где I_m = U_m/R — амплитуда тока

Из уравнений напряжения и тока видно, что начальные фазы обеих кривых одинаковы, т. е. напряжение и ток в цепи с сопротивлением R совпадают по фазе. Это показано на графиках и векторной диаграмме (рис. 13.1, б, б).

Действующий ток найдем, разделив амплитуду на √ 2:

Формулы (13.1) выражают закон Ома для цепи переменного тока с сопротивлением R. Внешне они ничем не отличаются от формулы для цепи постоянного тока, если переменные напряжение и ток выражены действующими величинами.

 Мгновенная мощность в цепи переменного тока с активным сопротивлением.

При переменных величинах напряжения и тока скорость преобразования электрической энергии в приемнике, т. е. его мощность, тоже изменяется. Мгновенная мощность равна произведению мгновенных величин напряжения и тока: p  = U_msinωt * I_msinωt = U_mI_msin²ωt

Из тригонометрии найдём 

Более наглядное представление о характере изменения мощности в цепи дает график в прямоугольной системе координат, который строится после умножения ординат кривых напряжения и тока, соответствующих ряду значений их общего аргумента — времени t. Зависимость мощности от времени — периодическая кривая (рис. 13.2). Если ось времени t поднять по чертежу на величину р = P_m√2 = U_mI_m√2, то относительно новой оси t’ график мощности является синусоидой с двойной частотой и начальной фазой 90°:

Таким образом, в первоначальной системе координат мгновенная, мощность равна сумме постоянной величины Р = UmIm√2 и перемен- ной р’:

р = Р + р’

Анализируя график мгновенной мощности, нетрудно заметить, что мощность в течение периода остается положительной, хотя ток и напряжение меняют свой знак. Это получается благодаря совпадению по фазе напряжения и тока.

Постоянство знака мощности говорит о том, что направление потока электрической энергии остается в течение периода неизменным, в данном случае от сети (от источника энергии) в приемник с сопротивлением R, где электрическая энергия необратимо преобразуется в другой вид энергии. В этом случае электрическая энергия называется активной.

Если R — сопротивление проводника, то в соответствии с законом Ленца — Джоуля электрическая энергия в нем преобразуется в тепло.

Активная мощность для цепи переменного тока с активным сопротивлением

Скорость преобразования электрической энергии в другой вид энергии за конечный промежуток времени, значительно больший периода изменения тока, характеризуется средней мощностью. Она равна средней мощности за период, которую называют активной.

Активная мощность — среднее арифметическое мгновенной мощности за период.

Для рассматриваемой цепи активную мощность Р нетрудно определить из графика рис. 13.2. Средняя величина мощности равна высоте прямоугольника с основанием Т, равновеликого площади, ограниченной кривой р(t) и осью абсцисс (на рисунке заштриховано).

Равенство площадей РТ = S_p выполняется, если высоту прямоугольника взять равной половине наибольшей мгновенной мощности P_m.

В этом случае часть площади Sp , находящаяся выше прямоугольника, точно укладывается в оставшуюся незаштрихованной его часть:

P = UI

Активная мощность для данной цепи равна произведению действующих величин тока и напряжения:

P = UI = I²R = U²R

С математической точки зрения активная мощность является постоянной составляющей в уравнении мгновенной мощности p(t) [см. выражение (13.2)].

Среднюю мощность за период можно найти интегрированием уравнения (13.2) в пределах периода:

Сопротивление R, определяемое из формулы (13.3) отношением активной мощности цепи к квадрату действующего тока, называется активным электрическим сопротивлением.

electrikam.com

Активное сопротивление в цепи переменного тока

На векторных диаграммах можно показать, что ток и напряже­ние совпадают по фазе (рис. 52,а) или э. д.с. сдвинуты по фазе на некоторый угол (рис. 52,6). Условно принято считать, что векторы перемещаются в направлении против движения часовой стрелки.

Если векторы имеют различную длину, следовательно, их дейст­вующие значения разные (см. рис. 52, б).

§ 52. АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Сопротивление, включенное в цепь переменного тока, в котором происходит превращение электрической энергии в полезную рабо­ту или в тепловую энергию, называется активным сопротивлением.

К активным сопротивлениям при промышленной частоте (50 гц) относятся, например, электрические лампы накаливания и электро­нагревательные устройства.

