex], где S — модуль сдвига ( см. Таблицу 1) и F — сила, приложенная перпендикулярно к L ₀ и параллельно площади поперечного сечения A .Опять же, чтобы препятствовать ускорению объекта, на самом деле есть две равные и противоположные силы F , приложенные к противоположным граням, как показано на рисунке 6. Уравнение логично — например, легче согнуть длинный тонкий карандаш (маленький A ), чем короткие толстые, и оба гнутся легче, чем аналогичные стальные стержни (большие S ).

Рис. 6. Сила сдвига прилагается перпендикулярно длине L ₀ и параллельно области A , создавая деформацию Δx.Вертикальные силы не показаны, но следует иметь в виду, что в дополнение к двум силам сдвига, F , должны быть поддерживающие силы, чтобы объект не вращался. Искажающие эффекты этих поддерживающих сил игнорируются при этом лечении. Вес объекта также не показан, поскольку он обычно незначителен по сравнению с силами, достаточно большими, чтобы вызвать значительные деформации.

Деформация сдвига

[латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex],

, где S — модуль сдвига, а F — сила, приложенная перпендикулярно к L ₀ и параллельно площади поперечного сечения A .

Изучение модулей сдвига в таблице 1 выявляет некоторые характерные закономерности. Например, для большинства материалов модули сдвига меньше модулей Юнга. Кость — замечательное исключение. Его модуль сдвига не только больше, чем модуль Юнга, но и такой же, как у стали. Это одна из причин того, что кости могут быть длинными и относительно тонкими. Кости могут выдерживать нагрузки, сопоставимые с бетонными и стальными. Большинство переломов костей возникает не из-за сжатия, а из-за чрезмерного скручивания и изгиба.

Позвоночный столб (состоящий из 26 позвоночных сегментов, разделенных дисками) обеспечивает основную опору для головы и верхней части тела. Позвоночник имеет нормальную кривизну для стабильности, но эту кривизну можно увеличить, что приведет к увеличению силы сдвига на нижние позвонки. Диски лучше выдерживают силы сжатия, чем силы сдвига. Поскольку позвоночник не вертикальный, вес верхней части тела влияет на обе части. Беременным женщинам и людям с избыточным весом (с большим животом) необходимо отвести плечи назад, чтобы поддерживать равновесие, тем самым увеличивая искривление позвоночника и тем самым увеличивая сдвигающий компонент напряжения.Увеличенный угол из-за большей кривизны увеличивает поперечные силы вдоль плоскости. Эти более высокие усилия сдвига увеличивают риск травмы спины из-за разрыва дисков. Пояснично-крестцовый диск (клиновидный диск под последними позвонками) особенно подвержен риску из-за своего расположения.

Модули сдвига для бетона и кирпича очень малы; они слишком изменчивы, чтобы их можно было перечислить. Бетон, используемый в зданиях, может выдерживать сжатие, как в колоннах и арках, но очень плохо противостоит сдвигу, который может возникнуть в сильно нагруженных полах или во время землетрясений.Современные конструкции стали возможны благодаря использованию стали и железобетона. Практически по определению жидкости и газы имеют модуль сдвига, близкий к нулю, потому что они текут в ответ на силы сдвига.

Пример 3. Расчет силы, необходимой для деформации: гвоздь не сильно изгибается под нагрузкой

Найдите массу картины, висящей на стальном гвозде, как показано на рисунке 7, учитывая, что гвоздь изгибается только на 1,80 мкм. (Предположим, что модуль сдвига известен с двумя значащими цифрами.)

Рис. 7. Гвоздь, вид сбоку, на котором висит изображение. Гвоздь очень слабо прогибается (показан намного больше, чем на самом деле) из-за срезающего воздействия поддерживаемого веса. Также показано направленное вверх усилие стенки на гвоздь, иллюстрирующее равные и противоположные силы, приложенные к противоположным поперечным сечениям гвоздя. См. Пример 3 для расчета массы изображения.

Стратегия

Сила F на гвоздь (без учета собственного веса гвоздя) — это вес изображения w .Если мы сможем найти w , то масса изображения будет просто [latex] \ frac {w} {g} [/ latex]. Уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] может быть решено для F .

Решение

Решая уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] для F , мы видим, что все остальные величины могут быть найдены :

[латекс] \ displaystyle {F} = \ frac {SA} {L_0} \ Delta {x} [/ latex]

S находится в таблице 1 и составляет S = 80 × 10 ⁹ Н / м ² .{-6} \ text {m} \ right) = 51 \ text {N} [/ latex]

Эта сила 51 Н составляет вес w изображения, поэтому масса изображения [латекс] m = \ frac {w} {g} = \ frac {F} {g} = 5.2 \ text {kg} [ /латекс].

Обсуждение

Это довольно массивное изображение, и впечатляет то, что гвоздь прогибается всего на 1,80 мкм — величину, невидимую невооруженным глазом.