Рассмотрим цепь переменного тока (рис. 53), в которую вклю­чено активное сопротивление. В такой цепи под действием перемен­ного напряжения протекает переменный ток. Изменение тока в Цепи, согласно закону Ома, зависит только от изменения напряже­ния, подключенного к ее зажимам. Когда напряжение равно нулю, ток в цепи также равен нулю. По мере увеличения напряжения ток в Цепи возрастает и при максимальном значении напряжения ток становится наибольшим. При уменьшении напряжения ток убывает. Когда напряжение изменяет свое направление, ток также изменяет свое направление и т. д.

Из сказанного следует, что в цепи переменного тока с актив­ным сопротивлением по мере изменения по величине и направлению напряжения одновременно пропорционально меняются величина и Направление тока. Это значит, что ток и напряжение совпадают по фазе.

Построим векторную диаграмму действующих величин тока и  напряжения для цепи с активным сопротивлением. Для этого отлов жим в выбранном масштабе по горизонтали вектор напряжения  Чтобы на векторной диаграмме показать, что напряжение и ток в  цепи совпадают по фазе (=0), откладываем вектор тока I по направлению вектора напряжения.

Сила тока в такой цепи определяется по закону Ома:

В этой цепи среднее значение мощности, потребляемой активным сопротивлением, выражается произведением действующих значения тока и напряжения.

Пример.  К  цепи  переменного  тока  с  активным  сопротивлением  r=55 ом  подключен генератор, максимальное значение напряжения которого Um=310,2 в.

Определить:

показание вольтметра, подключенного к зажимам генератора; показание амперметра, включенного в цепь; среднее значение мощности, потребляемой сопротивлением.

 Решение. Известно,  что  электроизмерительные  приборы,  включенные в цепь переменного тока, измеряют действующие  значения.  Поэтому  показание  вольтметра, измеряющего напряжение,

Показание амперметра, измеряющего действующее значение тока,

Среднее  значение  активной  мощности,  потребляемой  сопротивлением,  Р=220х4 = 880

§ 53. ИНДУКТИВНОСТЬ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Прохождение электрического тока по проводнику или катушки сопровождается появлением магнитного поля. Рассмотрим электрическую цепь переменного тока (рис. 54,а), в которую включена катушка индуктивности, имеющая небольшое количество витком проволоки сравнительно большого сечения, активное сопротивления которой можно считать практически равным нулю.

Под действием э. д. с. генератора в цепи протекает переменный ток, возбуждающий переменный магнитный поток. Этот поток пересекает «собственные» витки катушки и в ней возникает электродвижущая сила самоиндукции

   (55)

где L — индуктивность катушки,

в омах. Таким образом, индуктивное сопротивление катушки ХL зависит от величины э. д. с. самоиндукции, а следовательно, оно, как и э. д. с. самоиндукции, зависит от скорости изменения тока в ка­тушке (от частоты ) и от индуктивности катушки L:

где XL, — индуктивное сопротивление, ом,

ώ — угловая частота переменного тока, рад/сек,

L — индуктивность катушки, гн.

 Так как угловая частота переменного тока  , то индуктив­ное сопротивление

где, f—-частота переменного тока, гц.

Пример. Катушка,  обладающая  индуктивностью  L=0,5 гн,  присоединена к источнику переменного тока, частота которого f=50 гц. Определить:

1)  индуктивное сопротивление катушки при частоте f=50 гц;

2)  индуктивное сопротивление этой катушки переменному току, частота ко­торого f=800 гц.

Решение. Индуктивное сопротивление переменному току при f=50 гц

При частоте тока f=800 гц

Приведенный пример показывает, что индуктивное сопротивление катушки повышается с увеличением частоты переменного тока,  протекающего по ней. По мере уменьшения частоты тока индуктивное сопротивление убывает. Для постоянного тока, когда ток в катушке не изменяется и магнитный поток не пересекает ее витки,  э. д. с. самоиндукции не возникает, индуктивное сопротивлений катушки ХL равно нулю. Катушка индуктивности для постоянного тока представляет собой лишь сопротивление

Выясним, как изменяется э. д. с. самоиндукции, когда по катушке индуктивности протекает переменный ток.

Известно, что при неизменной индуктивности катушки э. д. с. самоиндукции зависит от скорости изменения силы тока и она всегда направлена навстречу причине, вызвавшей ее.