Изменение объема: модуль объемной упругости

Объект будет сжиматься во всех направлениях, если внутренние силы приложены равномерно ко всем его поверхностям, как показано на рисунке 8.Относительно легко сжимать газы и чрезвычайно сложно сжимать жидкости и твердые тела. Например, воздух в винной бутылке сжимается, когда она закупорена. Но если вы попытаетесь закупорить бутылку с полными краями, вы не сможете сжать вино — некоторые из них необходимо удалить, чтобы вставить пробку. Причина такой разной сжимаемости заключается в том, что атомы и молекулы разделены большими пустыми пространствами в газах, но плотно упакованы в жидкостях и твердых телах. Чтобы сжать газ, вы должны сблизить его атомы и молекулы.Чтобы сжать жидкости и твердые тела, вы должны действительно сжать их атомы и молекулы, и очень сильные электромагнитные силы в них препятствуют этому сжатию.

Рис. 8. Внутренняя сила на всех поверхностях сжимает этот куб. Его изменение в объеме пропорционально силе на единицу площади и его первоначальному объему и связано со сжимаемостью вещества.

Мы можем описать сжатие или объемную деформацию объекта уравнением. Во-первых, отметим, что сила, «приложенная равномерно», определяется как имеющая одинаковое напряжение или отношение силы к площади [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс] на всех поверхностях.Произведенная деформация представляет собой изменение объема Δ V , которое, как было обнаружено, ведет себя очень аналогично сдвигу, растяжению и сжатию, обсуждавшимся ранее. (Это неудивительно, поскольку сжатие всего объекта эквивалентно сжатию каждого из его трех измерений.) Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется выражением [latex] \ displaystyle \ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0 [/ latex], где B — модуль объемной упругости (см. Таблицу 1), V ₀ — исходный объем, а [латекс] \ frac {F} {A} [/ latex] — это сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.Обратите внимание, что объемные модули для газов не приводятся.

Какие есть примеры объемного сжатия твердых тел и жидкостей? Одним из практических примеров является производство алмазов промышленного качества путем сжатия углерода с чрезвычайно большой силой на единицу площади. Атомы углерода перестраивают свою кристаллическую структуру в более плотно упакованный узор алмазов. В природе аналогичный процесс происходит глубоко под землей, где чрезвычайно большие силы возникают из-за веса вышележащего материала. Еще один естественный источник больших сжимающих сил — давление, создаваемое весом воды, особенно в глубоких частях океанов.Вода воздействует на все поверхности погружаемого объекта и даже на саму воду. На больших глубинах вода ощутимо сжата, как показано в следующем примере.

Пример 4. Расчет изменения объема при деформации: насколько вода сжимается на глубинах огромного океана?

Рассчитайте частичное уменьшение объема [латекс] \ left (\ frac {\ Delta {V}} {V_0} \ right) [/ latex] для морской воды на глубине 5,00 км, где сила на единицу площади составляет 5,00 × 10 ⁷ Н / м ² .

Стратегия

Уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0 [/ latex] является правильным физическим соотношением. Все величины в уравнении, кроме [latex] \ frac {\ Delta {V}} {V_0} [/ latex], известны.

Решение

Решение неизвестного [латекса] \ frac {\ Delta {V}} {V_0} [/ latex] дает [latex] \ displaystyle \ frac {\ Delta {V}} {V_0} = \ frac {1} {B } \ frac {F} {A} [/ латекс].

Замена известных значений значением модуля объемной упругости B из таблицы 1,

[латекс] \ begin {array} {lll} \ frac {\ Delta {V}} {V_0} & = & \ frac {5.2} \\ & = & 0.023 = 2.3 \% \ end {array} [/ latex]

Обсуждение

Хотя это и поддается измерению, это незначительное уменьшение объема, учитывая, что сила на единицу площади составляет около 500 атмосфер (1 миллион фунтов на квадратный фут). Жидкости и твердые вещества чрезвычайно трудно сжимать.

И наоборот, очень большие силы создаются жидкостями и твердыми телами, когда они пытаются расшириться, но им это мешает, что эквивалентно их сжатию до меньшего, чем их нормальный объем.Это часто происходит, когда содержащийся в нем материал нагревается, поскольку большинство материалов расширяются при повышении их температуры. Если материалы сильно стеснены, они деформируют или ломают свой контейнер. Другой очень распространенный пример — замерзание воды. Вода, в отличие от большинства материалов, расширяется при замерзании, и она может легко сломать валун, разорвать биологическую клетку или сломать блок двигателя, который встанет у нее на пути.

Другие типы деформаций, такие как кручение или скручивание, ведут себя аналогично рассмотренным здесь деформациям растяжения, сдвига и объемной деформации.