На графике (рис. 54, в) переменный ток показан в виде синусоиды (сплошная линия). В первую четверть периода сила тока возрастает от нулевого до максимального значения. Электродвижущая сила самоиндукции ес, согласно правилу Ленца, препятствует увеличению тока в цепи. Поэтому на графике (пунктирной линией) показано, что ес в это время имеет отрицательное значение. Во вторую четверть периода сила тока в катушке убывает до нуля. В это время э. д.с. самоиндукции изменяет свое направление и увеличивается препятствуя убыванию силы тока. В третью четверть периода том изменяет свое направление и постепенно увеличивается до максимального значения; э. д. с. самоиндукции имеет положительное значение и далее, когда сила тока убывает, э. д. с. самоиндукции опять меняет свое направление и вновь препятствует уменьшению силы  тока в цепи.

fiziku5.ru

2.5. Сопротивления в цепи переменного тока

В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение

Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.

Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное xL и емкостное хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула X_L = ωL. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина xL линейно зависит от частоты.

Для емкостного сопротивления выше была получена формула X_C = 1 / ωC. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = X_L — X_C.

Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину

(2.28)

.

Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

(2.29)

φ = arctg((X_L — X_C) / R),

и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно дать дополнительные связи

(2.30)

R = Z cos φ,

(2.31)

X = Z sin φ.

2.6. Мощности в цепях переменного тока

По аналогии с мощностью в цепях постоянного тока P = U I, в цепях переменного тока рассматривают мгновенную мощность p = u i. Для упрощения рассмотрим мгновенную мощность в каждом из элементов R, L и С отдельно.

Элемент r (резистор)

Зададим напряжение и ток в виде соотношений

u(t) = U_m sin(ωt + ψ_u),

i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i).

Известно, что для резистора ψ_u = ψ_i, тогда для р получим

(2.32)

p(t) = u(t) i(t) = U_m I_m sin²(ωt + ψ_i

Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность

(2.33)

.

Если записать U_m и I_m через действующие значения U и I: ,, то получим

(2.34)

P = U I.

По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).

Элемент l (индуктивность)

Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψ_u = ψ_i + 90°. Для мгновенной мощности имеет

(2.35)

.

Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим

.

Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину Q

(2.36)

Q_L = (U_m I_m) / 2

и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу U_L = I X_L получим

(2.37)

Q_L = I² X_L.

Элемент с (ёмкость)

Известно, что в емкости соотношение фаз ψ_u = ψ_i — 90°. Для мгновенной мощности получаем

p_C(t) = u(t) I(t) = (U_m I_m) / 2 · sin(2ωt).

Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину Q_C = I² X_C, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.

(2.37)

P = U I cos φ,

(2.38)

Q = Q_L — Q_C,

(2.39)

Q = U I sin φ,

где φ – угол сдвига фаз.

Вводят понятие полной мощности цепи

(2.40)

.

С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде

(2.41)

S = U I.

Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.

studfiles.net

Формула активного сопротивления в цепи переменного тока

В электротехнике активное сопротивление в цепи переменного тока, так же как и реактивная нагрузка, относится к разряду труднодоступных для понимания тем. Только немногие специалисты могут понятно объяснить, какие процессы происходят на участке электрической схемы. Для начала понимания нужно обратиться к словарю и узнать, что означает слово «активный». Это деятельный, инициативный и энергичный элемент или объект. В электротехнике под сопротивлением с активным свойством понимают элемент, способный потреблять электроэнергию и превращать ее в иной вид энергии (свет, тепло или химические реакции). Специалисты его называют еще ваттным сопротивлением. К активным элементам в электрической схеме тока с переменной характеристикой относят различные накаливаемые элементы и, конечно же, лампы с нитью накаливания. Графически активное сопротивление рисуют в виде резистора.

Графическое обозначение элемента с активным свойством в электротехнике

Сопротивление с активным свойством в цепи с переменной характеристикой

Если в цепь с переменной характеристикой тока подключить активную нагрузку, то по проводнику начнет протекать электрический ток по синусоидальной траектории. Это происходит за счет видоизменения напряжения по синусоиде:

u = Um sin ωt.

Отсюда и силу тока можно выразить формулой:

i = Im sin ωt,

где максимальная амплитуда силы тока считается по формуле:

Im =Um/R.

Важно знать! Сила тока в цепи с переменной характеристикой переменяется по тому закону, что и напряжение. То есть прохождение нулевой отметки у них происходит синхронно, так же как и достижение пиковой вершины.