Сводка раздела

• Закон Гука определяется выражением [латекс] F = k \ Delta {L} [/ latex], где [latex] \ Delta {L} [/ latex] — величина деформации (изменение длины), F — это приложенная сила, а k — константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также от направления силы. Связь между деформацией и приложенной силой также может быть записана как [latex] \ displaystyle \ Delta L = \ frac {1} {Y} \ frac {F} {A} {L} _ {0} [/ latex] , где Y — это модуль Юнга , который зависит от вещества, A — это площадь поперечного сечения, а [латекс] {L} _ {0} [/ latex] — исходная длина.
• Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение , измеренное в Н / м ² .
• Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ frac {\ Delta L} {{L} _ {0}} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, [латекс] \ текст {напряжение} = Y \ times \ text {напряжение} [/ латекс].
• Выражение деформации сдвига: [латекс] \ displaystyle \ Delta x = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} {L} _ {0} [/ latex], где S — это модуль сдвига и F — это сила, приложенная перпендикулярно [латексу] {L} _ {\ text {0}} [/ latex] и параллельно площади поперечного сечения A .
• Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется выражением [latex] \ displaystyle \ Delta V = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} {V} _ {0} [/ latex ], где B — объемный модуль, [latex] {V} _ {\ text {0}} [/ latex] — исходный объем, а [latex] \ frac {F} {A} [/ latex] — сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.

Концептуальные вопросы

1. Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Объясните важность этого с точки зрения характеристик кровотока (пульсирующий или непрерывный).
2. Что вы чувствуете, когда щупаете пульс? Измерьте частоту пульса в течение 10 секунд и 1 минуты. Есть ли разница в 6 раз?
3. Изучите различные типы обуви, включая спортивную обувь и шлепанцы. С точки зрения физики, почему нижние поверхности устроены именно так? Какие различия будут иметь для этих поверхностей сухие и влажные условия?
4. Ожидаете ли вы, что ваш рост будет отличаться в зависимости от времени суток? Почему или почему нет?
5. Почему белка может спрыгнуть с ветки дерева на землю и убежать целой, а человек может сломать кость при таком падении?
6. Объясните, почему беременные женщины часто страдают от растяжения спины на поздних сроках беременности.
7. Уловка старого плотника, чтобы удерживать гвозди от сгибания, когда они забиваются в твердый материал, заключается в том, чтобы крепко удерживать центр гвоздя плоскогубцами. Почему это помогает?
8. Когда стеклянная бутылка, полная уксуса, нагревается, и уксус, и стекло расширяются, но уксус расширяется значительно больше с температурой, чем стекло. Бутылка разобьется, если наполнить ее до плотно закрытой крышки. Объясните, почему, а также объясните, как воздушный карман над уксусом предотвратит разрыв.(Это функция воздуха над жидкостями в стеклянных контейнерах.)

Задачи и упражнения

1. Во время циркового номера один артист качается вверх ногами, висит на трапеции, держа другого, также перевернутого, за ноги. Если восходящая сила, действующая на более низкую спортсменку, в три раза превышает ее вес, насколько растягиваются кости (бедра) в ее верхних конечностях? Вы можете предположить, что каждый из них эквивалентен одинаковому стержню длиной 35,0 см и радиусом 1,80 см. Ее масса 60.0 кг.
2. Во время схватки борец 150 кг ненадолго встает на одну руку во время маневра, призванного сбить с толку его и без того умирающего противника. Насколько укорачивается длина кости плеча? Кость может быть представлена ​​однородным стержнем длиной 38,0 см и радиусом 2,10 см.
3. (a) «Грифель» в карандашах представляет собой состав графита с модулем Юнга примерно 1 × 10 ⁹ Н / м ² . Вычислите изменение длины грифеля в автоматическом карандаше, если постучите им прямо по карандашу с силой 4.0 Н. Шнур диаметром 0,50 мм и длиной 60 мм. б) разумен ли ответ? То есть согласуется ли это с тем, что вы наблюдали при использовании карандашей?
4. антенн телевещания — самые высокие искусственные сооружения на Земле. В 1987 году физик весом 72,0 кг разместил себя и 400 кг оборудования на вершине одной антенны высотой 610 м для проведения гравитационных экспериментов. Насколько была сжата антенна, если считать ее эквивалентом стального цилиндра радиусом 0,150 м?
5. (a) На сколько 65.Альпинист весом 0 кг натягивает нейлоновую веревку диаметром 0,800 см, когда она висит на 35,0 м ниже скалы? б) Соответствует ли ответ тому, что вы наблюдали для нейлоновых веревок? Имел бы смысл, если бы веревка была на самом деле тросиком?
6. Полый алюминиевый флагшток высотой 20,0 м по жесткости эквивалентен твердому цилиндру диаметром 4,00 см. Сильный ветер изгибает полюс так же, как горизонтальная сила в 900 Н. Насколько далеко в сторону прогибается верхняя часть шеста?
7. По мере бурения нефтяной скважины каждая новая секция бурильной трубы выдерживает собственный вес, а также вес трубы и бурового долота под ней.Рассчитайте растяжение новой стальной трубы длиной 6,00 м, которая поддерживает 3,00 км трубы, имеющей массу 20,0 кг / м, и буровое долото 100 кг. Труба эквивалентна по жесткости сплошному цилиндру диаметром 5 см.
8. Рассчитайте усилие, которое настройщик рояля применяет для растяжения стальной рояльной струны на 8,00 мм, если проволока изначально имеет диаметр 0,850 мм и длину 1,35 м.
9. Позвонок подвергается действию силы сдвига 500 Н. Найдите деформацию сдвига, принимая позвонок в виде цилиндра 3.00 см в высоту и 4,00 см в диаметре.
10. Диск между позвонками позвоночника подвергается действию силы сдвига 600 Н. Найдите его деформацию сдвига, принимая модуль сдвига 1 × 10 ⁹ Н / м ² . Диск эквивалентен сплошному цилиндру высотой 0,700 см и диаметром 4,00 см.
11. При использовании ластика для карандашей вы прикладываете вертикальное усилие 6,00 Н на расстоянии 2,00 см от соединения ластика с твердой древесиной. Карандаш имеет диаметр 6,00 мм и держится под углом 20 °.0º к горизонтали. а) Насколько дерево прогибается перпендикулярно своей длине? б) Насколько он сжат в продольном направлении?
12. Чтобы учесть влияние проводов, подвешенных на столбах, мы возьмем данные из рисунка 9, на котором было рассчитано натяжение проводов, поддерживающих светофор. Левая проволока образовывала угол 30,0 ° ниже горизонтали с вершиной своего столба и выдерживала натяжение 108 Н. Полый алюминиевый столб высотой 12,0 м эквивалентен по жесткости сплошному цилиндру диаметром 4,50 см.а) Насколько он наклонен в сторону? б) Насколько он сжат?

    Рисунок 9. Светофор подвешен на двух тросах. (б) Некоторые из задействованных сил. (c) Здесь показаны только силы, действующие на систему. Также показана схема свободного движения светофора. (d) Силы, проецируемые на вертикальную ( y ) и горизонтальную ( x ) оси. Горизонтальные составляющие натяжения должны уравновешиваться, а сумма вертикальных составляющих натяжений должна равняться весу светофора.{-2} [/ латекс]). Какую силу на единицу площади вода может оказывать на емкость при замерзании? (В этой задаче допустимо использовать объемный модуль упругости воды.) (B) Удивительно ли, что такие силы могут разрушать блоки двигателя, валуны и тому подобное?

13. Эта проблема возвращается к канатоходцу, изученному на рисунке 10, который создал натяжение 3,94 × 10 ³ Н в тросе, образующем угол 5,0 ° ниже горизонтали с каждой опорной стойкой. Подсчитайте, насколько это натяжение растягивает стальную проволоку, если она изначально была длиной 15 м и равной 0.50 см в диаметре.

    Рис. 10. Вес канатоходца вызывает провисание каната на 5,0 градуса. Интересующая здесь система — это точка на проволоке, на которой стоит канатоходец.

14. Полюс на Рисунке 11 находится под изгибом 90,0º в линии электропередачи и поэтому подвергается большей силе сдвига, чем полюса на прямых участках линии. Натяжение в каждой линии составляет 4,00 × 10 ⁴ Н при показанных углах. Шест 15,0 м в высоту, 18,0 см в диаметре и, как считается, имеет вдвое меньшую жесткость, чем древесина твердых пород.(а) Рассчитайте сжатие полюса. (б) Найдите, насколько он изгибается и в каком направлении. (c) Найдите натяжение троса, используемого для удержания вехи прямо, если она прикреплена к верхней части столба под углом 30,0 ° к вертикали. (Ясно, что растяжка должна быть в направлении, противоположном изгибу.)

Рис. 11. Этот телефонный столб находится под углом 90 ° к линии электропередачи. Оттяжка прикрепляется к вершине мачты под углом 30º к вертикали.

Глоссарий

сила сопротивления: F _D , оказывается пропорциональной квадрату скорости объекта; математически

[латекс] \ begin {array} \\ F _ {\ text {D}} \ propto {v} ^ 2 \\ F _ {\ text {D}} = \ frac {1} {2} C \ rho {Av } ^ 2 \ end {array} [/ latex],

, где C — коэффициент сопротивления, A — площадь объекта, обращенная к жидкости, а ρ — плотность жидкости.

Закон Стокса: F _s = 6 πrη v , где r — радиус объекта, η — вязкость жидкости, а v — величина объекта. скорость.

Решения проблем и упражнения

1. 1.90 × 10 ⁻³ см

3. (а) 1 мм; (б) Это кажется разумным, поскольку кажется, что поводок немного сжимается, когда вы на него нажимаете.

5. (а) 9 см; (б) Это кажется разумным для нейлоновой альпинистской веревки, поскольку она не должна сильно растягиваться.

7. 8,59 мм

9. 1.49 × 10 ⁻⁷ м

11. (а) 3.99 × 10 ⁻⁷ м; (б) 9,67 × 10 ⁻⁸ м

13. 4 × 10 ⁶ Н / м ² . Это примерно 36 атм, больше, чем может выдержать обычная банка.