Графика видоизменения силы тока и напряжения

Из графика видно, что за счет идеального активного в цепи сопротивления ток и напряжение совмещаются по фазе. Если в формуле:

i = Im sin ωt

каждую сторону поделить на √2, то получим формулу, выражающую закон Ома:

I=U/R.

Отсюда следует вывод, что для электрической схемы с переменной характеристикой, имеющей активное сопротивление, основополагающим законом является закон Ома.

Характеристики потерь

Причиной потерь с активной нагрузкой в схеме с переменной характеристикой тока являются:

1. Омическое сопротивление самого материала проводника;
2. Кроме этого, нельзя не обращать внимания на другие причины, как, например, наличие конденсатора (в электротехнике под ним можно подразумевать, например, кабель в изоляции).В такой схеме энергия теряется за счет постоянно изменяющего поляризацию диэлектрика такой изоляции. Это происходит за счет систематического «переворачивания» парных зарядов молекул, в свою очередь, приводящее к нагреву диэлектрического слоя. Такие потери в электротехнике называют диэлектрическими утечками;
3. Кроме диэлектрических потерь в конденсаторном элементе, в схеме переменного тока присутствует потеря утечки. Она возникает за счет несовершенства материала изоляции;
4. Также нельзя исключать потери на гистерезис, за счет постоянного присутствия переменного магнитного поля. Это приводит к нагреванию металлических частей схемы, так как наличествует систематическое переворачивание в такт с частотой переменного тока магнитиков;
5. Токи Фуко также порождают высокие утраты в электрической цепи с переменной характеристикой. Они представляют собой индуктивные круговые токи и подвергают нагреванию все элементы схемы.

Присутствие всех перечисленных потерь значительно увеличивает активное сопротивление в схеме с переменным током.

Мощность в схеме с активной нагрузкой

Когда схема функционирует на переменном напряжении и токе, то напряженность преобразования электрической энергии в иной вид энергии изменяется. Отсюда получается, что такое изменение меняет мощность. Из формулы:

p  = Umsinωt * Imsinωt = UmImsin2ωt

следует, что мгновенная мощность равноправна произведению мгновенного напряжения на мгновенную составляющую силы тока.

Генерация активной составляющей мощности

После тригонометрических переустройств видим, что мгновенная мощность одинакова по сумме с мгновенной и постоянной составляющими:

р = Р + р’, где Р = UmIm√2.

Важно знать! Под понятием активная мощность следует понимать, что она представляет собой среднее арифметическое мгновенных составляющих за определенный период времени.

На простом языке активная мощность – это положительная характеристика электрической схемы с переменным током. Она относится к разряду основных свойств в ходе выбора электрических нагрузок и учета потребления электрической энергии.

Взгляд на эффект с поверхностным влиянием

Активное сопротивление электрической цепи, функционирующей от переменного напряжения, постоянно больше от сопротивления с активной функцией в цепи постоянного напряжения. Основанием этому является то, что переменный ток по равноправному уровню разделяется по всей поперечной плоскости проводника. От этого полезная плоскость значительно убавляется, а сопротивление растет. Этот физический процесс называется эффектом поверхностного действия.

При поверхностном эффекте заряженные частицы в основном двигаются по внешней оболочке проводника, так как поверхность проводника становится полезным сечением. С увеличением частоты электроны двигаются, максимально приближаясь к внешним границам. Для понижения данного явления изготавливают провода специального устройства. Их делают с трубчатыми жилами или покрывают жилы металлами, имеющими идеальную проводимость. Схемы с серебряными выводами очень хорошо знакомы многим специалистам.

Понижение поверхностного эффекта

На практике для повышения активной мощности в электрических схемах применяют специальные устройства и технологии, позволяющие снизить потери и уменьшить реактивную характеристику мощности. Самыми распространенными являются компенсирующие конденсаторные установки, а в быту – это индивидуальные блоки питания. Также перед созданием электрической сети в проекты закладываются проводники с наибольшей проводимостью и требуемым от нагрузок сечением. Кроме этого, в сложных схемах немаловажным является равномерное распределение активных нагрузок потребителей.

Видео

elquanta.ru

основные сведения, формулы и зависимости для цепи переменного тока

Для проектирования электронных устройств следует рассчитывать различные параметры, одним из которых является электропроводимость или сопротивление проводника. Для цепей, питающихся постоянным током, вычислить его несложно. Но в цепях переменного тока (ПТ) существуют совсем другие соотношения. Для расчета активного сопротивления необходимо ознакомиться с основными формулами, а также альтернативными способами его вычисления.