15. 1,4 см

Практическое руководство по выбору кабеля

% PDF-1.4 % 1 0 obj> поток application / pdfA Практическое руководство по выбору кабеля

Текущая пропускная способность — обзор

2.3 Транспорт с высоким смещением

При высоких смещениях на пропускную способность углеродных нанотрубок по току существенно влияет электрон-фононное рассеяние. На рис. 2.8 показаны экспериментально измеренные вольт-амперные характеристики нанотрубки малого диаметра. Проводимость максимальна при нулевом смещении и уменьшается с увеличением смещения, что свидетельствует об увеличении электрон-фононного рассеяния. Для рассмотрения режима переноса с большим смещением в металлических нанотрубках был предложен подход, основанный на уравнении Больцмана [25].Подход с использованием уравнения Больцмана описывает временную эволюцию и пространственную зависимость функций распределения электронов

Рис. 2.8. Зависимость тока от приложенного смещения металлической нанотрубки при разных температурах. Дифференциальная проводимость максимальна при нулевом смещении и достигает гораздо более низких значений при высоких смещениях. Рисунок после Ref. [25].

fL (E, x)

и

fR (E, x)

, которые представляют движущиеся влево и вправо электроны. При наличии процессов рассеяния и однородного электрического поля эти уравнения равны

(2.36) ∂fL∂t + vF∂fL∂x + 1ħeVL∂fL∂k = [∂fL∂t] рассеяние

∂fR∂t − vF∂fR∂x − 1ħeVL∂fR∂k = [∂fR∂t ] рассеяние.

Три источника рассеяния включены для описания переноса большого смещения в металлических углеродных нанотрубках: упругое рассеяние на дефектах, обратное рассеяние на фононах и прямое рассеяние на фононах. Упругое рассеяние определяется выражением

(2.37) [∂fL∂t] elastic = vFle (fL − fR)

, где

le

— упругая длина свободного пробега. Столкновения обратного рассеяния с фононами приводят к скорости изменения функции заполнения

(2.38) [∂fL (E) ∂t] bp = vFlbp {[1 − fL (E)] fR (E + ħΩ) — [1 − fR (E − ħΩ)] fL (E)}

, а нападающий рассеяние на фононах равно

(2.39) [∂fL (E) ∂t] fp = vFlfp {[1 − fL (E)] fL (E + ħΩ) — [1 − fL (E − ħΩ)] fL (E )}.

Эти уравнения дополняются граничными условиями на контактах

(2.40) fR (E) | x = 0 = tL2f0 (E − μL) + (1 − tL2) fL (E) | x = 0

fL ( E) | x = L = tR2f0 (E − μR) + (1 − tR2) fR (E) | x = L

, где

f0

— равновесное распределение Ферми, а

tL, R

— коэффициенты передачи на контактах.После определения функций распределения путем решения уравнений Больцмана с граничными условиями, ток вычисляется из

(2.41) I = 4e2h∫ (fL − fR) dE

, где функции распределения могут быть вычислены при любом (кроме то же самое) точка

x

в установившемся режиме. Рис. 2.9 показывает численно рассчитанный [25] ток в зависимости от напряжения для металлической углеродной нанотрубки длиной один микрон, включая электрон-фононное рассеяние с фононами 150 мэВ, и с параметрами

Рис. 2.9. Расчет зависимости тока от напряжения для металлической углеродной нанотрубки с использованием уравнения переноса Больцмана и электрон-фононного рассеяния. На вставке показан процесс электрон-фононного рассеяния, при котором электроны с энергией, превышающей энергию фонона, испускают фонон и рассеиваются обратно. Рисунок после Ref. [25].

tL, R2 = 0,5

,

le = 300 нм, lpb = 10 нм

и

lpf = ∞

. Превосходное согласие с экспериментом показывает, что длина свободного пробега для рассеяния оптических фононов составляет около 10 нм, и преобладает рассеяние на фононах в диапазоне 150 мэВ.

Поскольку длина свободного пробега для рассеяния на оптических фононах мала, проводимость при большом смещении заметно снижается в нанотрубках, которые намного длиннее этой длины свободного пробега. Если предположить, что все электроны, падающие из левого контакта с энергией на 160 мэВ, превышающей энергию Ферми на стороне стока, отражаются эмиссией фононов, то максимальный ток, протекающий в длинной нанотрубке (много длин свободного пробега) при больших смещениях, составляет примерно

(2,42) I = 4e2h260 мВ = 25 мкА.

В ряде экспериментов сообщалось о токах, сравнимых с 25 мкА в длинных нанотрубках [20, 25, 26]. Недавнее моделирование вольт-амперных характеристик в баллистическом пределе и с электрон-фононными взаимодействиями также показало, что рассеяние на оптических фононах происходит в масштабе нескольких десятков нанометров, как показано на рис. 2.10. При малых смещениях проводимость

Рисунок 2.10. Расчетные вольт-амперные характеристики в баллистическом пределе (штриховая линия) и при электрон-фононном рассеянии для различных длин.Для самой длинной рассматриваемой нанотрубки (213 нм) ток близок к 25 мкА, как предполагает формула. (2.42). По мере уменьшения длины нанотрубки ток приближается к баллистическому пределу. Рисунок после Ref. [27].

dI / dV

— это почти

4e2 / h

, независимо от длины нанотрубки, что указывает на перенос баллистического заряда в пересекающихся поддиапазонах. По мере увеличения смещения допустимая нагрузка по току и дифференциальная проводимость зависят от длины. Самая длинная из рассматриваемых нанотрубок (длина 213 нм) значительно превышает длину свободного пробега около 10 нм.Расчетный ток для этой нанотрубки составляет около 25 мкА при смещении 1 В, что согласуется с формулой. (2.42). По мере уменьшения длины нанотрубки пропускная способность по току увеличивается и приближается к баллистическому пределу (пунктирная линия) на рис. 2.8.

Стоит отметить, что экспериментально измеренные длины свободного пробега для рассеяния оптических фононов почти в пять раз меньше теоретических предсказаний. В [20] теоретически средняя длина свободного пробега из-за оптического и зонного рассеяния на границах оценивается примерно в 50 нм, но было обнаружено, что экспериментальные данные могут быть объяснены только при условии, что чистая длина свободного пробега составляет 10 нм.Причина этого несоответствия неясна. Одна из возможностей состоит в том, что испускаемые фононы не могут легко рассеяться в окружающую среду, что приводит к избытку горячих фононов и меньшей экспериментально наблюдаемой длине свободного пробега.

В отличие от нанотрубок малого диаметра, многослойные нанотрубки большого диаметра демонстрируют увеличение дифференциальной проводимости при приложении смещения [8, 28, 29]. На рис. 2.11 показаны экспериментально измеренные ток и проводимость в зависимости от смещения для нанотрубки диаметром 15.6 нм [28]. Низкая проводимость смещения составляет

Рисунок 2.11. Наблюдаемая кривая

I

V

0,4G0

0.4G0

вместо максимального

2G0

.Что еще более важно, проводимость увеличивается с приложенным смещением, что также замечено в [5]. [8]. Это качественно отличается от описанного выше случая нанотрубок малого диаметра, где проводимость уменьшается с увеличением смещения (рис. 2.8). Существует много потенциальных причин увеличения проводимости со смещением, наблюдаемого в этих многостенных нанотрубках большого диаметра. Одна из возможностей состоит в том, что внутренние стенки многослойной нанотрубки начинают проводить ток по мере увеличения смещения. Однако недавние теоретические работы показали, что этот механизм маловероятен [30].Наиболее вероятным объяснением увеличения проводимости при приложении смещения является туннелирование Зинера между непересекающимися валентными зонами и зоной проводимости [31]. Этот процесс показан на рис. 2.12. Рассмотрим электрон, падающий в непересекающуюся валентную подзону нанотрубки из левого контакта. Этот электрон может либо туннелировать в подзону непересекающейся проводимости с той же симметрией (пунктирная стрелка), либо отражаться по Брэггу обратно в левый контакт (пунктирная стрелка). Барьер для туннелирования Зенера в непересекающейся поддиапазоне составляет

Рисунок 2.12. Каждый прямоугольный прямоугольник представляет собой график зависимости энергии от волнового вектора, нижняя часть поддиапазона которого равна электростатическому потенциалу. Для ясности показаны только несколько поддиапазонов. Показаны три процесса: прямая передача (сплошная линия), брэгговское отражение (пунктирная линия) и межподзонное туннелирование (пунктирная линия). Рисунок после Ref. [31].

ΔENC

, а ширина туннельного барьера зависит от профиля потенциала в нанотрубке. Поскольку высота барьера

ΔENC

увеличивается с уменьшением диаметра нанотрубок, оказывается, что непересекающиеся подзоны металлических нанотрубок малого диаметра не проводят значительного тока [27, 31].С другой стороны, для нанотрубок большого диаметра барьер для туннелирования

ΔENC

намного меньше, и в результате вероятность туннелирования увеличивается с увеличением диаметра нанотрубки. Самосогласованные расчеты вольт-амперных характеристик коротких нанотрубок действительно показывают существенную зависимость проводимости от диаметра, возникающую в результате туннелирования в непересекающиеся / полупроводниковые подзоны [27, 31].

Наконец, мы обсудим падение электростатического потенциала в углеродных нанотрубках при низком и высоком смещении.Мы ограничимся обсуждением идеальной связи между нанотрубкой и контактами. В этом случае проводимость нанотрубки определяется количеством подзон, по которым проходит ток и происходит рассеяние из-за электрон-фононного взаимодействия внутри нанотрубки. Обратите внимание, что дополнительное сопротивление на границе контакта нанотрубки приведет к падению приложенного смещения на этом сопротивлении в дополнение к падению на нанотрубке.

При низком смещении, меньшем, чем энергия оптических и зонных граничных фононов (160 мэВ), электрон-фононное рассеяние подавляется, и, следовательно, бездефектные нанотрубки являются существенно баллистическими.В этом пределе низкого смещения приложенное смещение в основном падает на двух концах нанотрубки, как показано на рис. 2.13 (а). Интересно, что даже несмотря на то, что нанотрубка баллистическая, электрическое поле вблизи контакта зависит от диаметра трубки. Электрическое поле в центре нанотрубки увеличивается с увеличением диаметра, потому что плотность состояний на атом уменьшается с увеличением диаметра, как показано, например, в уравнении. (1.41). Это делает экранирование в нанотрубках большего диаметра менее эффективным.Когда приложенное смещение увеличивается, позволяя излучать оптические и граничные фононы зоны, электростатический потенциал равномерно падает по длине нанотрубки при условии, что длина нанотрубки во много раз превышает длину свободного пробега. Падение потенциала на рис. 2.13 (б) соответствует этому случаю.

Рисунок 2.13. Расчетный электростатический потенциал вдоль оси нанотрубки. (а) Низкий потенциал смещения для (12,0) и (240,0) нанотрубок, которые имеют диаметры 0,94 и 18,8 нм соответственно. Приложенное смещение составляет 100 мВ.Экранирование нанотрубок большого диаметра значительно хуже. Длина нанотрубки составляет 213 нм. (b) Потенциал как функция положения показан для (12,0) нанотрубок длиной 42,6 и 213 нм в присутствии рассеяния (сплошная линия), с профилем потенциала в баллистическом пределе (пунктирная линия), показанным для сравнения. . Рисунок после Ref. [27].

Электрическое сопротивление — провод, шланг, длина и ток

Электрическое сопротивление провода или цепи — это способ измерения сопротивления прохождению электрического тока.Хороший электрический провод, например медный провод , будет иметь очень низкое сопротивление. Хорошие изоляторы, такие как изоляторы из резины или стекла , имеют очень высокое сопротивление. Сопротивление измеряется в Ом и связано с током в цепи и напряжением в цепи по закону Ома . Для данного напряжения провод с меньшим сопротивлением будет иметь более высокий ток.

Сопротивление данного куска провода зависит от трех факторов: длины провода, площади поперечного сечения провода и удельного сопротивления материала, из которого он состоит.Чтобы понять, как это работает, представьте, что вода течет по шлангу. Количество воды, протекающей по шлангу, аналогично току в проводе. Точно так же, как через пожарный шланг fat может пройти больше воды, чем через тонкий садовый шланг, толстый провод может пропускать больше тока, чем тонкий. Для провода чем больше площадь поперечного сечения, тем меньше сопротивление; чем меньше площадь поперечного сечения, тем выше сопротивление. Теперь рассмотрим длину. По очень длинному шлангу труднее протекать воде просто потому, что она должна течь дальше.Точно так же току труднее проходить по более длинному проводу. Более длинный провод будет иметь большее сопротивление. Удельное сопротивление — это свойство материала в проводе, которое зависит от химического состава материала, но не от количества материала или формы (длины, площади поперечного сечения) материала. Медь имеет низкое удельное сопротивление, но сопротивление данной медной проволоки зависит от ее длины и площади. Замена медного провода на провод той же длины и площади, но с более высоким удельным сопротивлением приведет к более высокому сопротивлению.В аналогии со шлангом это похоже на заполнение шланга песком . Через шланг, заполненный песком, будет течь меньше воды, чем через такой же свободный шланг. Фактически песок имеет более высокое сопротивление потоку воды. Полное сопротивление провода равно удельному сопротивлению материала, составляющего провод, умноженному на длину провода, деленному на площадь поперечного сечения провода.

Расчет падения напряжения

Падение напряжения любого изолированного кабеля зависит от рассматриваемой длины трассы (в метрах), требуемого номинального тока (в амперах) и соответствующего полного сопротивления на единицу длины кабеля.Максимальный импеданс и падение напряжения, применимые к каждому кабелю при максимальной температуре проводника и ниже переменного тока. условия приведены в таблицах. Для кабелей, работающих в условиях постоянного тока, соответствующие падения напряжения можно рассчитать по формуле.

2 x длина маршрута x ток x сопротивление x 10¯³ .

Значения, приведенные в таблицах, даны в м / В / Ам (вольт / 100 на ампер на метр), а номинальное максимальное допустимое падение напряжения
, указанное в правилах IEE, равно 2.5% от напряжения системы, т.е. 0,025 x 415
= 10,5 вольт для 3-фазной работы или 0,025 x 240 = 6,0 вольт для однофазной работы.

Рассмотрим трехфазную систему
Требование может заключаться в том, чтобы нагрузка в 1000 А передавалась по длине маршрута 150 м, кабель
должен быть прикреплен к стене и обеспечена тесная защита. Таблицы номинальных характеристик в правилах IEE показывают, что кабель PVC SWA PVC с медным проводом
35 мм подойдет для требуемой нагрузки, но необходимо проверить падение напряжения
.

Падение напряжения = Y x ток x длина
= 1,1 x 100 x 150 милливольт
= 1,1 x 100 x 150 вольт / 1000
= 16,5 вольт
где Y = значение из таблиц в мВ / А / м Если не указано конкретное значение напряжения допустимое для пользователя падение составляет
, необходимо соблюдать значение 10,5 вольт, указанное в правилах IEE.

Таким образом: общее падение напряжения = 10,5 вольт
10,5 = Y x 100 x 150
Следовательно, Y = 10,5 / 100 x 150
= 0,7 / 1000 вольт / ампер / метр

Ссылка на таблицы падения напряжения указывает, что сечение кабеля с падением напряжения 0.7/1000 В / А / м
(0,7 мВ / А / м) ИЛИ МЕНЬШЕ — это медный проводник диаметром 70 мм.

Следовательно, для передачи трехфазного тока 100 А на фазу по длине маршрута 150 м с общим падением напряжения
, равным или меньшим установленного законом максимального значения 10,5 вольт, потребуется
70 мм (куб. многожильный ПВХ.

И наоборот
У пользователя может быть 150 м многожильного кабеля из ПВХ диаметром 35 мм (Cu.), И ему необходимо знать, какой максимальный ток
может применяться без превышения допустимого падения напряжения.Метод точно такой же, как и выше,
, а именно: общее падение = 16,6

= YxAxM
= 1,1 x A x 150/1000
из таблиц Y = 1,1 мВ / A / м
= 1,1 / 1000 В / A / м
, следовательно, A = 10,5 x 1000 / 1,1.x 150
= 64 ампера

Из вышеизложенного очевидно, что зная любые два значения Y, A или m,
можно легко вычислить оставшееся неизвестное значение.

Совет всегда доступен для проверки, уточнения или предложения наиболее подходящего размера и типа кабеля для любых конкретных требований.

Падение напряжения для одножильных низковольтных кабелей (мВ / ампер / метр)

ПАДЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ НА АМПЕР НА МЕТР (мВ). Рабочая температура проводника: 70 ° C

ПАДЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ НА АМПЕР НА МЕТР (мВ). Рабочая температура проводника: 70 ° C

Таблицы взяты из информации об авторских правах IEE

КАБЕЛИ НА 600/1000 В С ИЗОЛЯЦИЕЙ ПВХ С МЕДНЫМИ ПРОВОДНИКАМИ ПАРАМЕТРЫ УСТОЙЧИВОГО ТОКА (АМП) (50 Гц)

ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЙ ТОК НА ЛИНИЮ ИЛИ ФАЗУ, ЗАНИМАЕМЫЙ ПРИ ПОЛНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ ТОЧНОСТИ ДВИГАТЕЛЯМИ СРЕДНЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТА МОЩНОСТИ

Полезные трехфазные формулы:

1.кВт = кВА x коэффициент мощности

НОМИНАЛЬНОЕ ТЕКУЩЕЕ КАБЕЛЕЙ, ОБРЕЗАННЫХ ПРЯМО К ПОВЕРХНОСТИ ИЛИ ЛОТКОВ, СОСТАВЛЯЕМЫХ И НЕЗАКРЫТЫМИ

НОМИНАЛЬНЫЕ ТОКИ КАБЕЛЕЙ В ПРОВОДАХ ИЛИ КОЛЛЕКЦИЯХ, СОЕДИНЕННЫХ И ЗАКРЫТЫМИ

R = изоляция из жаропрочной резины
P = изоляция из ПВХ

МИНИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ЗАЗЕМЛЕНИЯ (ЕСЛИ НЕ СОДЕРЖИТСЯ В КАБЕЛЕ)

* 1.5 кв. Мм, где заземляющий провод в незакрытом корпусе
№ 2,5 кв. Мм для подключения других сервисов при входе в помещения.

ДИАМЕТРЫ И РАЗМЕРЫ ВВОДОВ АРМИРОВАННЫХ КАБЕЛЕЙ ИЗ ПВХ

# Сальники типа BW, CW, D1W, D2W, E1W, E2W.
• Кабель, изготовленный с минимальным допуском, может быть помещен в сальник на один размер меньше.

ТАБЛИЦА РАЗМЕРОВ ВВОДОВ, ПВХ / SWA / ПВХ КАБЕЛИ

Приведенные в таблице размеры сальника предназначены только для справки и основаны на приблизительном диаметре под броней и
общих диаметрах.

Кабели с алюминиевым проводом должны иметь алюминиевые вводы.

УМЕНЬШАЮЩИЕ ФАКТОРЫ

КОЭФФИЦИЕНТЫ СНИЖЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОЗЕМНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

КОЭФФИЦИЕНТ СНИЖЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ВОЗДУХА

Коэффициент снижения номинальной глубины

ПОНИЖАЮЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЧВЫ

Коэффициент снижения номинальной температуры ПВХ

Тип ПВХ номинальная температура o C	70	85	95	105
Рейтинг	1. Похожие записи 21.11.2024 0 Особенности питания кормящей мамы: что можно и нельзя есть при грудном вскармливании 19.11.2024 0 Новорожденный какает слизью: причины появления слизи в кале грудничка 19.11.2024 0 Гемангиома у новорожденных: причины, виды, лечение и профилактика Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт